2021-2022学年北京二中教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京二中教育集团九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 国家卫健委表示，重点人群新冠病毒疫苗接种工作顺利推进，截至年月日时，全国累计报告接种万剂次．将数字万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 在下列几何体中，其三视图中没有矩形的是

A.  B.  C.  D.

3. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，如果有理数满足，那么的值可以是

A.  B.  C.  D.

4. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其余差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为

A.  B.  C.  D.

5. 正五边形的外角和为

A.  B.  C.  D.

6. 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表．

下面有四个推断中，正确的是

A.
B. 一定有个整数的算术平方根在之间
C. 对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于
D. 若一个正方形的边长是，那么这个正方形的面积是

7. 定义运算“”：，若，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

8. 向一个容器中注水，注满为止．若注水量与容器中水的高度之间关系的图象大致如图，则这个容器是下列四个图中的

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 要使分式有意义，则的取值范围为          ．
10. 因式分解： ______ ．
11. 为了践行“绿色低碳出行，减少雾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟，才能按原时间到达单位．设小红骑自行车的速度为每小时千米，依题意，可列方程为______
12. 如果，那么代数式的值为______ ．
13. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么          
    
     

14. 如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是______．
    
     

15. 第届冬季奥林匹克运动会，又称年北京冬奥会，将于年月日至月日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取人，进行了相关测试，获得了他们的成绩单位：分，序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，直接写出，，，的大小关系______．

16. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口，，的机动车辆数如图所示，图中，，分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等，则，，的大小关系是______用“”、“”或“”连接

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共11小题，共63分）

18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
19. 已知：如图，已知线段和线段求作：等腰，使得，，于，．
    
    如图，首先作射线，在上截取；接下来，请使用直尺和圆规，在图中作出的垂直平分线，使交于点，再作出满足条件的一个等腰，使得点在线段上方保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    与交于点，
    ，______．
    点在上，
    填写理由：______
20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根
    求的取值范围；
    若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
21. 如图，在▱中，，交于点，且．
    求证：四边形是矩形；
    的角平分线交于点，当，时，求的长．
     

22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，轴于点，连接．
    求反比例函数的解析式；
    若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，请直接写出点的坐标．
     

23. 如图，在中，，点为中点，以为直径作交于点，线段上有一点．
    当点在什么位置时，直线与有且只有一个公共点，请补全图形并说明理由．
    在的条件下，当，时，求半径．

24. 如图，在菱形中，设，，小宁根据学习函数的经验，对变量与之间的关系进行了如下探究．
    
    【探究】列表：通过观察补全如表精确到

描点、连线：在图中描出表中各组数值所对应的点，并画出关于的函数图象；
【发现】结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______；
【应用】有一种“千斤顶”，它是由根长为的连杆组成的菱形，当手柄顺时针旋转时，、两点的距离变小如图在这个过程中，当时，的度数约为______精确到．

25. 某校初三年级有名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各分．现随机抽取名学生的成绩成绩均为整数进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
    
    代数测试成绩在这一组的数据是：，，，，，，，，，．
    几何测试成绩在的数据是，，，
    两次成绩的平均数、中位数、众数如下：

请根据以上信息，回答下列问题：
______，______；
测试成绩大于或等于分为及格．估计该校初三年级本次代数测试约有______人及格．
下列推断合理的是______．
代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好；
被抽测的学生小莉的几何成绩是分，她觉得年级里大概有人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上．

26. 已知二次函数．
    二次函数图象的对称轴是______；
    当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
    对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
27. 如图，在正方形中，是边上一动点不与点，重合，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，过点作于．
    依题意补全图形；
    求的度数．
    连接，请用等式表示线段与线段之间的数量关系，并证明．

28. 如图，在平面直角坐标系中，过外一点引它的两条切线，切点分别为，，若，则称为的环绕点．
    当半径为时，
    在，，中，的环绕点是______；
    直线与轴交于点，轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围；
    的半径为，圆心为，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 

2.【答案】

【解析】解：、长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形；
B、圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆；
C、圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆；
D、三棱柱的主视图是矩形、左视图是矩形，俯视图是三角形；
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以只能是．
故选：．
先判断的范围，再确定符合条件的数即可．
本题考查了数轴上的点和实数的对应关系．解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．
 

4.【答案】

【解析】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：

由图知共有种等可能结果，其中两次都摸到红球的只有种结果，
所以两次都摸到红球的概率为，
故选：．
用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出两次都摸到红球的概率，利用好概率公式计算即可．
考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
 

5.【答案】

【解析】解：任意多边形的外角和都是，
故正五边形的外角和的度数为．
故选：．
根据多边形的外角和等于，即可求解．
本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是．
 

6.【答案】

【解析】解：选项，，
，
，故该选项符合题意；
选项，，，
算术平方根在之间的整数有，，共个，故该选项不符合题意；
选项，，，，
，
，
，故该选项不符合题意；
选项，，
若一个正方形的边长是，那么这个正方形的面积是，故该选项不符合题意；
故选：．
根据平方和算术平方根的关系判断，选项；根据平方差公式判断选项；根据正方形的面积边长的平方判断选项．
本题考查了估算无理数的大小，计算器数的开方，掌握是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：当时，
，
，
解得．
经检验，符合题意，是分式方程的解．
当时，
，
．
解得．
经检验，符合题意，是分式方程的解．
故选：．
根据定义运算的意义，当、时分别代入求出．
本题考查了解分式方程，理解定义运算的意义是解决本题的关键．本题易错，注意分类讨论．
 

8.【答案】

【解析】解：根据函数图象可知，注水量与水深之间的关系是注水量随着的增大而增加的速度逐渐变快，可以得出开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，从图形容器可以看出符合．
故选C．
根据函数的图象可知，注水量与水深之间是随着水的深度越大增加的速度越快的关系进行的，即可得出答案．
此题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

9.【答案】

【解析】解：分式有意义，
，解得．
故答案为：．
先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：设小红骑自行车的速度是每小时千米，则驾车的速度是每小时千米．
根据题意得：．
故答案是：．
设小红骑自行车的速度是每小时千米，则驾车的速度是每小时千米．依据“小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟”列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
 

12.【答案】

【解析】解：



，
当时，原式，
故答案为：．
根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

13.【答案】

【解析】解：连接，

由勾股定理得：，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．
连接，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平行线的性质可得结论．
 

14.【答案】

【解析】解：作直径，如图，
点、分别是、的中点，
为的中位线，
，
为直径，
，

，
，
当时，的值最大，
最大值为，的最大值为．
故答案为．
作直径，如图，先判断为的中位线得到，再根据圆周角定理得到，利用含度的直角三角形三边的关系得到，由于时，的值最大，从而得到的最大值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．
 

15.【答案】

【解析】解：方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
；
故答案为：．
从图的数据分布的离散程度进行判断即可
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

16.【答案】

【解析】解：，
；
，
；
．
故答案为：．
根据题意列出代数式，然后比较大小．，，比较得出结果．
考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式，然后比较大小．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故原不等式组的解集是，
这个不等式组的所有非负整数解是，，．

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可写出不等式组的所有非负整数解．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

19.【答案】  线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等

【解析】解：如图，即为所求；

与交于点，
，．
点在上，
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
故答案为：，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
作射线，在射线上截取，作线段的垂直平分线，垂足为，在射线上截取，连接，即可；
根据线段的垂直平分线的性质证明即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：根据题意得：，
解得：；

由为正整数，得到或，
利用求根公式表示出方程的解为，
方程的解为整数，
为完全平方数，
则的值为．

【解析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围；
找出范围中的正整数解确定出的值，经检验即可得到满足题意的值．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
▱为矩形；
解：过点作于点，如图所示：
四边形是矩形，
，
，
为的角平分线，
，
，
，
，，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
，
解得：，
．

【解析】由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论；
过点作于点，由角平分线的性质得出由三角函数定义得出，，设，则，在中，由三角函数定义得出，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、锐角三角函数的定义、角平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：
把代入中，得，
点坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
，
，
、关于原点对称，
点坐标为，
到的距离为，
，
，
设点坐标为，则到的距离为，
，解得或，
点坐标为或．

【解析】把点横坐标代入正比例函数可求得点坐标，代入反比例函数解析式可求得，可求得反比例函数解析式；
由条件可求得、的坐标，可先求得的面积，再结合与的面积相等求得点坐标．
本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在中求得点坐标、在中求得点到的距离是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，当点是的中点时，直线与有且只有一个公共点，
理由：连接，，
是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线与相切；

在中，，是的中点，
，
，
，
，，
∽，
，
，
设，
，
，
，
负值舍去，
，
，
，
，
即的半径为．

【解析】如图，当点是的中点时，直线与有且只有一个公共点，连接，，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
在中，根据直角三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练正确切线的判定定理是解题的关键．
 

24.【答案】      函数图象关于直线对称  或

【解析】解：由菱形的性质知，和时，两个菱形全等，同时对应的值相等，
故答案为：；；；
描点、连线如图所示：

结合画出的函数图象可知函数的一条性质为：函数图象关于直线对称答案不唯一，
故答案为：函数图象关于直线对称；
，
在和之间，或与之间，
设直线过，，
则，
时，，
由对称性可得的度数为或．
故答案为：或．
根据和时，两个菱形全等，同时对应的值相等，观察表格可得答案；
根据图象可得答案；
利用，由表格可知，在和之间或与之间，设直线过，，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，根据菱形的性质得出和时，两个菱形全等是解决本题的关键．
 

25.【答案】     

【解析】解：，，
故答案为：，；
估计该校初三年级本次代数测试约有：人，
故答案为：；
代数测试成绩的平均分为分，几何的平均分为分，
代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，
但平均数受极端值的影响，不能反应大多数学生掌握较好，
不一定大多数学生代数掌握的比几何好，推断不合理；
几何测试成绩在的人数是：人，
被抽测的学生小莉的几何成绩是分，她觉得年级里大概有人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上，推断合理．
故答案为：．
根据扇形图中的百分数求出，根据代数测试成绩在这一组的数据求出的值；
根据频数分布直方图和扇形统计图中的数据，用样本估计总体即可；
根据中给出的数据判断，求出几何测试成绩在的人数判断．
本题考查频数分布表、扇形统计图、统计表，解答本题的关键是明确题意，
 

26.【答案】

【解析】解：，
二次函数图象的对称轴是直线．
故答案为：；
，
，
当时，二次函数有最小值为，
当时，时函数有最大值，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
．
该二次函数的表达式为；
当，时，均满足，的取值范围是：理由：
二次函数图象的对称轴是直线，
当与时的函数值相等，
，
抛物线的开口方向向上，
当，时，均满足，
，
解得：．
利用二次函数的性质解答即可；
利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
结合二次函数的图象，利用二次函数的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：如图所示：

由对称得：，，
在正方形中，，，
，
，
，
；
结论：，
理由如下：如图，作交的延长线于，

，
在正方形中，，，
，
，
，
由可知：，
，
，
，
，，
在中，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
；

【解析】依照题意，画出图形；
由等腰三角形的性质和轴对称的性质可求解；
由“”可证≌，得，证得是等腰直角三角形得到，根据平行线分线段成比例定理得到，即可证得结论；
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

28.【答案】，

【解析】解：如图，，是的两条切线，，为切点，连接，，

当时，
平分，
，
，，
，
、以为圆心，为半径作，
观察图象可知：当时，的环绕点在图中的圆环内部包括大圆上的点不包括小圆上的点，

如图中，以点为圆心，和为半径作同心圆，观察图像可知，，是的环绕点，
故答案为：，；
如图中，设小圆交轴的正半轴于，

当直线经过点时，，
当直线与大圆相切于在第二象限时，连接，
由题意得，，
所以，，，
，，
，
解得：，
观察图象可知，当时，线段上存在的环绕点，
根据对称性可知：当时，线段上存在的环绕点，
综上所述，满足条件的的值为或；
如图中，不妨设，则点在直线时，

，
点在射线上运动，作轴于，
，
，，
以为圆心，为半径的与轴相切，作的切线，
观察图象可知，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，图形即为的内部，包括射线，上．
当的圆心在轴的正半轴上时，假设以为圆心，为半径的圆与射线相切于，连接，
，
，
，是的切线，
，
，
，
，
当的圆心在轴的负半轴上时，且经过点时，，
观察图象可知，当时，在图形上存在的环绕点．
如图，，是的两条切线，，为切点，连接，当时，可证，以为圆心，为半径作，首先说明：当时，的环绕点在图中的圆环内部包括大圆上的点不包括小圆上的点，利用这个结论解决问题即可；
如图中，设小圆交轴的正半轴于求出两种特殊位置的值，结合图形根据对称性解决问题即可；
如图中，不妨设，则点在直线时，以为圆心，为半径的与轴相切，作的切线，观察图象可知，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，图形即为的内部，包括射线，上，利用中结论，画出圆环，当圆环与的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置的值即可解决问题．
本题属于圆的综合题，考查了切线长定理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用转化的思想解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．