2021-2022学年湖南师大附中梅溪湖中学七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南师大附中梅溪湖中学七年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列实数，，，，，中，无理数有个．

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标中，点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列说法正确的是

A. 的平方根是 B. 的立方根是
C. 的立方根是 D. 只有非负数才有立方根

4. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是

A.
B.
C.
D.
 

6. 在平面直角坐标系中，点，先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 已知点到轴的距离为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，如果“炮”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“士”所在位置的坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点，第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴，轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 的平方根是______．
12. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13. 一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数为______．
14. 如图，在内部作，平分若，则______
     

15. 如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为______
    
     

16. 对任意两实数、，定义运算“”如下：根据这个规则，则方程的解为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 实数、、在数轴上的位置如图所示：
    判断正负，用“”或“”填空： ______， ______， ______
    化简：．

19. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分．
    求，，的值；
    求的平方根．
20. 如图，，．
    试判断与的位置关系，并说明理由；
    若，，求的度数．
    
     

21. 某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为：．
    求原来正方形场地的周长．
    如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
22. 与在平面直角坐标系中的位置如图．
    分别写出下列各点的坐标： ______；______；
    若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为______；
    求的面积；
    在轴上存在点，使得的面积与的面积相等，请求出点的坐标．

23. 已知点，分别根据下列条件求出的值．
    点在轴上；
    点的坐标为，直线轴；
    点到轴、轴的距离相等．
24. 在平面直角坐标系中，对于任意三点、、的“培圣矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“培圣积”．
    例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“竖直高”，所以“培圣矩面积”．
    已知三点坐标分别为，，，则“水平底”______，“竖直高”______，“培圣矩面积”______．
    已知点，，求当在什么范围时，、、三点的“培圣矩面积”最小？最小值是多少？
    已知点，，，若、、三点的“培圣矩面积”为，求的值．
25. 已知，如图，射线分别与直线、相交于、两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点，设，，且．
    ______ ， ______ ；直线与的位置关系是______ ；
    如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论；
    若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转如图，分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】

【解析】解：点在第二象限．
故选B．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】

【解析】解：：的平方根是，故原说法不正确，不符合题意；
：的立方根是，故原说法不正确，不符合题意；
：的立方根是，故原说法正确，符合题意；
：任何实数都有立方根，故原说法不正确，不符合题意．
故选：．
根据平方根和立方根的定义即可得出答案．
本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解决此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：：，故原计算结果错误，不符合题意；
：，故原计算结果错误，不符合题意；
：，故原计算结果错误，不符合题意；
：，故原计算结果正确，符合题意．
故选：．
根据算术平方根和立方根计算即可．
本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解决此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：根据内错角相等，两直线平行即可证得；
B.根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；
C.根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；
D.根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得，不能证．
故选：．
根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
 

6.【答案】

【解析】解：点，先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的点的坐标为，即，
故选：．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
本题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
 

7.【答案】

【解析】解：点到轴的距离为．
故选A．
根据点到轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于横坐标的长度，到轴的距离等于纵坐标的长度是解此类题目的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：如图，

过点作，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可；
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．
 

9.【答案】

【解析】解：如图所示：“士”所在位置的坐标为．
故选：．
根据已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系得出“士”所在位置．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由题知表示粒子运动了分钟，
表示粒子运动了分钟，将向左运动，
表示粒子运动了分钟，将向下运动，
表示粒子运动了分钟，将向左运动，
，
于是会出现：
点粒子运动了分钟，此时粒子将会向下运动，
在第分钟时，粒子又向下移动了个单位长度，
粒子的位置为，
故选：．
找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了平方根及算术平方根和平方根的知识．
先求的 的值，再求 的平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 的平方根是 ；负数没有平方根．
【解答】

解： ，
的平方根是 ．
故答案为： ．

 

12.【答案】

【解析】解：由题意得：．
故答案为：．
根据二次根式进行解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：一个正数的两个平方根分别为和，
，
解得：，
则，，
故这个正数是．
故答案为：．
利用平方根的定义得出，求出，进而求出答案．
此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据垂直定义知，由可得答案．
本题主要考查垂直的定义和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的定义．
 

15.【答案】

【解析】解：中，，
；
由折叠的性质知：；
而，
；
由折叠的性质知：，
，
．
故答案为：．
由折叠的性质知：、都是直角，因此，那么和互补，欲求的度数，需先求出的度数；根据折叠的性质知，而的度数可在中求得，由此可求出的度数，即可得解．
本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
 

16.【答案】或

【解析】解：若，则，
解得或舍去；
若，则，
解得或舍去；
综上，或．
故答案为：或．
分和列出对应方程，再进一步解方程求出符合条件的的值即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；
两边同时除以得：，
两边开平方得：，
两边同时加得：或．

【解析】根据立方根、算术平方根、去绝对值法则等计算即可；
由等式性质解方程即可得到答案．
本题考查实数运算及平方根定义解方程，解题的关键是掌握实数运算的相关法则和平方根的概念．
 

18.【答案】   

【解析】解：由数轴可得：，，
则，，
故答案为：，，；



．
根据数轴上的位置进行判断即可；
结合进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得到、、相应的值．
 

19.【答案】解：根据题意得，，
解得，，
而，
则，
所以；
所以，，．
，，，
，
求的平方根为：．

【解析】直接利用平方根、立方根、以及估算无理数的大小求出，，即可；
把，，的值代入即可求解．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出，，的值是解题关键．
 

20.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
，
，
，，
，
．

【解析】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
由于，可判断，则，由得出判断出；
由得到，由得出，得出的度数
 

21.【答案】解：，，
答：原来正方形场地的周长为．
设这个长方形场地宽为，则长为．
由题意有：，
解得：，
表示长度，
，
，
这个长方形场地的周长为 ，
，
这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．

【解析】正方形边长面积的算术平方根，周长边长，由此解答即可；
长、宽的比为：，设这个长方形场地宽为，则长为，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：由图知点的坐标为、点坐标为，
故答案为：、；
由图知向左平移个单位，再向下平移个单位可得到，
则平移后内的对应点的坐标为，
故答案为：；
的面积为．
设，则，
，
解得或，
点的坐标为或．
根据点、在平面直角坐标系中的位置可得答案；
先根据平面直角坐标系得出三角形的平移方向和距离，再根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”可得答案；
利用割补法求解可得．
设，则，得到，解方程即可．
本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．
 

23.【答案】解：点在轴上，
，
解得：；

点的坐标为，直线轴，
，
解得：；

点到轴、轴的距离相等，
或，
解得：，，

【解析】利用轴上点的坐标性质纵坐标为，进而得出的值，即可得出答案；
利用平行于轴直线的性质，横坐标相等，进而得出的值，进而得出答案；
利用点到轴、轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质．
 

24.【答案】   

【解析】解：由题意，，“培圣矩面积”，
故答案为：，，；

由题意：．
当时，，
当时，，
当时，的最小值为，
当时，，，三点的“培圣矩面积”的最小值为；

如图，

当时，
，，三点的“培圣矩面积”为，
，，
，
负根已经舍弃，此时
当时，，，
，
解得或，
，
，
，
综上所述满足条件的点的坐标为或
根据：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“培圣积”的定义求解即可；
首先由题意可得：，然后分别从：当时，，当时，，去分析求的最小值为：，继而求得，，三点的“矩面积”的最小值；
由，，三点的“矩面积”的最小值为，分，两种情形，分别构建方程求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了“培圣矩面积”的定义，不等式组的解法．此题属于新定义题，难度较大，解题的关键是理解与的含义，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．
 

25.【答案】；；
解：．
理由：，
，
，
，
，
，
，
．

解：的值不变，．
理由：如图中，作的平分线交的延长线于．

，
，
，，
，
，
，
设，，
则有：，可得，

．

【解析】

【分析】
本题考查几何变换综合题、平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
利用非负数的性质可知： ，推出 即可解决问题；
结论 只要证明 即可解决问题；
结论： 的值不变， 如图 中，作 的平分线交 的延长线于 只要证明 ， 即可；
【解答】
证明： ，
，
， ，
，
；
故答案为： ； ； ；
见答案．