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第01讲 平面向量的数量积(主干知识复习)-【暑假自学课】2022年高二数学暑假精品课(人教版2019必修二)
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第01讲 平面向量的数量积 【学习目标】1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量垂直的条件. 【基础知识】一.平面向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是:[0,π].2.平面向量的数量积(1)设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。解读:向量的数量积是一种新的乘法,和向量的线性运算有着显著的区别,两个向量的数量积,其结果是数量,而不是向量.学习时必须透彻理解数量积概念的内涵.二、投影向量1.向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定.2.向量a在b方向上的投影向量·.3.注意:a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同,即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ.三、平面向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则1.e·a=a·e=|a|cosθ.2.a⊥b⇔a·b=0.3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=.(4)cosθ=.(5)|a·b|≤|a||b|.四、平面向量数量积满足的运算律1.a·b=b·a;2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);3.(a+b)·c=a·c+b·c.五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到1.若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离AB=||=.3.设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.4.若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角,则cosθ==.六、平面向量数量积运算的常用公式1.(a+b)·(a-b)=a2-b2.2.(a+b)2=a2+2a·b+b2.3.(a-b)2=a2-2a·b+b2.七、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路1.题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.2.给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.八、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;2.通过向量运算,研究几何元素之间的关系;3.把运算结果“翻译”成几何关系. 【考点剖析】考点一:利用定义求平面向量的数量积例1.(2021-2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中)已知向量,满足,,则( )A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】因为.故选D.考点二:向量的投影向量例2.(2021-2022学年天津市河北区高一下学期期中)已知,,与的夹角为135°,则在方向上的投影向量为( )A.- B. C. D.【答案】A【解析】因为,,与的夹角为135°,所以在方向上的投影为,所以在方向上的投影向量为-,故选A.考点三:利用数量积的性质求向量的模例3.(2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)已知,是平面内的两个向量,,且,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由,则,所以.故选D考点四:利用数量积性质求向量的夹角例4.(2021-2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)已知在方向上的投影向量为,则与夹角的正弦值为___________.【答案】【解析】因为,,且在方向上的投影向量为,设与的夹角为,则,即,又因为,且,故.考点五:利用数量积求解垂直问题例5.(2021-2022学年河南省商丘市一高高一下学期五月月考)已知向量,满足,,,若,则实数的值为( )A.2 B. C.9 D.【答案】C【解析】由,可得,由,可得,又,,则有,故,故选C考点六:数量积的坐标运算例6.(2021-2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中)已知向量,点,,则向量在上的投影向量的模长为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,故在上的投影向量的模长为.故选D考点七:建立坐标系求解几何图形中的数量积问题例7.(2021-2022学年河南省安阳市高一下学期联考)已知正方形的边长为2,为正方形的内部或边界上任一点,则的最大值是( ).A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,因为正方形的边长为2,所以,设,,因为,所以,因为,所以,因此,当且仅当时取等号,故选D 【真题演练】1.(2020年高考全国卷Ⅲ)已知向量a,b满足,,,则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,,,.,因此,.故选D.2.(2019年高考全国卷Ⅱ卷)已知,,,则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵,,∴,∴,解得,即,则.3.(2018年高考全国卷Ⅱ)已知向量,满足,,则 ( )A.4 B.3 C.2 D.0【答案】B【解析】,故选B.4.(2021年高考全国卷Ⅱ)已知向量.若,则________.【答案】.【解析】,,解得,故答案为.5.(2021年高考全国卷Ⅰ)已知向量,若,则__________.【答案】【解析】因为,所以由可得,,解得.6.(2020年高考全国卷Ⅰ)设为单位向量,且,则______________.【答案】【解析】因为为单位向量,所以所以。解得:所以7.(2020年高考全国卷Ⅱ)已知单位向量,的夹角为45°,与垂直,则k=__________.【答案】【解析】由题意可得:,由向量垂直的充分必要条件可得:,即:,解得:.8.(2019年高考全国卷Ⅲ)已知,为单位向量,且,若,则___________.【答案】.【解析】因为,,所以,,所以,所以. 【过关检测】1.(2021-2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期期中)已知点,则向量在方向上投影向量为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】,则向量在方向上投影向量为,故选B2.(2021-2022学年江苏省常州市第二中学高一下学期5月学情调研)已知向量,若与垂直,则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为与垂直,故,解得,则,,设与夹角为,则.故选A.3.(2021-2022学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考)已知,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由与的夹角为锐角知且与不共线,即且,即且.故选D.4.(2021-2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)如图,中,,,P为CD上一点,且满足,若AC=3,AB=4,则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】, ,三点共线,, ,又,故选C5.(2021-2022学年山东省菏泽市高一下学期期中)已知正方形ABCD的边长为1,向量,满足,,则( )A. B.C. D.【答案】BCD【解析】∵,,∴,又正方形ABCD的边长为1,∴,故A错误;∴,,即,故BC正确;∴,即,故D正确.故选BCD.6.(2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中)如果是两个单位向量,那么下列四个结论中错误的是( )A. B. C. D.【答案】AC【解析】依题意,是两个单位向量,单位向量方向不一定相同,所以A选项结论错误.单位向量的模为,所以,所以BD选项结论正确.当时,,所以C选项结论错误.故选AC7.(2021-2022学年上海交通大学附属中学高一下学期线上教学反馈)点O在所在的平面内,则下列说法正确的是( )A.若,则点O是的外心B.若,则点O是的内心C.若,则点O是的外心D.若,则点O是的垂心E.若,则点O是的内心F.若,则点O是的垂心【答案】BCDEF【解析】对于A设的中点为,则.所以.这就说明点共线,即点在边的中线上同理,可以说明点在另外两边的中线上所以为三角形的重心故A错误对于B向量分别表示在边和上的单位向量, 设为和, 则它们的差是向是则当 即时,点在的平分线上, 同理由 ,知点在的平分线上, 故为的内心故B正确对于C由向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义可知表示以 、为邻边的平行四边形是菱形, 即 , 同理有, 所以为的外心故C正确对于D由可得所以,即在边的垂线上同理可证在边的垂线上所以为三角形的垂心故D正确对于E即因为所以所以故因为与分别为和方向上的单位向量, 设, 则平分. 又、共线, 知平分.同理可证平分, 平分, 所以O点是的内心.故E正确对于F等价于(设角,,的对边分别为,,)(由三角形的高得到)所以, 同理.所以点是的垂心故F正确故选BCDEF8. (2021-2022学年江苏省淮安市淮安区高一下学期期中)如图,平面向量,的夹角是60°,||=4,||=2,平面内任意一点E关于点B对称点为F,点F关于点C的对称点为点G,则=______.【答案】【解析】,所以,.9.(2021-2022学年浙江省A9协作体高一下学期期中联考)已知平面向量,,,满足,,,,则的最小值为________.【答案】【解析】因为,不妨设,因为,,不妨设所以,因为,所以,,故,所以,当且仅当时等号成立,所以10. (2021-2022学年河北省保定市部分学校高一下学期第二次月考)已知向量,,,则____________.【答案】【解析】因为,所以,,所以.
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