重庆市第十一中学校2021-2022学年高二下学期5月质量抽测数学试题

这是一份重庆市第十一中学校2021-2022学年高二下学期5月质量抽测数学试题，共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知随机变量，且，则，求的展开式的第4项的二项式系数等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前重庆市第十一中学校2021-2022学年高二下学期5月质量抽测数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四五总分得分      注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加，则不同的选法共有（       ）A．9种 B．11种 C．20种 D．99种2．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则（       ）A． B． C． D．3．已知随机变量，且，则（       ）A．0.1587 B．0.1827 C．0.3173 D．0.84134．求的展开式的第4项的二项式系数（       ）A． B． C．15 D．205．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（       ）A． B． C． D．6．己知变量y关于x的非线性经验回归方程为，其一组数据如右表所示．若，则预测y的值可能为（       ）x916253649y23344 A．5 B．5.2 C．6 D．6.27．重庆市第十一中学校第八届大阅读活动节推出了《“千辩万话”班际辩论赛》、《假如概率“欺骗”了你》、《他是坚持科学追求的象征》学生素养实践活动，每位同学只能参加一项活动．某班有含小王在内的4名同学对这3项活动都很感兴趣，他们约定：每一项活动至少一人参加，其中小王必须选择《假如“概率”欺骗了你》，则他们的不同选择方式有（       ）A．6 B．12 C．16 D．208．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（       ）A． B． C． D．评卷人得分  二、多选题9．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（       ）A．在上是增函数B．当时，取得最小值C．当时，取得极小值D．在上是增函数，在上是减函数10．已知的展开式的第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（       ）A．展开式的奇数项的二项式系数的和为 B．展开式的第项的系数与二项式系数相等且最大C．展开式中不存在常数项 D．展开式中含项的系数为11．一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫．把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第k只出笼的猫是黑猫”，，2，…，10，则（       ）A． B．C． D．12．“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（       ）A．， B．，，C．， D．，第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．则运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度为__________．14．已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是__________．15．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．评卷人得分  四、双空题16．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则_______；随机变量的数学期望_______．评卷人得分  五、解答题17．某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下图所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．元件制造厂次品率提供元件的份额甲乙丙 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率是多少？18．已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．19．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为．班级成绩合计优秀非优秀甲班20  乙班 60 合计  210 (1)请完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析成缋是否与班级有关；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及均值．附：a0.050.013.8416.635 20．已知函数，，其中是自然对数的底数，.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．年月日至日，世界新能源汽车大会在海南博鳖召开，以“新时代、新变革、新产业”为主题，突出电动化、智能化、共享化融合发展特色、某汽车公司顺应时代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，经计算样本标准差的近似值为，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在千米到千米之间的概率．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正反面的概率都是，方格图上标有第格、第格、第格，…、第格．遥控车开始在第格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（到），直到遥控车移到第格（胜利大本营）或第格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．22．已知函数，且．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个极值点，且，求证：．
参考答案：1．D【解析】【分析】根据分步计数法进行计算.【详解】解：由题意得：先从高一年级11个学科素养展中任选1各科目，然后再从高二年级的9个学科素养展中选择一个，共有种选法.故选：D2．C【解析】【分析】观察函数及其导数可得出结论：奇函数的导数为偶函数，由此可得出合适的选项.【详解】因为函数为奇函数，其导函数为偶函数，函数为奇函数，其导函数为偶函数，函数为奇函数，其导函数为偶函数，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则为偶函数，即，事实上，若，由复合函数求导法则可得，即，即.故选：C.3．A【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得.【详解】解：由题意得：随机变量正态曲线的对称轴是故选：A4．D【解析】【分析】根据二项展开式的通项，结合二项式系数的性质，即可求解.【详解】由二项展开式的二项式系数的性质，可得二项式的展开式的第4项的二项式系数.故选：D.5．B【解析】【分析】先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可.【详解】解：，解得，再根据二次函数性质得在上，在上，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，，，所以.所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.6．A【解析】【分析】先求得样本中心，代入回归方程求得，令，求得的值，即可求解.【详解】由表格中的数据，可得，，将点代入回归方程为，可得，解得，当时，可得.故选：A.7．B【解析】【分析】先分组再分配，两种情况，小王自己一组和小王和其中一人一组，两种情况求和即可求出答案.【详解】分别分两种，①小王自己一组，则， ②小王和其中一人一组，则则他们的不同选择方式有种.故选：B.8．D【解析】【分析】令，再参变分离得到，再求导分析的单调性，进而得到函数图象，数形结合即可得实数a的取值范围【详解】函数有两个零点，即有两根，又，故可转换为有两根，令， 则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故在上，单调递减；在上，单调递增，所以，又当与时，故实数a的取值范围为故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难题9．CD【解析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.【详解】根据图象知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故A错误，D正确；当时，取得极小值，C正确；当时，不是取得最小值，B错误.故选：CD10．BD【解析】【分析】根据展开式第项与第项的二项式系数相等可求得；根据各项系数和，采用赋值法可求得，由此可得展开式的通项；由奇数项的二项式系数和为可知A错误；由展开式通项可得第项的系数，根据展开式共项可知第项的二项式系数最大，由此可确定B正确；分别令和，可求得的取值，由此可知CD正误.【详解】展开式的第项与第项的二项式系数相等，，则；令，则，解得：；展开式通项为：；对于A，展开式的奇数项二项式系数和为，A错误；对于B，展开式共有项，则二项式系数最大的项为第项，最大的二项式系数为；由通项可知：展开式第项系数为，B正确；对于C，令，解得：，则展开式第项为常数项，C错误；对于D，令，解得：，展开式中含项的系数为，D正确.故选：BD.11．BCD【解析】【分析】根据题求得，结合事件表示第只出笼的猫都是黑猫，可判定A错误；利用，可判定B正确；根据条件的概率的计算公式，可判定C、D正确.【详解】由题意，可得，对于A中，事件表示第只出笼的猫都是黑猫，则，所以A错误；对于B中，事件表示第1只或第2只出笼的猫是黑猫，则，所以B正确；对于C中，，所以C正确；对于D中，表示第1只和第10只猫时黑猫，可得，所以，所以D正确，故选：BCD.12．ABD【解析】【分析】利用可得，由知A正确；由知B正确；利用反例可说明C错误；令，利用导数可求得，知D正确.【详解】对于A，当时，由得：，即；，A正确；对于B，由得：，即，，B正确；对于C，由得：；当时，，此时，则，即不成立，C错误；对于D，令，则，令，则，在上单调递增，又，，，使得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，即，，D正确.故选：ABD.13．【解析】【分析】根据导数的物理意义可直接求得结果.【详解】，，即运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度为.故答案为：.14．##【解析】【分析】对函数进行求导，导函数大于零，即可解出的单调递增区间.【详解】对函数进行求导， 当，，故的单调递增区间是.故答案为：.15．【解析】【分析】先讨论时，不等式成立；时，不等式变形为，构造函数，由单调性得到，参变分离后构造函数，求出最大值即可求解.【详解】当时，，显然成立，符合题意；当时，由，，可得，即，，令，，在上单增，又，故，即，即，，即使成立，令，则，当时，单增，当时，单减，故，故；综上：.故答案为：.【点睛】本题关键点在于当时，将不等式变形为，构造函数，借助其单调性得到，再参变分离构造函数，求出其最大值，即可求解.16．          【解析】表示取得次品的个数，再根据超几何分布求出即可得解．【详解】表示取得次品的个数，服从超几何分布，所以，，故答案为：【点睛】本题主要考查超几何分析的概率和均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）记事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，利用全概率公式可求得结果；（2）根据贝叶斯公式可求得，即为所求概率.(1)设事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，则，，，，，，由全概率公式可得：，即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为.(2)由贝叶斯公式得：，即在取到的是次品的条件下，此次品出自甲工厂生产的概率是.18．（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）先求导数，确定导函数恒大于零，即得函数单调递增，最后根据单调性确定最值，（2）先作差函数，利用导数研究函数单调性，再根据单调性去掉函数最值，根据最大值小于零得证结论.试题解析：(1)因为f(x)＝x2＋ln x，所以因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明：令，所以因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以.所以f(x)<g(x)．所以当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在的下方．19．(1)联表见解析，有关；(2)的分布列见解析，=.【解析】【分析】（1）由题知优秀的人数为，然后可完成表格的填写,并计算得，从而得出结论；(2)由，，可得分布列，从而计算E()即可.(1)解:由题知优秀的人数为（人），所以列联表如下：班级成绩合计优秀非优秀甲班2090110乙班4060100合计60150210 假设 ：成绩和班级无关，则：>6.635=,根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故成绩与班级有关；(2)解：因为，且 ，所以的分布列为：0123P  所以E()=0+1+2+3=.20．（1）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（2）存在，且.【解析】（1）当时，求得，分析导数的符号变化，由此可求得函数的单调递增区间、递减区间以及极值；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合函数在区间上的最小值为可求得实数的值.【详解】（1）当时，，，，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增.所以，函数的极小值为，故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（2）假设存在实数，使，的最小值是，，.①当时，因为，所以，在上单调递减，所以，解得（舍去）；②当时，即时，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，解得，满足条件；③当时，即时，对任意的，，在上单调递减，所以，解得（舍去）.综上，存在实数，使得当时，的最小值为.【点睛】易错点点睛：利用导数解决函数问题时，已知极值点求出参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义，防止漏掉验证导致错误，讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负；求函数的最大（小）值时，要将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，防止错解.21．(1)(2)(3)证明见解析；此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）由（1）可知所求概率为，根据正态分布曲线的对称性，结合原则可求得对应概率；（3）根据已知可知，，，可得，由此可证得数列为等比数列；利用等比数列通项公式，结合累加法可求得，并根据可求得，由可得结论.(1)由题意得：.(2)由（1）知：，，即，.(3)由题意知：，；遥控车移到第格的情况有两种，即从第格或第格移动到第格，，则，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列；，则，…，，，；又，，即遥控车停在“胜利大本营”的概率更大，此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.22．(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，把代入导函数中，得到切线斜率，再利用点斜式方程即可求出答案.（2）对函数进行求导，原函数有三个极值点，即导函数有三个零点，其中，方程有两个根，即有两个交点， 令， 对进行求导，则在上单调递增，在上单调递减，与的图象有两个交点，则，即，要证，即证，由对数平均数表达式可得 ，即可得证.(1)对函数进行求导， ，，切点为 故切线为.(2) 由题意知，有三个实数跟，则，方程有两个根，即有两个交点令，当时，，故在上单调递增；        当时，，故在上单调递减；作出，的图象如图由图可知，，与的图象有两个交点，横坐标分别为，且要证即证即证，则则 即，由对数平均数表达式可得  故即可证得.