数学5.4 三角函数的图象与性质导学案

  5.4　三角函数的图象与性质

最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

知识点　正弦曲线与余弦曲线及其画法

　1.关于正弦函数y＝sin x的图象

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．

(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sin x，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．

2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较

(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．

(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．

提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．

[教材解难]

1．教材P196思考

如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0＝sin x0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0，sin x0)．

2．教材P197思考

由诱导公式一可知，函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．

3．教材P198思考

在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)

4．教材P198思考

对于函数y＝cos x，由诱导公式cos x＝sin得，y＝cos x＝sin，x∈R.而函数y＝sin，x∈R的图象可以通过正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象．

5．教材P200思考

能．以函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．

能．以函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象为基础，作它关于x轴对称的图象，所得图象即函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象．

[基础自测]

1．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　)

A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同

B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间

C．关于x轴对称

D．与y轴仅有一个交点

解析：画出y＝sin x的图象，根据图象可知A，B，D三项都正确．

答案：C

2．不等式sin x>0，x∈[0,2π]的解集为(　　)

A．[0，π]　　B．(0，π)

C.     D.

解析：由y＝sin x在[0,2π]的图象可得．

答案：B

3．下列图象中，是y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是(　　)

解析：函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.

答案：D

4．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．

解析：令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，π，π.

答案：0，，，π，π

题型一　用“五点法”作三角函数图象[教材P199例1]

例1　画出下列函数的简图：

(1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]；

(2)y＝－cos x，x∈[0,2π]．

解析：(1)按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来：

(2)按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来：

用五点法作图关键先找出5个关键点，再用平滑的曲线连接．

教材反思

作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤

跟踪训练1　画出函数y＝3＋2cos x的简图．

解析：(1)列表，如下表所示

(2)描点，连线，如图所示：

利用五点作图法画简图．

题型二　正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题]

例2　根据正弦曲线求满足sin x≥－在[0,2π]上的x的取值范围．

【解析】　在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－的图象，如图所示．

观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x≥－的x∈∪，所以满足sin x≥－在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤π或≤x≤2π}.(或∪)

在同一坐标系内作y＝sin x与y＝－的图象，利用图象求x的范围.

方法归纳

利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤

(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．

(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．

(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．

[注意]　解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．

跟踪训练2　根据余弦曲线求满足cos x≤的x的取值范围．

解析：作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为＋2kπ，＋2kπ，k∈Z.

在同一坐标内作y＝cos x与y＝的图象，利用图象求x的范围.

课时作业 33

一、选择题

1．下列对函数y＝cos x的图象描述错误的是(　　)

A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同

B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间

C．关于x轴对称

D．与y轴只有一个交点

解析：观察余弦函数的图象知：y＝cos x关于y轴对称，故C错误．

答案：C

2．下列各点中，不在y＝sin x图象上的是(　　)

A．(0,0)     B.

C.  D．(π，1)

解析：y＝sin x图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．

答案：D

3．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于(　　)

A．0    B．1

C．－1  D．2

解析：点M在y＝sin x的图象上，代入得－m＝sin＝1，

∴m＝－1.

答案：C

4．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)

A．重合          B．形状相同，位置不同

C．关于y轴对称  D．形状不同，位置不同

解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．

答案：B

二、填空题

5．下列叙述正确的有________．

(1)y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；

(2)y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；

(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．

解析：分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．

答案：(1)(2)(3)

6．关于三角函数的图象，有下列说法：

(1)y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；

(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；

(3)y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；

(4)y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．

其中正确的序号是________．

解析：对(2)，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；

对(4)，y＝cos(－x)＝cos x，

故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．

答案：(2)(4)

7．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0,2π]的交点坐标是________．

解析：令sin x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π(k∈Z)，又∵x∈[0,2π]，故x＝或π.

答案：，

三、解答题

8．利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．

解析：(1)取值列表：

(2)

9．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0,2π]．

解析：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：

根据图象可得不等式的解集为.

[尖子生题库]

10．利用图象变换作出下列函数的简图：

(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；

(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．

解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图1所示．

(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈ [0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图2所示．