2022届河北省石家庄市高三二模数学试题含解析

2022届河北省石家庄市高三二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据解分式不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为，所以，而，

所以，

故选：D

2．已知复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出断案.

【详解】解：因为复数z满足，

所以，

所以在复平面内z对应的点位于第一象限.

故选：A.

3．已知 则sin2 等于 （       ）

A．-  B． C．-  D．

【答案】D

【分析】将已知条件等式两边平方，结合同角间的三角函数关系和二倍角公式，即可求解.

【详解】两边平方得，

，

所以.

故选：D.

4．等差数列的前n项和记为，若，则（       ）

A．3033 B．4044 C．6066 D．8088

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可.

【详解】由等差数列知，，

所以，

故选：C

5．图形是信息传播､互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面､左面､上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三视图可得几何体的直观图，再由三棱锥所在正方体的体对角线得外接球的直径即可得解.

【详解】由三视图知几何体为一侧棱垂直底面，底面为直角三角的三棱锥，且由网格纸知同一顶点互相垂直的三条棱的长为4，如图，

所以三棱锥的外接球即为三棱锥所在的棱长为4的正方体的外接球，

设外接球的半径为R，则,

所以外接球的表面积，

故选：C

6．在平行四边形中，分别是，的中点，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，，由向量的运算法则得到，根据平面向量的基本定理，列出方程求得方程组，即可求解.

【详解】如图所示，设，且，

则，

又因为，

所以，解得，所以.

故选：B.

7．已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义所求可转化为，再由三点共线可求最小值.

【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为

过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，

由抛物线定义知，

当F,P,M三点共线时,最小为，

故选：A

8．已知，则x､y､z的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出，再由，可比较出与的大小即可得出的大小关系.

【详解】，

，

即，

，而，

，又，

，

综上，，

故选：D

二、多选题

9．设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可.

【详解】A：当时，可以成立，本选项结论不正确；

B：当时，若，此时成立，因此本选项结论不正确；

C：当时，若，，此时成立，因此本选项结论不正确；

D：因为，所以，，所以，而，，

所以，而，所以，因此，所以本选项结论正确，

故选：ABC

10．设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（       ）

A．上的最小值为2 B．的最大值为1

C．的最大值为4 D．的最小值为

【答案】AB

【分析】根据基本不等式及“1”的技巧判断AB，根据重要不等式判断CD即可.

【详解】∵，

∴，

当且仅当，即时等号成立，故A正确；

，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；

，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；

，当且仅当时等号成立，故D错误．

故选：AB

11．已知圆与圆，则下列说法正确的是（       ）

A．若圆与x轴相切，则

B．若，则圆与圆相离

C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为

D．直线与圆始终有两个交点

【答案】BD

【分析】根据圆与轴相切可求出m判断A，由圆心距与半径和的关系可判断B，根据两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程判断 C，根据直线系过定点及定点与圆的关系可判断D.

【详解】因为,

所以若圆与x轴相切，则有，故A错误；

当时，，两圆相离，故B正确；

由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，

故C错误；

直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.

故选：BD

12．已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增

C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称

【答案】ABD

【分析】根据函数的周期性定义判断A，根据复合函数的单调性及三角函数的单调性判断B，取特殊值法可判断C，由的关系可判断D.

【详解】由知，A正确；

由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，

所以函数在上单调递增，故B正确；

当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；

关于直线对称，故D正确.

故答案为：ABD

三、填空题

13．某中学高一､高二､高三年级的学生人数分别为1200､1000､800，为迎接春季运动会的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为___________.

【答案】12

【分析】再根据分层抽样的特征计算即可得出答案.

【详解】解：按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，

则高一年级应抽选的人数为人.

故答案为：12.

14．在的展开式中的系数为___________.

【答案】6

【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．

【详解】，

展开式中含的项为

故它的展开式中的系数为6，

故答案为：6

15．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.

【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，

由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，

联立可得，，

由余弦定理可得：

即，解得，

因为，所以，，可得，

故，

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.

【答案】     1    

【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，利用此关系直接求出，再将转化为关于的二次函数求范围即可.

【详解】作出函数的图象，如图，

因为，

所以由图可知，，即，，且，

，

在上单调递增，

，

即的取值范围是.

故答案为：1；

五、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，

(1)求角A的大小；

(2)请在① ② 两个条件任选一个，求的面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）

【答案】(1);

(2)选① ，选② .

【分析】（1）根据正弦定理转化为角的三角函数，利用二倍角公式、诱导公式化简即可得解；

（2）选① 由正弦定理求出a, 再由余弦定理求出c, 利用三角形面积公式求解；选② 直接由余弦定理求出c，再由三角形面积公式求解.

【详解】(1)由可得：，

即，

即，

因为，

所以，

所以， 即, .

(2)选① ：，由正弦定理可得，

即，解得，

由余弦定理可得，即，解得(负值舍)，

所以.

选② ：，由余弦定理可得，

即，解得，

所以.

18．设数列的前n项和为.已知，

(1)求数列的通项公式；

(2)数列满足，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据与得关系，计算即可得出答案；

（2）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.

【详解】(1)解：当时，

由，得，

两式相减得，

所以，

，，

所以，

所以数列是以1为首项，为公比得等比数列，

是以；

(2)解：，

则，

，

两式相减得

，

所以.

19．北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：.并绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；

【答案】(1)34分,35分；

(2)估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时概率最大，理由见解析.

【分析】（1）根据平均数和中位数的概念，利用频率分布直方图求解即可；

（2）由题意知X ~ B(20,0.35)，设最大，根据二项分布的概率公式建立不等式组求解即可.

【详解】(1)由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数

（分），

设1000名市民作答成绩的中位数为x，则，

，

所以这1000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分.

(2)估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时概率最大，

由已知得X ~ B(20,0.35)，

，

令,

即,

即，解得，

由，，

所以这20位市民的作答成绩在的人数为7时最大.

20．已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线距离的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知等式，结合平面两点距离公式进行求解即可；

（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合圆的几何性质进行求解即可.

【详解】(1)设，

因为，

所以，

平方化简，得；

(2)直线与双曲线：的方程联立，得

，

设，

所以有且，

所以，，

因为，

所以，

化简，得，

把，代入，得

，化简，得

，因为且，

所以有且，解得，

圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以点A到直线距离的最大值为，最小值为，

所以点A到直线距离的取值范围为，

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合直角的性质得到等式是解题的关键.

21．如图，平行六面体的底面是矩形，P为棱上一点.且，F为的中点.

(1)证明：；

(2)若.当直线与平面所成的角为，且二面角的平面角为锐角时.求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)取的中点，连接，证明AB⊥平面PEF即可；

(2)以为坐标原点，以过与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系，设设，h为P到平面ABCD的距离，求出平面PCD的法向量，根据直线与平面所成的角为求出a和h一个方程，根据PD＝2得到a和h的另外一个方程，联立方程，结合二面角的平面角为锐角可求a和h的值，从而根据可求体积.

【详解】(1)取的中点，连接，

∵∴，

∵四边形为矩形，∴，

∵为中点，∥，∴，

又∵，∴平面，

∴；

(2)如图，以为坐标原点，以过与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设，h为P到平面ABCD的距离，

则，，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，∴，

又∵，∴()，

设直线与平面所成的角为，

，

解得，或，

当a＝0时，平面PCD法向量为，则平面PCD与平面ABCD垂直，此时二面角的平面角为直角，∴(舍)，∴，代入()可得，

∴

22．已知函数，其中e为自然对数的底数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)证明：对于任意的正实数M，总存在大于M的实数a，b，使得当时，.

【答案】(1)增区间为

减区间为

(2)证明过程见解析.

【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.

（2）将绝对值不等式转化为，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M即可.

【详解】(1)

令，得

令，得,

当时, ,单调递增

当,时,    单调递減

综上单调递增区间为

单调递减区间为

(2)要证，

即证，

即证

即证 在时成立即可,

时, .

令,

当时,

所以

所以单调递增，

, 满足

由单调性可知, 满足

又因为当

，

所以能够同时满足，

对于任意的正实数，总存在正整数，且满足时, 使得 成立，

所以不妨取

则且时，

，

故对于任意的正实数，总存在大于的实数，使得当 时,.