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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第七章 空间向量与立体几何 7.2 平面的基本事实与推论、平行直线与异面直线
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第七章 空间向量与立体几何 7.2 平面的基本事实与推论、平行直线与异面直线，共42页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，平面的基本事实，不在一条直线上，两个点，有且只有一条过该点，三个推论，直线外等内容，欢迎下载使用。
使A∈α,直线BC⊂α
3.平行直线(1)定义:在同一平面内 的两条直线称为平行直线. (2)空间平行线的传递性平行于同一条直线的两条直线互相 .即a∥b,a∥c,则b∥c.
4.等角定理(1)文字表述:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ,并且方向 ,那么这两个角 . (2)符号表述:
5.空间四边形 连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形,其中4个点都是空间四边形的 ,连接 顶点间的线段称为空间四边形的边,连接 顶点间的线段称为空间四边形的对角线.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.( )(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )(4)两两相交的三条直线一定共面.( )(5)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.( )
2.在空间中可以确定一个平面的条件是( )A.两条直线B.一点和一条直线C.三个点D.梯形
答案 D 解析 A中,若两条直线不是相交或平行直线,则不能确定一个平面;B中,若点在直线上,则不能确定一个平面;C中,若三个点在同一条直线上,则不能确定一个平面;D中,梯形有两条边平行,因为两条平行直线能确定一个平面.
3.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M
答案 D 解析∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是 (填序号). ①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
5.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
答案 (1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD
【例1】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交,证明:这四条直线共面.
证明 如图所示.(方法1)∵a∥b,∴a,b确定平面α.∵l∩a=A,l∩b=B,∴直线l上有两点A,B在α内,即直线l⊂α.∴直线a,b,l共面.同理,直线a,c,l共面,即c也在a,l确定的平面内.故直线a,b,c,l共面.(方法2)∵a∥b,∴过直线a,b确定平面α,∵A∈a,B∈b,∴AB⊂α,即直线l⊂α.∵b∥c,∴过b,c确定平面β,而B∈b,C∈c,∴BC⊂β,即l⊂β.∴直线b,l⊂α,直线b,l⊂β,而b∩l=B,∴平面α与β重合,故直线a,b,c,l共面.
解题心得点线共面问题的证明方法(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证明有关点、线确定平面α,再证明其余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合.
对点训练1如图所示,已知A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,求证:直线AD,BD,CD共面.
证明 因为D∉l,所以l与D可以确定平面α.因为A∈l,所以A∈α.又D∈α,所以AD⊂α.同理,BD⊂α,CD⊂α,所以直线AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面.
【例2】 如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=Q,BC∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.
证明 (方法1)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.(方法2)∵AP∩AQ=A,∴直线AP与直线AQ确定平面APQ.又AB∩α=P,AC∩α=Q,∴平面APQ∩α=PQ.∵B∈平面APQ,C∈平面APQ,∴BC⊂平面APQ.∵R∈BC,∴R∈平面APQ.又R∈α,∴R∈PQ,∴P,Q,R三点共线.
解题心得证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
对点训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和D1C1的中点,P,Q分别为EF和BD的中点,体对角线A1C与平面EFDB交于H点,求证:P,H,Q三点共线.
证明 因为EF⊂平面BDFE,P∈EF,所以P∈平面BDFE.同理,Q∈平面BDFE,所以P,H,Q∈平面BDFE.连接A1C1,AC,又由正方体的性质知A1C1∥AC,所以直线A1C1,AC确定平面ACC1A1,又P∈A1C1,Q∈AC,H∈A1C,所以P,H,Q∈平面ACC1A1,所以P,H,Q三点一定在平面BDFE与平面ACC1A1的交线上,故P,H,Q三点共线.
【例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF
对点训练3如图所示,在空间四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG= BC,CH= DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)直线FH,EG,AC共点.
证明 (1)连接EF,GH,∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD.又∵CG= BC,CH= DC,∴GH∥BD,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四点共面.(2)易知直线FH与直线AC不平行,但共面,∴设FH∩AC=M,则M∈平面EFHG,M∈平面ABC.∵平面EFHG∩平面ABC=EG,∴M∈EG,∴直线FH,EG,AC共点.
【例4】 若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
答案 D 解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.
【例5】 如图所示,AB,CD是异面直线,求证:直线AC,BD是异面直线.
证明 (方法1)反证法:假设AC和BD不是异面直线,则AC和BD在同一平面内,设这个平面为α,由AC⊂α,BD⊂α,知A,B,C,D∈α.故AB⊂α,CD⊂α.这与AB和CD是异面直线矛盾,所以假设不成立,则直线AC和BD是异面直线.(方法2)定理法:由图可知,直线AB,AC相交于点A,所以它们确定一个平面为α.由直线AB和CD是异面直线,则D∉α,即直线BD过平面α外一点D与平面α内一点B.又AC⊂α,B∉AC,所以直线AC和BD是异面直线.
解题心得异面直线的判定方法
对点训练4如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
答案②④ 解析题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN是异面直线;题图③中,连接MG,易知GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN是异面直线.所以题图②,④中GH与MN异面.
【例6】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.
证明 (1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体.∴AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,∴AM=A1M1且AM∥A1M1,∴四边形AMM1A1为平行四边形,∴MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,∴MM1=BB1且MM1∥BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)(方法1)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同,∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1,∴∠BMC=∠B1M1C1.
解题心得(1)证明空间两条直线平行的方法:①定义法:证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;②利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.(2)证明空间角相等的方法:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.
对点训练5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:∠EA1F=∠E1CF1.
使A∈α,直线BC⊂α
3.平行直线(1)定义:在同一平面内 的两条直线称为平行直线. (2)空间平行线的传递性平行于同一条直线的两条直线互相 .即a∥b,a∥c,则b∥c.
4.等角定理(1)文字表述:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ,并且方向 ,那么这两个角 . (2)符号表述:
5.空间四边形 连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形,其中4个点都是空间四边形的 ,连接 顶点间的线段称为空间四边形的边,连接 顶点间的线段称为空间四边形的对角线.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.( )(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )(4)两两相交的三条直线一定共面.( )(5)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.( )
2.在空间中可以确定一个平面的条件是( )A.两条直线B.一点和一条直线C.三个点D.梯形
答案 D 解析 A中,若两条直线不是相交或平行直线,则不能确定一个平面;B中,若点在直线上,则不能确定一个平面;C中,若三个点在同一条直线上,则不能确定一个平面;D中,梯形有两条边平行,因为两条平行直线能确定一个平面.
3.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M
答案 D 解析∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是 (填序号). ①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
5.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
答案 (1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD
【例1】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交,证明:这四条直线共面.
证明 如图所示.(方法1)∵a∥b,∴a,b确定平面α.∵l∩a=A,l∩b=B,∴直线l上有两点A,B在α内,即直线l⊂α.∴直线a,b,l共面.同理,直线a,c,l共面,即c也在a,l确定的平面内.故直线a,b,c,l共面.(方法2)∵a∥b,∴过直线a,b确定平面α,∵A∈a,B∈b,∴AB⊂α,即直线l⊂α.∵b∥c,∴过b,c确定平面β,而B∈b,C∈c,∴BC⊂β,即l⊂β.∴直线b,l⊂α,直线b,l⊂β,而b∩l=B,∴平面α与β重合,故直线a,b,c,l共面.
解题心得点线共面问题的证明方法(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证明有关点、线确定平面α,再证明其余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合.
对点训练1如图所示,已知A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,求证:直线AD,BD,CD共面.
证明 因为D∉l,所以l与D可以确定平面α.因为A∈l,所以A∈α.又D∈α,所以AD⊂α.同理,BD⊂α,CD⊂α,所以直线AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面.
【例2】 如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=Q,BC∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.
证明 (方法1)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.(方法2)∵AP∩AQ=A,∴直线AP与直线AQ确定平面APQ.又AB∩α=P,AC∩α=Q,∴平面APQ∩α=PQ.∵B∈平面APQ,C∈平面APQ,∴BC⊂平面APQ.∵R∈BC,∴R∈平面APQ.又R∈α,∴R∈PQ,∴P,Q,R三点共线.
解题心得证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
对点训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和D1C1的中点,P,Q分别为EF和BD的中点,体对角线A1C与平面EFDB交于H点,求证:P,H,Q三点共线.
证明 因为EF⊂平面BDFE,P∈EF,所以P∈平面BDFE.同理,Q∈平面BDFE,所以P,H,Q∈平面BDFE.连接A1C1,AC,又由正方体的性质知A1C1∥AC,所以直线A1C1,AC确定平面ACC1A1,又P∈A1C1,Q∈AC,H∈A1C,所以P,H,Q∈平面ACC1A1,所以P,H,Q三点一定在平面BDFE与平面ACC1A1的交线上,故P,H,Q三点共线.
【例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF
对点训练3如图所示,在空间四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG= BC,CH= DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)直线FH,EG,AC共点.
证明 (1)连接EF,GH,∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD.又∵CG= BC,CH= DC,∴GH∥BD,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四点共面.(2)易知直线FH与直线AC不平行,但共面,∴设FH∩AC=M,则M∈平面EFHG,M∈平面ABC.∵平面EFHG∩平面ABC=EG,∴M∈EG,∴直线FH,EG,AC共点.
【例4】 若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
答案 D 解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.
【例5】 如图所示,AB,CD是异面直线,求证:直线AC,BD是异面直线.
证明 (方法1)反证法:假设AC和BD不是异面直线,则AC和BD在同一平面内,设这个平面为α,由AC⊂α,BD⊂α,知A,B,C,D∈α.故AB⊂α,CD⊂α.这与AB和CD是异面直线矛盾,所以假设不成立,则直线AC和BD是异面直线.(方法2)定理法:由图可知,直线AB,AC相交于点A,所以它们确定一个平面为α.由直线AB和CD是异面直线,则D∉α,即直线BD过平面α外一点D与平面α内一点B.又AC⊂α,B∉AC,所以直线AC和BD是异面直线.
解题心得异面直线的判定方法
对点训练4如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
答案②④ 解析题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN是异面直线;题图③中,连接MG,易知GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN是异面直线.所以题图②,④中GH与MN异面.
【例6】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.
证明 (1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体.∴AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,∴AM=A1M1且AM∥A1M1,∴四边形AMM1A1为平行四边形,∴MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,∴MM1=BB1且MM1∥BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)(方法1)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同,∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1,∴∠BMC=∠B1M1C1.
解题心得(1)证明空间两条直线平行的方法:①定义法:证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;②利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.(2)证明空间角相等的方法:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.
对点训练5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:∠EA1F=∠E1CF1.
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