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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第七章 空间向量与立体几何 7.5 空间向量及其运算
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第七章 空间向量与立体几何 7.5 空间向量及其运算，共47页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，有向线段，几类特殊的向量，同一平面，共同始点的对角线，∠AOB，互相垂直等内容，欢迎下载使用。
1.空间向量(1)定义:空间中既有 又有 的量称为空间向量. (2)向量的模(或长度):向量的 . (3)表示方法:①几何表示法:可以用 来直观的表示向量,如始点为A终点为B的向量,记为 ,向量的模用 表示. ②字母表示法:可以用加粗的斜体小写字母a,b,c来表示向量,向量a的模用
3.空间向量的线性运算
即三个不共面向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有 所表示的向量. (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a,则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量,记作λa.其中:①当λ≠0且a≠0时,λa的模为 ,而且λa的方向: (ⅰ)当λ>0时,与a的方向 ; (ⅱ)当λ<0时,与a的方向 . ②当λ=0或a=0时,λa= . (4)空间向量的线性运算满足如下运算律:对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积(1)空间向量的夹角
(2)空间向量数量积的定义:两个非零向量a,b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cs.(3)数量积的几何意义①向量的投影如图所示,过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线,即可得到向量a在向量b上的投影a'.②数量积的几何意义:a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积,特别地,a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.
(4)空间向量数量积的性质:①a⊥b⇔a·b=0;②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤|a|·|b|;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交换律);⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是存在 的实数对(x,y),使 . 6.空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,c ,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= . 特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0⇔x=y=z=0.
7.相关概念(1)线性组合:表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的 或 . (2)基底:空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.(3)基向量:基底{a,b,c}中a,b,c都称为基向量.(4)分解式:如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.
8.空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有以下结论:(1)a+b= ; (2)若u,v是两个实数,ua+vb= ; (3)a·b= ;
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2)
x1x2+y1y2+z1z2
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.
10.空间向量坐标的应用设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则
3.确定平面的法向量的方法(1)直接法:观察是否有垂直于平面的向量,若有,则此向量就是法向量.(2)待定系数法:取平面内的两个不共线向量a,b,设平面的法向量为
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.( )(3)空间中任意两非零向量a,b共面.( )(4)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.( )(5)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.( )
2.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是 .
答案 关于x轴对称
3.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 .
4.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则 的夹角θ的大小是 .
答案 (1)A (2)C
解题心得进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.
解题心得共线、共面向量定理的类比
对点训练2(1)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= . (2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于 .
考向1 空间向量的数量积的运算【例3】 (1)如图所示,已知四面体ABCD每条棱长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
(2)已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4),则(2a-3b)·(a+b)= .
答案 (1)C (2)-45
(2)因为a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4),所以2a-3b=(1,-5,8),a+b=(3,0,-6),所以(2a-3b)·(a+b)=1×3+(-5)×0+8×(-6)=-45.
解题心得空间向量数量积的两种计算方法(1)基向量法:a·b=|a||b|cs.(2)坐标法:设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
考向2 空间向量的数量积的应用【例4】 (1)已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于( )
(2)(2020湖南师大附中高二期末)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为( )
(3)已知空间三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 .
解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为θ,则 ,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
对点训练4如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(2)求证:AA1⊥BD.
1.空间向量(1)定义:空间中既有 又有 的量称为空间向量. (2)向量的模(或长度):向量的 . (3)表示方法:①几何表示法:可以用 来直观的表示向量,如始点为A终点为B的向量,记为 ,向量的模用 表示. ②字母表示法:可以用加粗的斜体小写字母a,b,c来表示向量,向量a的模用
3.空间向量的线性运算
即三个不共面向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有 所表示的向量. (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a,则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量,记作λa.其中:①当λ≠0且a≠0时,λa的模为 ,而且λa的方向: (ⅰ)当λ>0时,与a的方向 ; (ⅱ)当λ<0时,与a的方向 . ②当λ=0或a=0时,λa= . (4)空间向量的线性运算满足如下运算律:对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积(1)空间向量的夹角
(2)空间向量数量积的定义:两个非零向量a,b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cs
(4)空间向量数量积的性质:①a⊥b⇔a·b=0;②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤|a|·|b|;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交换律);⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是存在 的实数对(x,y),使 . 6.空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,c ,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= . 特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0⇔x=y=z=0.
7.相关概念(1)线性组合:表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的 或 . (2)基底:空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.(3)基向量:基底{a,b,c}中a,b,c都称为基向量.(4)分解式:如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.
8.空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有以下结论:(1)a+b= ; (2)若u,v是两个实数,ua+vb= ; (3)a·b= ;
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2)
x1x2+y1y2+z1z2
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.
10.空间向量坐标的应用设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则
3.确定平面的法向量的方法(1)直接法:观察是否有垂直于平面的向量,若有,则此向量就是法向量.(2)待定系数法:取平面内的两个不共线向量a,b,设平面的法向量为
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.( )(3)空间中任意两非零向量a,b共面.( )(4)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.( )(5)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.( )
2.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是 .
答案 关于x轴对称
3.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 .
4.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则 的夹角θ的大小是 .
答案 (1)A (2)C
解题心得进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.
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考向1 空间向量的数量积的运算【例3】 (1)如图所示,已知四面体ABCD每条棱长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
(2)已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4),则(2a-3b)·(a+b)= .
答案 (1)C (2)-45
(2)因为a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4),所以2a-3b=(1,-5,8),a+b=(3,0,-6),所以(2a-3b)·(a+b)=1×3+(-5)×0+8×(-6)=-45.
解题心得空间向量数量积的两种计算方法(1)基向量法:a·b=|a||b|cs
考向2 空间向量的数量积的应用【例4】 (1)已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于( )
(2)(2020湖南师大附中高二期末)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为( )
(3)已知空间三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 .
解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为θ,则 ,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
对点训练4如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(2)求证:AA1⊥BD.
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