还剩52页未读，
继续阅读
2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第五章 平面向量、复数 5.2 向量基本定理与向量的坐标
展开
这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第五章 平面向量、复数 5.2 向量基本定理与向量的坐标，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，bλa，不共线，cxa+yb，xa+yb，axe，x1+x2等内容，欢迎下载使用。
素养提升微专题5——共线定理的推广及应用
1.共线向量基本定理如果a≠0且b∥a,则存在唯一一个实数λ,使得 . 2.平面向量基本定理(1)定理:如果平面内两个向量a与b ,则对该平面内任意一个向量c,存在 的实数对(x,y),使得 . (2)基底:平面内 的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底.此时如果c=xa+yb,则称 为c在基底{a,b}下的分解式.
3.直线上向量的坐标及其运算(1)直线上向量的坐标给定一条直线l以及这条直线上一个 e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得 ,此时, 称为向量a的坐标. (2)直线上向量的运算与坐标的关系已知直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,则①a+b的坐标为 ;②ua+vb的坐标为 ;③ua-vb的坐标为 .
(3)数轴上两点间的距离公式(4)中点坐标公式设M(x)是线段AB的中点,则x= .
4.平面向量的坐标(1)垂直向量:平面上两个非零向量a与b,如果它们所在的 ,我们就称向量a与b垂直,记作 .规定零向量与任意向量都垂直. (2)正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为 ;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. (3)向量的坐标一般地,给定平面内两个 向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
5.平面上向量的运算与坐标的关系假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b= ; (2)a-b= ; (3)如果λ为实数,那么λa= ; (4)如果μ,v是两个实数,那么μa+vb= ,μa-vb= ; (5)向量相等的充要条件为 且 ; (6)模长公式为|a|= ; (7)向量平行的坐标表示:a∥b⇔ .
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(μx1+vx2,μy1+vy2)
(μx1-vx2,μy1-vy2)
x2y1=x1y2
6.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1,y1),B(x2,y2),则(3)设AB的中点M(x,y),则x= ,y= .
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )(3)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.( )(4)已知{a,b}是平面向量的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
2.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
4.(2018全国3,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
【例1】 设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解 因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),又因为λ<0,k=λ,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.
解题心得[提醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
答案 (1)C (2)B
答案 (1)C (2)C
解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘向量.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
(2)在下列向量组中,可以把向量a=(2,3)表示成λe1+μe2(λ,μ∈R)的是( )A.e1=(0,0),e2=(2,1)B.e1=(3,4),e2=(6,8)C.e1=(-1,2),e2=(3,-2)D.e1=(1,-3),e2=(-1,3)(3)设{e1,e2}是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底{a,b}的线性组合,即e1+e2= .
(2)根据平面向量基本定理可知,e1,e2不共线,验证各选项,只有选项C中的两个向量不共线,故选C.
(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得
答案 (1)B (2)B
解题心得求解平面向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标平面向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.(3)妙用待定系数法求系数利用平面向量坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.
答案 (1)(4,7) (2)A
(2)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为
考向1 利用向量共线求向量或点的坐标【例4】 已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为 .
答案 (3,3)
考向2 利用向量共线求参数【例5】 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则 = .
解题心得平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
对点训练4(1)设向量 =(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为( )A.-3B.-2C.2D.3(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为 .
答案(1)A (3)60°
素养解读最近几年的高考试题中,很多题目都是以向量知识为背景,以共线向量为载体的向量分解与合成问题.以共线向量基本定理为“数”和“形”的纽带,旨在考查学生分析问题的能力,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
类型一 感受平面内三点共线的结论在解题中的简明快捷
解题心得共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上,那么用其中两个向量表示另一个向量时,等式左边系数之和等于右边系数之和.
答案 B 解析 如图,∵CD为∠ACB的角平分线,
类型二 感受共线向量数、形二重性在平面几何探究中的独特魅力
解题心得将平面几何中的有向线段转化为平面向量→应用平面向量基本定理分解→推理三点共线→转化为几何关系证明成立.
类型三 感受共线向量在探求分量系数满足条件时的动态思维
素养提升微专题5——共线定理的推广及应用
1.共线向量基本定理如果a≠0且b∥a,则存在唯一一个实数λ,使得 . 2.平面向量基本定理(1)定理:如果平面内两个向量a与b ,则对该平面内任意一个向量c,存在 的实数对(x,y),使得 . (2)基底:平面内 的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底.此时如果c=xa+yb,则称 为c在基底{a,b}下的分解式.
3.直线上向量的坐标及其运算(1)直线上向量的坐标给定一条直线l以及这条直线上一个 e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得 ,此时, 称为向量a的坐标. (2)直线上向量的运算与坐标的关系已知直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,则①a+b的坐标为 ;②ua+vb的坐标为 ;③ua-vb的坐标为 .
(3)数轴上两点间的距离公式(4)中点坐标公式设M(x)是线段AB的中点,则x= .
4.平面向量的坐标(1)垂直向量:平面上两个非零向量a与b,如果它们所在的 ,我们就称向量a与b垂直,记作 .规定零向量与任意向量都垂直. (2)正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为 ;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. (3)向量的坐标一般地,给定平面内两个 向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
5.平面上向量的运算与坐标的关系假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b= ; (2)a-b= ; (3)如果λ为实数,那么λa= ; (4)如果μ,v是两个实数,那么μa+vb= ,μa-vb= ; (5)向量相等的充要条件为 且 ; (6)模长公式为|a|= ; (7)向量平行的坐标表示:a∥b⇔ .
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(μx1+vx2,μy1+vy2)
(μx1-vx2,μy1-vy2)
x2y1=x1y2
6.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1,y1),B(x2,y2),则(3)设AB的中点M(x,y),则x= ,y= .
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )(3)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.( )(4)已知{a,b}是平面向量的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
2.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
4.(2018全国3,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
【例1】 设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解 因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),又因为λ<0,k=λ,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.
解题心得[提醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
答案 (1)C (2)B
答案 (1)C (2)C
解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘向量.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
(2)在下列向量组中,可以把向量a=(2,3)表示成λe1+μe2(λ,μ∈R)的是( )A.e1=(0,0),e2=(2,1)B.e1=(3,4),e2=(6,8)C.e1=(-1,2),e2=(3,-2)D.e1=(1,-3),e2=(-1,3)(3)设{e1,e2}是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底{a,b}的线性组合,即e1+e2= .
(2)根据平面向量基本定理可知,e1,e2不共线,验证各选项,只有选项C中的两个向量不共线,故选C.
(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得
答案 (1)B (2)B
解题心得求解平面向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标平面向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.(3)妙用待定系数法求系数利用平面向量坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.
答案 (1)(4,7) (2)A
(2)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为
考向1 利用向量共线求向量或点的坐标【例4】 已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为 .
答案 (3,3)
考向2 利用向量共线求参数【例5】 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则 = .
解题心得平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
对点训练4(1)设向量 =(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为( )A.-3B.-2C.2D.3(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为 .
答案(1)A (3)60°
素养解读最近几年的高考试题中,很多题目都是以向量知识为背景,以共线向量为载体的向量分解与合成问题.以共线向量基本定理为“数”和“形”的纽带,旨在考查学生分析问题的能力,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
类型一 感受平面内三点共线的结论在解题中的简明快捷
解题心得共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上,那么用其中两个向量表示另一个向量时,等式左边系数之和等于右边系数之和.
答案 B 解析 如图,∵CD为∠ACB的角平分线,
类型二 感受共线向量数、形二重性在平面几何探究中的独特魅力
解题心得将平面几何中的有向线段转化为平面向量→应用平面向量基本定理分解→推理三点共线→转化为几何关系证明成立.
类型三 感受共线向量在探求分量系数满足条件时的动态思维
相关课件
2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示课件： 这是一份2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示课件，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，不共线，有且只有，λ1e1＋λ2e2，互相垂直，λx1λy1，所以c＝3a－2b，如图所示等内容，欢迎下载使用。
广东专用2024版高考数学大一轮总复习第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示课件： 这是一份广东专用2024版高考数学大一轮总复习第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示课件，共47页。PPT课件主要包含了课程标准有的放矢，必备知识温故知新，自主评价牛刀小试，核心考点精准突破，课时作业知能提升，教材梳理，互相垂直，相应坐标的和，相应坐标的差，常用结论等内容，欢迎下载使用。
广东专用2023版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示课件： 这是一份广东专用2023版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示课件，共30页。
