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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第七章 空间向量与立体几何 7.6 空间向量在立体几何中的应用
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第七章 空间向量与立体几何 7.6 空间向量在立体几何中的应用，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，位置向量，平行或重合，方向向量，v∥l，v1v2，l1⊥l2，不共面等内容，欢迎下载使用。
1.空间中的点与空间向量一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量 唯一确定,此时, 通常称为点P的 . 2.空间中的直线与空间向量一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l ,则称v为直线l的一个 .此时,也称向量v与直线l ,记作 . (1)如果A,B是直线l上两个不同的点,则v= ,即为直线l的一个 .
(2)如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λv也是直线l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量都平行.(3)如果v为直线l的一个方向向量,A为直线l上一个已知的点,则对于直线l上任意一点B,向量 一定与非零向量v平行,从而可知存在唯一的实数λ,使得 =λv,这就是说,空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定.(4)如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔ .
l1∥l2或l1与l2重合
3.空间中两条直线所成的角(1)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ= 或θ= ,所以sin θ= ,cs θ= . (2) ⇔= ⇔v1·v2= .
π-
sin
|cs|
4.异面直线与空间向量设v1,v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量.(1)如果l1与l2异面,则v1与v2是不可能平行的.(2)如果v1与v2不平行,则l1与l2可能异面,也可能相交.(3)如果A∈l1,B∈l2:则l1与l2异面时,可知v1,v2, 是 的;反之,如果v1,v2, 不共面,则l1与l2是异面的. (4)公垂线段:一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2, ,则称MN为l1与l2的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的 .
MN⊥l1,MN⊥l2
5.平面的法向量(1)如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个 ,且表示n的有向线段所在的直线与平面α ,则称n为平面α的一个法向量.此时也称n与平面α垂直,记作n⊥α. (2)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v⇔ ;n⊥v⇔ . (3)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则n1⊥n2⇔ ;n1∥n2⇔α1∥α2,或α1与α2重合.
6.三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的 在该平面内的 垂直,则它也和这条 垂直. (2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的 和这个平面的 垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
7.直线和平面所成的角
cs θ=cs θ1·cs θ2
9.用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则θ= 或θ= ,特别地cs θ= 或sin θ= .
|cs|
10.二面角的概念(1)半平面:平面内的一条直线把平面分为两部分, 都称为一个半平面. (2)二面角:从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的 , 称为二面角的面.棱为l,两个面分别为α,β的二面角的面,记作 ,若A∈α,B∈β,则二面角也可以记作 ,二面角的范围为 . (3)二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱上 ,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
11.用空间向量求二面角的大小如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则θ= 或θ= ,sin θ= .
sin
12.用空间向量求空间距离(1)一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离为d= . (2)当直线与平面平行时,直线上 称为这条直线与这个平面之间的距离,如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为(3)当平面与平面平行时,一个平面内任意一点 称为这两个平行平面之间的距离. (4)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α和平面β内的点,则平面α和平面β之间的距离为 .
任意一点到平面的距离
1.平面的法向量的性质(1)如果直线l垂直于平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量.(2)如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,且平面α的任意两个法向量都平行.(3)如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量 一定与向量n垂直,即n· =0,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定.
2.作二面角的平面角的方法(1)定义法:由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点,求解用到的是解三角形的有关知识.(2)垂面法:作(找)一个与棱垂直的平面,与两面的交线就构成了平面角.(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角,这种方法最为重要,其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( )(4)设n是平面α的法向量,A是平面α内一点,AB是平面α的一条斜线,则点B到(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( )
2.(多选)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论,其中正确的有( )A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
4.(2020山东威海校际联考)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2 ,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为 .
解析 以C为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),C1(0,0,2 ).取AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,又平面ABB1A1⊥平面ABC,且两者相交于直线AB,所以
【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角.∴∠PBC=30°.
思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法?解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.
对点训练1如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.
证明 由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.
令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).因为n1·n2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.
【例2】 (1)(2017全国2,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )(2)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )
答案 (1)C (2)A解析 (1)(方法1)如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.
(2)(方法1)如图,取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°,建立空间
(方法2)如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角的平面角,
解题心得1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量v1,v2;面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,这个角就是这两条异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.
对点训练2(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为( )(2)(2020重庆南开中学高三期中正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2 ,D为棱A1B1的中点,则异面直线AD与CB1所成角的大小为 .
【例3】 (2020全国2,理20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于点E,交AC于点F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
(1)证明因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
解题心得利用向量求线面角的两种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量的夹角,若这个角是锐角,就取其余角,若这个角是钝角,就用这个角减去90°,从而得到斜线与平面所成的角.
对点训练3(2020浙江,19)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(1)证明:EF⊥DB;(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
(1)证明如图,过点D作DO⊥AC,交直线AC于点O,连接OB.由∠ACD=45°,DO⊥AC,得CD= CO,由平面ACFD⊥平面ABC,得DO⊥平面ABC,所以DO⊥BC.由∠ACB=45°,BC= CD= CO,得BO⊥BC.所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB.由三棱台ABC-DEF,得BC∥EF.所以EF⊥DB.
(2)解(方法1)过点O作OH⊥BD,交直线BD于点H,连接CH.由三棱台ABC-DEF,得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.由BC⊥平面BDO,得OH⊥BC,故OH⊥平面BCD,所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(方法2)由三棱台ABC-DEF,得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角,记为θ.如图,以O为原点,分别以射线OC,OD为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.设CD=2 .由题意知,O(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,2).
【例4】 如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.
思路探究(1)充分利用图形中的垂直关系,用传统的方法(综合法)可证.(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系,用法向量求二面角的余弦值.
(1)证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
变式发散1(变问法)本例(2)条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.
解 如图建立空间直角坐标系.
变式发散2(变条件、变问法)本例四棱柱中,∠CBA=60°改为∠CBA=90°,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值.
解题心得利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
对点训练4如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB=BC=CC1=2CD,E为线段AB的中点,F是线段DD1上的动点.(1)求证:EF∥平面BCC1B1;(2)若∠BCD=∠C1CD=60°,且平面D1C1CD⊥平面ABCD,求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.
(1)证明 如图1,连接DE,D1E.∵AB∥CD,AB=2CD,E是AB的中点,∴BE∥CD,BE=CD,∴四边形BCDE是平行四边形,∴DE∥BC.又DE⊄平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,∴DE∥平面BCC1B1.∵DD1∥CC1,DD1⊄平面BCC1B1,CC1⊂平面BCC1B1,∴D1D∥平面BCC1B1.又D1D∩DE=D,∴平面DED1∥平面BCC1B1.∵EF⊂平面DED1,∴EF∥平面BCC1B1.
(2)解 如图1,连接BD.设CD=1,则AB=BC=CC1=2.∴CD2+BD2=BC2,∴BD⊥CD.同理可得,C1D⊥CD.(方法1)∵平面D1C1CD⊥平面ABCD,平面D1C1CD∩平面ABCD=CD,C1D⊂平面D1C1CD,∴C1D⊥平面ABCD,∵BC⊂平面ABCD,∴C1D⊥BC,∴C1D⊥B1C1.在平面ABCD中,过点D作DH⊥BC,垂足为H,连接C1H,如图1.∵C1D∩DH=D,∴BC⊥平面C1DH.∵C1H⊂平面C1DH,∴BC⊥C1H,∴B1C1⊥C1H,∴∠DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角.
(方法2)以D为原点,分别以DB,DC,DC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图2,
公式cs θ=cs θ1·cs θ2的应用
【例5】 ∠BOC在平面α内,OA是平面α的一条斜线,若∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC= a,求OA与平面α所成的角.
(方法2)∵∠AOB=∠AOC=60°,∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线,作∠BOC的角平分线OH交BC于点H.
解题心得求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置,只有确定了射影,才能将空间角转化为平面角.在本例中,也可以直接作AH⊥BC于点H,进而证明AH⊥平面α,从而证明H是点A在平面α内的射影.方法2则灵活应用公式cs θ=cs θ1·cs θ2求线面角,也是常用的方法.
对点训练5如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD.若∠PBC=60°,求直线PB与平面ABCD所成的角θ.
解 由题意得∠CBD=45°,∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.∵cs∠PBC=cs θ·cs∠CBD,∠PBC=60°.即cs 60°=cs θ·cs 45°,解得cs θ= ,即θ=45°.
【例6】 如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2 ,求点A到平面MBC的距离.
解如图,取CD的中点O,连接OB,OM,因为△BCD与△MCD均为正三角形,所以OB⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,OM⊂平面MCD,所以MO⊥平面BCD,所以OM⊥OB.以O为坐标原点,直线OC,BO,OM分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,所以OB=OM= ,
解题心得求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.
对点训练6如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA1⊥AC1.(1)求证:AC1⊥平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距离.
1.空间中的点与空间向量一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量 唯一确定,此时, 通常称为点P的 . 2.空间中的直线与空间向量一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l ,则称v为直线l的一个 .此时,也称向量v与直线l ,记作 . (1)如果A,B是直线l上两个不同的点,则v= ,即为直线l的一个 .
(2)如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λv也是直线l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量都平行.(3)如果v为直线l的一个方向向量,A为直线l上一个已知的点,则对于直线l上任意一点B,向量 一定与非零向量v平行,从而可知存在唯一的实数λ,使得 =λv,这就是说,空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定.(4)如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔ .
l1∥l2或l1与l2重合
3.空间中两条直线所成的角(1)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ= 或θ= ,所以sin θ= ,cs θ= . (2) ⇔
π-
sin
|cs
4.异面直线与空间向量设v1,v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量.(1)如果l1与l2异面,则v1与v2是不可能平行的.(2)如果v1与v2不平行,则l1与l2可能异面,也可能相交.(3)如果A∈l1,B∈l2:则l1与l2异面时,可知v1,v2, 是 的;反之,如果v1,v2, 不共面,则l1与l2是异面的. (4)公垂线段:一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2, ,则称MN为l1与l2的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的 .
MN⊥l1,MN⊥l2
5.平面的法向量(1)如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个 ,且表示n的有向线段所在的直线与平面α ,则称n为平面α的一个法向量.此时也称n与平面α垂直,记作n⊥α. (2)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v⇔ ;n⊥v⇔ . (3)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则n1⊥n2⇔ ;n1∥n2⇔α1∥α2,或α1与α2重合.
6.三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的 在该平面内的 垂直,则它也和这条 垂直. (2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的 和这个平面的 垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
7.直线和平面所成的角
cs θ=cs θ1·cs θ2
9.用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则θ= 或θ= ,特别地cs θ= 或sin θ= .
|cs
10.二面角的概念(1)半平面:平面内的一条直线把平面分为两部分, 都称为一个半平面. (2)二面角:从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的 , 称为二面角的面.棱为l,两个面分别为α,β的二面角的面,记作 ,若A∈α,B∈β,则二面角也可以记作 ,二面角的范围为 . (3)二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱上 ,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
11.用空间向量求二面角的大小如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则θ= 或θ= ,sin θ= .
sin
12.用空间向量求空间距离(1)一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离为d= . (2)当直线与平面平行时,直线上 称为这条直线与这个平面之间的距离,如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为(3)当平面与平面平行时,一个平面内任意一点 称为这两个平行平面之间的距离. (4)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α和平面β内的点,则平面α和平面β之间的距离为 .
任意一点到平面的距离
1.平面的法向量的性质(1)如果直线l垂直于平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量.(2)如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,且平面α的任意两个法向量都平行.(3)如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量 一定与向量n垂直,即n· =0,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定.
2.作二面角的平面角的方法(1)定义法:由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点,求解用到的是解三角形的有关知识.(2)垂面法:作(找)一个与棱垂直的平面,与两面的交线就构成了平面角.(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角,这种方法最为重要,其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( )(4)设n是平面α的法向量,A是平面α内一点,AB是平面α的一条斜线,则点B到(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( )
2.(多选)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论,其中正确的有( )A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
4.(2020山东威海校际联考)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2 ,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为 .
解析 以C为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),C1(0,0,2 ).取AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,又平面ABB1A1⊥平面ABC,且两者相交于直线AB,所以
【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角.∴∠PBC=30°.
思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法?解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.
对点训练1如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.
证明 由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.
令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).因为n1·n2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.
【例2】 (1)(2017全国2,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )(2)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )
答案 (1)C (2)A解析 (1)(方法1)如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.
(2)(方法1)如图,取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°,建立空间
(方法2)如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角的平面角,
解题心得1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量v1,v2;面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,这个角就是这两条异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.
对点训练2(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为( )(2)(2020重庆南开中学高三期中正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2 ,D为棱A1B1的中点,则异面直线AD与CB1所成角的大小为 .
【例3】 (2020全国2,理20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于点E,交AC于点F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
(1)证明因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
解题心得利用向量求线面角的两种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量的夹角,若这个角是锐角,就取其余角,若这个角是钝角,就用这个角减去90°,从而得到斜线与平面所成的角.
对点训练3(2020浙江,19)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(1)证明:EF⊥DB;(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
(1)证明如图,过点D作DO⊥AC,交直线AC于点O,连接OB.由∠ACD=45°,DO⊥AC,得CD= CO,由平面ACFD⊥平面ABC,得DO⊥平面ABC,所以DO⊥BC.由∠ACB=45°,BC= CD= CO,得BO⊥BC.所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB.由三棱台ABC-DEF,得BC∥EF.所以EF⊥DB.
(2)解(方法1)过点O作OH⊥BD,交直线BD于点H,连接CH.由三棱台ABC-DEF,得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.由BC⊥平面BDO,得OH⊥BC,故OH⊥平面BCD,所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(方法2)由三棱台ABC-DEF,得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角,记为θ.如图,以O为原点,分别以射线OC,OD为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.设CD=2 .由题意知,O(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,2).
【例4】 如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.
思路探究(1)充分利用图形中的垂直关系,用传统的方法(综合法)可证.(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系,用法向量求二面角的余弦值.
(1)证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
变式发散1(变问法)本例(2)条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.
解 如图建立空间直角坐标系.
变式发散2(变条件、变问法)本例四棱柱中,∠CBA=60°改为∠CBA=90°,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值.
解题心得利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
对点训练4如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB=BC=CC1=2CD,E为线段AB的中点,F是线段DD1上的动点.(1)求证:EF∥平面BCC1B1;(2)若∠BCD=∠C1CD=60°,且平面D1C1CD⊥平面ABCD,求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.
(1)证明 如图1,连接DE,D1E.∵AB∥CD,AB=2CD,E是AB的中点,∴BE∥CD,BE=CD,∴四边形BCDE是平行四边形,∴DE∥BC.又DE⊄平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,∴DE∥平面BCC1B1.∵DD1∥CC1,DD1⊄平面BCC1B1,CC1⊂平面BCC1B1,∴D1D∥平面BCC1B1.又D1D∩DE=D,∴平面DED1∥平面BCC1B1.∵EF⊂平面DED1,∴EF∥平面BCC1B1.
(2)解 如图1,连接BD.设CD=1,则AB=BC=CC1=2.∴CD2+BD2=BC2,∴BD⊥CD.同理可得,C1D⊥CD.(方法1)∵平面D1C1CD⊥平面ABCD,平面D1C1CD∩平面ABCD=CD,C1D⊂平面D1C1CD,∴C1D⊥平面ABCD,∵BC⊂平面ABCD,∴C1D⊥BC,∴C1D⊥B1C1.在平面ABCD中,过点D作DH⊥BC,垂足为H,连接C1H,如图1.∵C1D∩DH=D,∴BC⊥平面C1DH.∵C1H⊂平面C1DH,∴BC⊥C1H,∴B1C1⊥C1H,∴∠DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角.
(方法2)以D为原点,分别以DB,DC,DC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图2,
公式cs θ=cs θ1·cs θ2的应用
【例5】 ∠BOC在平面α内,OA是平面α的一条斜线,若∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC= a,求OA与平面α所成的角.
(方法2)∵∠AOB=∠AOC=60°,∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线,作∠BOC的角平分线OH交BC于点H.
解题心得求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置,只有确定了射影,才能将空间角转化为平面角.在本例中,也可以直接作AH⊥BC于点H,进而证明AH⊥平面α,从而证明H是点A在平面α内的射影.方法2则灵活应用公式cs θ=cs θ1·cs θ2求线面角,也是常用的方法.
对点训练5如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD.若∠PBC=60°,求直线PB与平面ABCD所成的角θ.
解 由题意得∠CBD=45°,∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.∵cs∠PBC=cs θ·cs∠CBD,∠PBC=60°.即cs 60°=cs θ·cs 45°,解得cs θ= ,即θ=45°.
【例6】 如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2 ,求点A到平面MBC的距离.
解如图,取CD的中点O,连接OB,OM,因为△BCD与△MCD均为正三角形,所以OB⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,OM⊂平面MCD,所以MO⊥平面BCD,所以OM⊥OB.以O为坐标原点,直线OC,BO,OM分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,所以OB=OM= ,
解题心得求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.
对点训练6如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA1⊥AC1.(1)求证:AC1⊥平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距离.
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