高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词导学案及答案

  1．5　全称量词与存在量词

最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.

知识点一　全称量词和全称量词命题

知识点二　存在量词和存在量词命题

　全称量词命题与存在量词命题的区别

(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．

(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．

知识点三　全称量词命题和存在量词命题的否定

1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．

2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．

　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．

[教材解难]

1．教材P24思考

语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．

2．教材P25思考

(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题．

[基础自测]

1．下列命题中全称量词命题的个数是(　　)

①任意一个自然数都是正整数；

②所有的素数都是奇数；

③有的正方形不是菱形；

④三角形的内角和是180°.

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，③是存在量词命题，故有三个全称量词命题．

答案：D

2．下列命题中存在量词命题的个数是(　　)

①至少有一个偶数是质数；

②∃x∈R，x2≤0；

③有的奇数能被2整除．

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；

②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；

③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．

答案：D

3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．

答案：C

4．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．

解析：该命题是全称量词命题，因为含有量词“任意”，其否定应该是存在量词命题，既要改变量词，又要否定结论，故命题的否定是：“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．

答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断与

其真假[经典例题]

例1　判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．

(1)对任意x∈R，x2>0；

(2)有些无理数的平方也是无理数；

(3)对顶角相等；

(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；

(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；

(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．

【解析】　(1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.

正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．

方法归纳

(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．

(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．

跟踪训练1　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：

(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；

(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tanx2；

(3)存在一个x∈R，使x2＋1<0.

解析：(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题．

(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．

(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．

(3)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(3)是假命题．

　判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式．

题型二　含有一个量词的命题的否定[教材P29例5]

例2　写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)任意两个等边三角形都相似；

(2)∃x∈R，x2－x＋1＝0.

【解析】　(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．

(2)该命题的否定：∀x∈R，x2－x＋1≠0.因为对任意x∈R，x2－x＋1＝2＋>0，所以这是一个真命题.

先把命题否定，再判断真假．

教材反思

全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．

跟踪训练2　(1)命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)

A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0

B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0

C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

D．存在x∈R，x3－x2＋1>0

(2)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是(　　)

A．∃x∈R，x3－2x＋1≠0

B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0

C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0

D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0

解析：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，故排除A，B.

(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故排除B.

答案：(1)D　(2)D

∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，綈p(x)．

∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)．

课时作业 6

一、选择题

1．下列语句不是存在量词命题的是(　　)

A．有的无理数的平方是有理数

B．有的无理数的平方不是有理数

C．对于任意x∈Z,2x是偶数

D．存在x∈R,2x＋1是奇数

解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．

答案：C

2．判断下列命题是存在量词命题的个数(　　)

①每一个一次函数都是增函数；

②至少有一个自然数小于1；

③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；

④圆内接四边形，其对角互补．

A．1个　B．2个

C．3个  D．4个

解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．

答案：B

3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为(　　)

A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0

B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0

C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0

D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0

解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.

答案：C

4．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，1]

C．(1，＋∞)  D．[1，＋∞)

解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.

答案：D

二、填空题

5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．

①正方形的四条边相等；

②有些等腰三角形是正三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．

答案：①③　②④

6．给出下列四个命题：

①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．

以上命题的否定为真命题的序号是________．

解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．

答案：③④

7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．

解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．

答案：∃x∈R，|x|＋x2<0

三、解答题

8．用量词符号表述下列命题：

(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；

(2)对任意实数x，都有x3>x2；

(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；

(4)某个四边形不是平行四边形．

解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.

(2)∀x∈R，x3>x2.

(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．

(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．

9．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的梯形对角线相等；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)有一个函数，图象是直线；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

解析：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．

(4)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

[尖子生题库]

10．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：

(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；

(2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；

(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；

(4)正数的绝对值是它本身．

解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命题为假命题，

否定为：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；

(2)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；

(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；

(4)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身．