2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第八章 平面解析几何 8.2　直线的方程

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1.直线与方程一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.
2.直线方程的5种形式
　y-y0=k(x-x0)　
3.两条直线相交、平行与重合的条件(1)几何方法判断设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,①l1与l2相交⇔　　　　　; ②l1∥l2⇔　 　　　　; ③l1与l2重合⇔　　　　　　　　. 
k1=k2且b1≠b2
k1=k2且b1=b2
(2)向量方法判断设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是　　　　　　; ②l1与l2平行或重合的充要条件是　　　　　　　; 
4.两条直线的垂直(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔　　　　　. (2)设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔　　　　　　　. 5.两种距离
A1A2+B1B2=0
1.六种常见的对称点(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
2.三种直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(n∈R).
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.(　　)(2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(　　)(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(　　)(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)
2.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为(　　)A.3B.4C.5D.7
3.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　)A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
答案 AC解析对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,故A正确;对于B,由直线l与直线x-y=0平行,可知a2+a+1=1,解得a=0或a=-1,故B不正确;对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),故C正确;对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,此时直线l在两坐标轴上的截距分别为-1,1,故D不正确.故选AC.
4.过点P(2,-3),倾斜角为45°的直线方程为　　　　　　　　　. 
答案x-y-5=0　解析直线的斜率为tan 45°=1,由点斜式得直线方程为y-(-3)=x-2,即x-y-5=0.
5.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　　　　　　. 
答案3x-2y=0或x+y-5=0　
【例1】 求适合下列条件的直线方程:(1)求经过点(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
(2)由已知设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α=3,即3x+4y+15=0.(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1.又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).故所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
解题心得1.求解直线方程的两种方法2.谨防三种失误(1)应用点斜式方程和斜截式方程时,要注意讨论斜率是否存在.(2)应用截距式方程时,要注意讨论直线是否过原点,即截距是否为0.(3)应用一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)确定直线的斜率时,注意讨论B是否为0.
对点训练1求适合下列条件的直线方程:(1)过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距互为相反数;(3)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.
【例2】 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△AOB的面积的最小值及此时直线l的方程.
解题心得求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用函数的单调性或均值不等式求解.
变式发散(1)若本例条件不变,求|OA|+|OB|的最小值及此时l的方程.(2)若本例条件不变,求 的最大值及此时直线l的方程.
考向1　判断两直线的位置关系【例3】 (2020天津静海区联考)“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的(　　)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案 A　解析 设直线l1:ax+2y-8=0,直线l2:x+(a+1)y+4=0.若l1与l2平行,则a(a+1)-2=0,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.当a=-2时,直线l1的方程为-2x+2y-8=0,即x-y+4=0,直线l2的方程为x-y+4=0,此时两直线重合,故a≠-2.当a=1时,直线l1的方程为x+2y-8=0,直线l2的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.故选A.
考向2　由两直线的位置关系求参数【例4】 (1)(2020安徽芜湖四校联考)若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m的值为(　　)A.1B.0C.2D.-1或0(2)(2020陕西宝鸡中学二模)若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则实数m的值为(　　)A.1B.-2
答案 (1)D　(2)A　解析 (1)由题意可知m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故选D.(2)由题意可知2-m(1+m)=0,解得m=-2或m=1.经检验,当m=-2时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=1时,符合题意.故m的值为1.故选A.
考向3　由两直线的位置关系求直线方程【例5】 经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为　　　　　　　　. 
答案4x-3y+9=0
(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2.所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.
解题心得利用直线方程的一般式判断两直线的平行或垂直时可避免讨论直线斜率不存在的情况,但要注意由A1B2-A2B1=0不能推出两直线平行.根据两直线平行求参数时,要注意检验求得的参数值是否满足题意.
对点训练2(1)求满足下列条件的直线方程.①过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0;②已知A(1,2),B(3,1),线段AB的垂直平分线.(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.①当l1∥l2时,求a的值;②当l1⊥l2时,求a的值.
【例6】 (1)(2020广东广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为　　　　　. (2)(2020福建厦门模拟)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为
答案 (1)[0,10]　(2)2或-6　
解题心得利用距离公式应注意(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.
对点训练3(1)已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图像上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)A.4B.3C.2D.1(2)已知直线l过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　. 
答案 (1)A　(2)x+3y-5=0或x=-1　
考向1　点关于点的对称【例7】过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为　　　　　　　　　　. 
答案 x+4y-4=0　解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
考向2　点关于线的对称【例8】 如图,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是(　　)
考向3　线关于线的对称【例9】 直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是(　　)A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0
答案 A　解析 设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直线方程为x-2y+3=0.
解题心得1.中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M(x0,y0)及N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解.(2)直线关于点对称:①先在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式得到所求直线方程.②先在已知直线上取一点,求出它关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
2.轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标.(2)直线关于直线对称:一般转化为点关于直线的对称来解决.
对点训练4 (1)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c=　　　　　. (2)设光线l从点A(-4, )出发,经x轴反射后经过点 ,则光线l与x轴交点的坐标为　　　　　,若该光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为　　　　　. (3)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).①求点A关于直线l的对称点A'的坐标;②求直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程;③求直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.
解析 (1)在直线l1:2x+y+2=0上取点M(-1,0),N(0,-2),则点M,N关于点P(1,0)的对称点分别为M1(3,0),N1(2,2).因为点M1(3,0),N1(2,2)在直线l2:4x+by+c=0上,所以12+c=0,8+2b+c=0,解得c=-12,b=2,所以b+c=-10.