第03讲 空间直线、平面的平行与垂直-【暑假自学课】2022年高二数学暑假精品课（人教版2019必修二主干知识复习）

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第03讲 空间直线、平面的平行与垂直       【学习目标】1.借助长方体,在直观认识空间点,直线,平面的位置关系的基础上,抽象出空间点,直线,平面的位置关系的定义,了解以下基本事实（公理）和定理2.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的性质定理,并加以证明定理1：一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行．定理2：两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行定理3：垂直于同一个平面的两条直线平行定理4：两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直3.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的判定定理定理5：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行定理6：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行定理7：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直定理8：如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．         【基础知识】一、空间中直线与平面之间的位置关系1.直线在平面内,则它们有无数个公共点．2.直线与平面相交,则它们有1个公共点．3.直线与平面平行,则它们没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．二、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)l∥α,a⊂β,α∩β＝b ⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥α,l⊂β,α∩β＝b⇒l∥b三、平面与平面之间的位置关系1.两个平面平行,则它们没有公共点．2.两个平面相交,则它们有一条公共直线,两个平面垂直是相交的一种特殊情况．四、平面与平面平行的判定和性质 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒β∥⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b 五、证明平行时常用的其他性质1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.2.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.3.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.六、判断或证明线面平行的常用方法1.利用线面平行的定义(无公共点)．2.利用线面平行的判定定理(aα,b⊂α,a∥b⇒a∥α)．3.利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β)．4.利用面面平行的性质(α∥β,aα,aβ,a∥α⇒a∥β)．七、证明面面平行的方法1.面面平行的定义．2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行．4.两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行．八、证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行,在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识,如三角形的中位线与第3边平行,若四边形的一组对边平行且相等,则另一组对边平行等.九、线线垂直如果两条直线所成的角是(无论它们是相交还是异面),那么这两条直线互相垂直．十、直线与平面垂直1.如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足．垂线上2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直, ⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b十一、平面和平面垂直的定义1.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直．2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α十二、判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义．(2)如果直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.(3)如果直线a⊥面α,c⊂α,则a⊥c.(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．十三、证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a,b⊂α,a⊥c,b⊥c⇒c⊥α.(2)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.(3)利用面面平行的性质：α∥β,a⊥α⇒a⊥β.(4)利用面面垂直的性质：α⊥β,α∩β＝m,a⊂α,a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m⇒m⊥γ.十四、证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面：α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ   【考点剖析】考点一：线线位置关系的判断例1．（2021-2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期五月月考）设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是（       ）A．若,,则 B．若,,则C．若,,则 D．若,,则【答案】D【解析】A选项,,,则可能平行,相交,异面,故A错误；B选项,,,则可能,故B错误；C选项,,,则可能,也可能,故C错误；D选项,根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面,则另一条也垂直该平面,故D正确.故选D.考点二：线线平行的证明例2．（2021-2022学年山西省高一下学期第三次月考）如图,在直三棱柱中,,M为棱上一点.(1)记平面ACM与平面的交线为l,证明；(2)若M为的中点,且二面角A－CM－B的正切值为3,求线段BC的长度.【解析】 (1)证明：在直三棱柱中,∵平面ACM,平面ACM.平面ACM,∵平面,平面平面,∴；(2)解：取BC的中点E,连接AE,过E作于点F,连接AF.∵,∴,又∵MB⊥平面ABC,平面ABC,∴.∵,∴AE⊥平面BCM,∴,又,平面AEF,所以MC⊥平面AEF,又平面AEF,所以,∴即为所求二面角的平面角,∵AE⊥平面BCM,平面BCM,∴,又∵,∴,记,由,,又,∴,解得,即,∴.考点三：线面平行的证明例3．（2021-2022学年山西省高一下学期第三次月考）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则角A的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得,或（舍）.故选A．考点四：面面平行的证明例4．（2021-2022学年广东省广州市仲元中学高一下学期期中）在正方体中,E、F分别是棱和棱的中点．(1)求证：平面平面；(2)试问平面截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由．【解析】 (1)证明：如图所示：因为E,F为中点,则,,所以四边形是平行四边形,则,又平面AEC,平面AEC,所以平面AEC,连接BD交AC于点O,连接OE,则,且平面AEC ,平面AEC ,所以平面AEC ,又,所以平面平面；(2)由（1）知：平面平面,且平面,平面平面,所以,又,所以,又,则,所以四边形是平行四边形,又DF=DG,故平面截正方体所得的截面是菱形.考点五：利用平行关系作截面例5．（2022届上海市静安区高三下学期6月最后阶段水平模拟）正方体的棱长为1,、分别为、的中点,则平面截正方体所得的截面面积为____________．【答案】【解析】如图,连接 则,可得等腰梯形为平面截正方体所得的截面图形,由正方体的棱长为1,得,,,则到的距离为,∴故答案为：.考点六：线线垂直的证明例6．（2021-2022学年重庆市三峡名校联盟高一下学期5月联考）如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,平面, ,, (1)求证：；(2)若为的中点.求与平面所成角的正弦值.【解析】 (1)过作,∵平面平面,平面平面,∴平面.又∵平面,∴.∵平面,平面,∴.又∵,∴平面.又∵平面,∴.(2)过作,交于点,连接,过作,交于点.由（1）知,平面,且平面,∴.又且,∴平面.又∵平面,∴,又且,∴平面,∴为在平面内的射影,即为与平面所成的角,∴,,由,得,得.∵平面,且平面,∴,∴,由,得,得,.所以与平面所成角的正弦值为.考点七：线面垂直的证明例7．（2021-2022学年重庆市二0三中学校高一下学期第二次月考）如图,在正三棱柱中,各棱长均为4,M,N分别是BC,的中点.(1)求证：平面；(2)求证：【解析】 (1)在正三棱柱中,各棱长均为4,而M是正边BC的中点,则,而平面,平面,于是得,又,平面,所以平面.(2)正方形中,M,N分别是BC,的中点,则,有,即,则,由（1）知,平面,平面,则有,而,平面,因此,平面,而平面,所以.考点八：面面垂直的证明例8．（2021-2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考）如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知,PA=6,BC=8,DF=5求证：(1)直线PA//平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【解析】 (1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以,且DE平面DEF,PA平面DEF.所以直线PA//平面DEF(2)因为且,所以.由中位线可知,则有,根据勾股定理逆定理知DE⊥EF,而,所以.且,AC平面ABC,BC平面ABC,所以DE⊥平面ABC..又DE平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC考点九：线面位置关系中的探索性问题例9. 如图,ABCD为矩形,点A、E、B、F共面,和均为等腰直角三角形,且若平面⊥平面(1)证明:平面平面ADF(2)问在线段EC上是否存在一点G,使得BG∥平面若存在,求出此时三棱锥与三棱锥的体积之比,若不存在,请说明理由.【解析】 (1)矩形中,,又平面⊥平面,平面平面,平面,则平面,而平面,因此,,因,即,而,平面,则平面,又平面,所以平面平面.(2)因和均为等腰直角三角形,且,则,即有,并且有,延长EB至H,使,连CH,如图,由知,四边形为平行四边形,则有,且,于是得四边形是平行四边形,有,在平面内过点B作交CE于G,因此,而平面,平面,从而得平面,显然,则,即点G是线段CE的靠近点C的一个三等分点,于是得点G到平面的距离h是点C到平面的距离BC的,即,而,,即,所以线段EC的靠近点C的一个三等分点G,能使平面,三棱锥与三棱锥的体积之比为.         【真题演练】1. （2021新高考全国卷Ⅱ）如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点．则满足的是（    ）A.  B. C.  D. 2．(2019年高考全国卷Ⅱ)设、为两个平面,则的充要条件是 (　　)A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行C．,平行于同一条直线 D．,垂直于同一平面3．（2021新高考全国卷Ⅰ）如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积．4. （2021新高考全国卷Ⅱ）在四棱锥中,底面是正方形,若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．,建如图所示的空间坐标系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.5.（2020新高考山东卷）如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；6．(2020全国卷Ⅰ)如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,．是底面的内接正三角形,为上一点,．(1)证明：平面；        【过关检测】1.（2021-2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期五月月考）设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是（       ）A．若,,则 B．若,,则C．若,,则 D．若,,则2. （2021-2022学年安徽省池州市第一中学高一下学期5月月考）下列选项中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的是（       ）A． B． C． D．3. （2022届广东省广州市天河区高三综合测试）一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形为正方形,分别为的中点,在此几何体中,下面结论错误的是（       ）A．直线与直线异面B．直线与直线异面C．直线平面D．直线平面4．（2022届福建省厦门集美中学高三下学期适应性考试）在正方体中,棱长为3,E为棱上靠近的三等分点,则平面截正方体的截面面积为（       ）A． B． C． D．5.（多选）（2022届河北省沧州市沧县中学高三上学期阶段测试）如图所示,在四棱锥中中,为正方形,,E为线段的中点,F为与的交点,．则下列结论正确的是（       ）A．平面 B．平面C．平面平面 D．线段长度等于线段长度6. （2021-2022学年河南省濮阳市第一高级中学高一下学期期中）已知直线和平面,给出四个论断：①；②；③；④,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的命题：___________.7.（2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期期末）已知正三棱柱中,,是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点,当与平面所成的角的正切值为时,求三棱锥的体积．8.（2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高一下学期第三次月考）如图,已知在平面四边形ABCP中,D为PA的中点,PA⊥AB,,且PA＝CD＝2AB＝2．将此平面四边形ABCP沿CD折起,使平面PCD⊥平面ABCD,连接PA、PB．(1)求证：平面PBC⊥平面PBD；(2)设Q为侧棱PC的中点,求直线PB与平面QBD所成角的余弦值．9.（2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高一下学期月考）在如图所示的几何体中,底面四边形ABEF为等腰梯形,,侧面四边形ABCD是矩形,且平面ABCD⊥平面ABEF,．BC＝BE＝2．(1)求证：AF⊥平面BCE；(2)求三棱锥A－CEF的体积．10. 如图所示,是所在平面外的一点,、、分别是、、的重心.(1)求证：平面平面；(2)求与的面积之比.