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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第五章 平面向量、复数 5.4 复数
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第五章 平面向量、复数 5.4 复数，共38页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，ab0，b≠0，a0且b≠0，可以通过下图表示，2集合表示，实部与虚部等内容，欢迎下载使用。
1.复数的有关概念(1)定义:当a和b都是 时,称a+bi为复数,其中i为虚数单位.复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中 称为z的实部, 称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b. (2)所有复数组成的集合C={z|z=a+bi,a,b∈R}称为复数集.2.复数的分类对于复数z=a+bi(a,b∈R),当且仅当 时,它是实数;当且仅当 时,它是实数0;当且仅当 时,叫做虚数;当 时,叫做纯虚数.
3.复数相等两个复数z1与z2,如果 都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2. 即如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔ . 特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是 .
4.复数的几何意义(1)复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是 ,因此x轴称为 ;y轴上的点除了 外,对应的都是 ,称y轴为 . (2)复数的几何意义复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,与以O为始点的向量组成的集合之间也建立一一对应关系,即
7.复数的加法(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2= . (2)加法运算律对任意复数z1,z2,z3,有①交换律:z1+z2=z2+z1.②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
(a+c)+(b+d)i
(3)复数加法的几何意义
8.复数的减法(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-a-bi.(2)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1-z2为z1与z2的差,则z1-z2= . (3)复数减法的几何意义由复数减法的几何意义得||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|.
(a-c)+(b-d)i
9.复数的乘法(1)复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)= . (2)复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3,有
(ac-bd)+(ad+bc)i
11.实系数一元二次方程在复数范围内的解集当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.
说明:①上述公式说明i的幂具有周期性,且最小正周期是4;②n可推广到整数集;③4k(k∈Z)是i的周期;④i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.( )(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.( )(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.( )(4)方程x2+x+1=0没有解.( )(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.( )
2.(多选)(2021年1月8省适应性测试)设z1,z2,z3为复数,z1≠0.下列命题中正确的是( )A.若|z2|=|z3|,则z2=±z3B.若z1z2=z1z3,则z2=z3C.若 =z3,则|z1z2|=|z1z3|D.若z1z2= ,则z1=z2
3.(2020安徽安庆高三二模)已知i为虚数单位,复数z满足(1+i3)z=2,则下列判断正确的是( )A.z的虚部为iB.|z|=2C.z· =2D.z2=2
5.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是 .
答案3 解析 z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3.
答案 (1)D (2)D (3)(-1,1)
解题心得解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.复数z1=a+bi与z2=c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
答案 (1)BD (2)A
【例2】 (1)(2020北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=( )A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i
(3)设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i= +i,∴a+c= ,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.
解题心得复数代数形式运算问题的解题策略
【例3】 (1)(2019全国2,理2)设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019全国1,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1
答案 (1)C (2)C (3)1 解析 (1)由z=-3+2i,得 =-3-2i,则在复平面内 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.(2)设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,
解题心得解与复数的几何意义相关的问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算,将复数化为代数形式;(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系,依据是复数a+bi(a,b∈R)与复平面上的点(a,b)一一对应.
对点训练3(1)(2020陕西汉中高三教学质量检测)在复平面内,复数 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限
(2)(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( )A.P0点的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
1.复数的有关概念(1)定义:当a和b都是 时,称a+bi为复数,其中i为虚数单位.复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中 称为z的实部, 称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b. (2)所有复数组成的集合C={z|z=a+bi,a,b∈R}称为复数集.2.复数的分类对于复数z=a+bi(a,b∈R),当且仅当 时,它是实数;当且仅当 时,它是实数0;当且仅当 时,叫做虚数;当 时,叫做纯虚数.
3.复数相等两个复数z1与z2,如果 都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2. 即如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔ . 特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是 .
4.复数的几何意义(1)复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是 ,因此x轴称为 ;y轴上的点除了 外,对应的都是 ,称y轴为 . (2)复数的几何意义复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,与以O为始点的向量组成的集合之间也建立一一对应关系,即
7.复数的加法(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2= . (2)加法运算律对任意复数z1,z2,z3,有①交换律:z1+z2=z2+z1.②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
(a+c)+(b+d)i
(3)复数加法的几何意义
8.复数的减法(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-a-bi.(2)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1-z2为z1与z2的差,则z1-z2= . (3)复数减法的几何意义由复数减法的几何意义得||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|.
(a-c)+(b-d)i
9.复数的乘法(1)复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)= . (2)复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3,有
(ac-bd)+(ad+bc)i
11.实系数一元二次方程在复数范围内的解集当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.
说明:①上述公式说明i的幂具有周期性,且最小正周期是4;②n可推广到整数集;③4k(k∈Z)是i的周期;④i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.( )(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.( )(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.( )(4)方程x2+x+1=0没有解.( )(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.( )
2.(多选)(2021年1月8省适应性测试)设z1,z2,z3为复数,z1≠0.下列命题中正确的是( )A.若|z2|=|z3|,则z2=±z3B.若z1z2=z1z3,则z2=z3C.若 =z3,则|z1z2|=|z1z3|D.若z1z2= ,则z1=z2
3.(2020安徽安庆高三二模)已知i为虚数单位,复数z满足(1+i3)z=2,则下列判断正确的是( )A.z的虚部为iB.|z|=2C.z· =2D.z2=2
5.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是 .
答案3 解析 z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3.
答案 (1)D (2)D (3)(-1,1)
解题心得解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.复数z1=a+bi与z2=c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
答案 (1)BD (2)A
【例2】 (1)(2020北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=( )A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i
(3)设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i= +i,∴a+c= ,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.
解题心得复数代数形式运算问题的解题策略
【例3】 (1)(2019全国2,理2)设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019全国1,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1
答案 (1)C (2)C (3)1 解析 (1)由z=-3+2i,得 =-3-2i,则在复平面内 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.(2)设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,
解题心得解与复数的几何意义相关的问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算,将复数化为代数形式;(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系,依据是复数a+bi(a,b∈R)与复平面上的点(a,b)一一对应.
对点训练3(1)(2020陕西汉中高三教学质量检测)在复平面内,复数 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限
(2)(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( )A.P0点的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
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