2022高三下学期第四次调研测试数学（文）含答案

吉林市普通中学2021—2022学年度高中毕业班第四次调研测试

文科数学参考答案

数学核心命题组全体老师赠予吉林市高三考生：

殷勤苦难三冬长，高考将临学子忙。三角集合铺手路，解析导数问心房。

题多练就从容笔，时少遂寻暗夜光。待到明朝捷报至，蟾宫折桂十里芳！

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.

12. 参考结论：已知双曲线方程为：，是双曲线上关于原点对称的两点，点也在双曲线上，则.

推导：由得，，则，

解析：

结论类比：已知椭圆方程为：，是椭圆上关于原点对称的两点，点也在椭圆上，则.

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，

第二个空填对得3分.

   13.        14.        15.           16.   (2分)， （3分）

 （16.第一空写也对，第2个空写不等式形式也给分）

三、解答题

17. 【解析】

（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，                       1分

因为，成等比数列

所以，                                   3分

解得：或（舍）                                        5分

所以.                                             6分

（Ⅱ）选择①

设等比数列的公比为，

因为，，

所以，，

又，即，

所以或（舍），                                                   10分

所以.                                           12分

（Ⅱ）选择②

（法一）设等比数列的公比为，

因为，，

所以，

即   

所以或（舍）                                               10分

所以.                                           12分

（法二）设等比数列的公比为，

因为，，

若，则数列为常数列，不符题意；

若则，

所以或（舍）                                                       10分

所以                                                         12分

综上，数列的前项和.

（注：不讨论时，直接用公式求解,扣1分.）

18. 【解析】

（Ⅰ）证明：平面平面 

                                                                        2分

又     

平面平面

平面                                                     5分

平面

平面平面                                                   6分

（Ⅱ）(法一) 由（Ⅰ）可知，平面

到平面的距离为                                             9分

是的中点  

到平面的距离为.                                     12分

(法二) 取中点，连接

分别为的中点    

且                                             9分

由（Ⅰ）可知，平面  

平面

到平面的距离为.                                       12分

19. 【解析】

（Ⅰ）由题可知：；                                 1分

；                                     2分

名居民竞赛成绩在组内频率/组距为

补全频率分布直方图如下：

                    4分

（Ⅱ）估计该社区居民竞赛成绩的平均数

，          6分

估计该社区居民竞赛成绩的方差

                  9分

（Ⅲ）

所以该社区可获得“反诈先进社区”称号.                                          12分

20.【解析】

（Ⅰ）设   

                            2分

点的轨迹方程：.                                   5分

（注：的轨迹方程：或除点也正确，但不写限制条件扣1分.）

（Ⅱ）(法一) 设第一象限内曲线内接矩形的顶点为

则

                                                                     8分

当且仅当时取等号；

所以曲线内接矩形面积最大值为.                                         12分

（注：未写等号取得条件扣1分.）

(法二) 曲线的参数方程为（为参数且)

设第一象限内曲线内接矩形的顶点为（）

                                                    8分

当时，即时，取最大值

所以曲线内接矩形面积最大值为.                                         12分

（注：未写等号取得条件扣1分.）

(法三)设第一象限内曲线内接矩形的顶点为

点坐标满足方程

                                                               8分

当且仅当时取等号；

所以曲线内接矩形面积最大值为.                                               12分

（注：未写等号取得条件扣1分.）

21.【解析】

解：（Ⅰ）函数是上单调函数

恒成立或恒成立

等价于恒成立或恒成立                                 2分

设

或

或

即实数的取值范围为          　　                          5分

（Ⅱ）当时，

在内有个零点

等价于与在内有个公共点

令，则

当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增.                      8分

当时，取极小值，

当时，取极大值

，   

要使与在内有个公共点

结合函数的图象，需满足或

或

或

即实数的取值范围为{或}                12分

（注：不分隔离参数，直接求解对也给分；如果少或少端点值扣1分.）

22. 【解析】

（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程，      　  2分

因为点P的直角坐标是，

所以所在圆的直角坐标方程为.    　　             5分

（注：的极坐标方程不写取值范围或者写错扣1分.）

（Ⅱ）设对应的参数分别为．

将代入得   　           　  7分

所以   　　　　　　　      　　　                          8分

因为，由的几何意义得：

              　　　         10分

23. 【解析】

（Ⅰ）因为，即，

所以，即

所以不等式的解集为；                                        5分

（注：结论不表示成集合或区间形式扣1分）

（Ⅱ）(法一)

                                                                 10分

(法二)

                                                                 10分

教学建议:

已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若，证明：．

解析：（Ⅰ）因为，即，

所以，即

所以不等式的解集为；

（Ⅱ）(法一)令函数

所以，.

因为，所以

易知函数在上单调递减

所以

即.

(法二)

，即

要证：

只需证：

即证： ①

①式成立，即原不等式成立.