2022届河南省南阳市第一中学校高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题含解析

2022届河南省南阳市第一中学校高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数的运算求出集合，再根据交集的定义可求出结果.

【详解】当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以，

所以.

故选：A

2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则点P的轨迹方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复数模长的公式，建立方程即可得到结果．

【详解】设，则由得， 即 ， 则.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的几何意义和模长公式，属于基础题．

3．已知向量， ，且，则 等于（       ）

A． B．-3 C．3 D．

【答案】A

【详解】试题分析：由已知，，又，故，所以

.

【解析】向量平行等价条件、三角函数同角关系式．

4．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据奇偶性的定义，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】的定义域为，若；

是奇函数；是为奇函数的充分条件；

 若是奇函数，则：，即 “” 是“是奇函数”的必要条件；

综合上可得 “” 是“为奇函数”的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.

5．某区创建全国文明城市指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评，工作人员在本区选取了甲，乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下面的茎叶图是两个街道的测评分数（满分100分），下列说法正确的是（       ）

A．甲，乙两个街道的测评分数的极差相等

B．甲，乙两个街道的测评分数的平均数相等

C．街道乙的测评分数的众数为87

D．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数比较大

【答案】D

【分析】计算甲，乙两个街道的测评分数的极差，判断A;求得两街道测评分数的平均数，判断B;观察得到乙街道测评分数的众数，判断C;求得甲，乙两个街道的测评分数的中位数，判断D.

【详解】街道甲的测评分数的极差是，街道乙的测评分数的的极差是，两者不相等，故A错误;

街道甲的测评分数的平均数为 ，街道乙的测评分数的平均数为，故B错误；

街道乙的测评分数的众数为81，故C错误；

街道甲的测评分数的中位数为，街道乙的测评分数的中位数为,故D正确，

故选:D．

6．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指对数关系及对数运算性质有，即可比较大小.

【详解】由题设，，又，

所以.

故选：D

7．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解.

【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数，可化为直线，

当直线过点时，此时直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，

又由，解得，

所以目标函数的最大值为.

故选：B.

8．从1，2，3，4，5，6这六个数字中任意选出两个数字，则这两个数字之和为5的倍数的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用组合知识求出从六个数中任意选出两个数字，有种选法，再列举出这两个数字的和为5的倍数的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.

【详解】从六个数中任意选出两个数字，有种选法，

其中这两个数字的和为5的倍数的情况有三种情况，

故概率为.

故选：B

9．已知抛物线C：的焦点为F，点为抛物线C上的一点，且，点B是抛物线C上异于点A的一点，且A，F，B三点共线，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出抛物线的标准方程，得到A，F的坐标，设，利用三点共线求出b，即可求出.

【详解】由抛物线的定义可得：，解得，则抛物线C：.所以，.

设，因为A，F，B三点共线，所以，解得（b＝1舍去），

故，．

故选：A

10．已知函数的部分图象如图所示．其中阴影部分的面积为，则函数在上的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由最大值可知，结合可求得；根据正弦型函数的对称性和阴影部分的面积可求得最小正周期，进而得到，确定；由正弦型函数最值的求解方法可求得最小值.

【详解】由图象知：，即；

，，又，；

阴影部分的面积为，由对称性可知：两个相邻的最高点与其在轴上的投影构成的矩形的面积为，

即，，解得：，；

当时，，

则当时，.

故选：C.

11．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分离变量可得，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得的范围.

【详解】当时，，恒成立；

令，

则；

则当，即时，；当，即时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，，

即实数的取值范围为.

故选：A.

【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，求解此类问题的基本思路是通过分离变量的方式将问题转化为或，利用导数求解函数最值，根据或得到参数范围.

12．如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，根据已知求出即得解.

【详解】解：如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，

则台体的体积，

解之得，

所以,,

所以截面的周长为.

故选：D

二、填空题

13．已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为___________.

【答案】3

【分析】由已知，利用等差数列通项公式列方程求公差即可.

【详解】设公差为d，则，又，

则，可得.

故答案为：3

14．设函数在点处的切线经过点，则实数________.

【答案】

【分析】先对求导，得出切线的斜率，即可得切线方程，将点代入即可求解.

【详解】，

切线的斜率，

由可知切点为，

所以切线为：，

因为切线过点，

所以，解得：，

故答案为：.

15．在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为___________.

【答案】

【分析】取的中点，连，根据面面垂直的性质定理证明平面，然后根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得为四面体CEGF的外接球的球心，求出其半径后，利用球的表面积公式可求出结果.

【详解】取的中点，连，如图：

依题意可知，，

因为平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，即平面CDEF平面ABFE，

所以平面，所以，，，

因为，且，所以平面，所以，

因为为的中点，所以，

所以为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为，

所以其表面积为.

故答案为：

16．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】根据双曲线的渐近线方程及双曲线的定义，再利用三点共线取得最小值，结合圆外一点到圆上的最小距离及两点间的距离公式即可求解.

【详解】由双曲线的一条渐近线方程为，

可得，解得.

所以，双曲线的左焦点坐标，右焦点坐标为，

由双曲线的定义，知，即，

由圆可得圆心，半径为，

，

问题转化为求点到圆上的最小值，

即，

所以.

所以的最小值为.

故答案为：.

三、解答题

17．共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．

(1)设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，且年龄x的方差为，评分y的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．

(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．

附：回归直线的斜率

相关系数

独立性检验中的，其中．

临界值表：

【答案】(1)；对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强.

(2)有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关.

【分析】（1）根据方差公式求出、，结合求出，再根据相关系数公式求出相关系数，可得结果；

（2）求出，结合临界值表可得结果.

【详解】(1)因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以相关系数，

因为，所以可以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强.

(2)根据题意可得列联表如下：

因为，

所以有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关.

18．已知数列{}的前项和为，，

(1)求数列{}的通项公式；

(2)设，为数列的前项和.证明：

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用关系及等比数列的定义求通项公式；

（2）由（1）得，应用裂项相消法求，结合数列单调性即可证结论.

【详解】(1)当时，，又，则，

当时，，解得，

故是首项为，公比为的等比数列，则；

(2)因为，则，

故，又，

所以，即，又是单调递增数列，则

综上，.

19．如图，在四棱锥中，，平面PAB，平面PAB，E为BC的中点，F为PB上一点，且，，．

(1)求证：；

(2)若直线DF与平面PAB所成的角为45°，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定和性质可得，连接结合△△可得，最后由线面垂直的判定、性质证结论.

（2）由已知有直线DF与平面PAB所成的角，由，根据已知条件及三棱锥的体积公式求体积.

【详解】(1)由平面PAB，面PAB，则，又，

由，则面，面，

所以，即，

连接，又E为BC的中点，则，

所以在△和△中，则△△，

所以，故，

由，则面，面，故.

(2)由平面PAB，则直线DF与平面PAB所成的角，

所以，又，，则，而，故，

所以，由E为BC的中点，平面PAB，故到面PAF的距离为，

则三棱锥的体积.

20．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若对，都有，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为

(2)

【分析】(1)利用导数研究函数的单调性，再次利用导数研究的单调性，即可得出结果；

(2)将问题转化为，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的单调性，求出即可.

【详解】(1)法一：由，知，

当时，，，则，

当时，，，则，

的单调减区间为，单调增区间为，

法二：由，知，

令，则，

在上单调递增，

，当时，；当时，

的单调减区间为，单调增区间为；

(2)不等式等价于，

令，则，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减

又在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，

即在处取得最小值，

，故实数a的取值范围是.

21．已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C ．

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线l与曲线C交于不同于右顶点Q的M，N两点，且，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)       注意到A为BP的中点，由相关点法，即可求得曲线C的方程；

(2)       先判断直线l恒过点，而即为△QMN面积的两倍，故将问题转化为求△QMN面积的最大值.

【详解】(1)设点P（x，y），D，则A 、B，由题意的，因为，

所以   而，，

所以代入圆O：得曲线C的方程为 .

(2)由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为．

联立得消去x得，

，化简整理，得．

设，，则，．             

因为，所以．

因为，所以，，得，

将，代入上式，得，

得，

解得或（舍去），                                                     

所以直线l的方程为，则直线l恒过点，

所以．

设，则，，                 

易知在上单调递增，所以当时，取得最大值为．

又，所以．

22．已知曲线C的极坐标方程为，直线：，直线：．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求直线，的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

(2)已知直线与曲线C交于O，A两点，直线与曲线C交于O，B两点，求△AOB的周长．

【答案】(1)直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（为参数）

(2)

【分析】（1）直接写出直线及直线的直角坐标方程，由公式法求得曲线C的直角坐标方程，再写出参数方程即可；

（2）分别联立直线、直线和曲线的极坐标方程求得，再由余弦定理求得即可求解.

【详解】(1)依题意，直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．

由，得．

∵，，，

∴，即，

∴曲线C的参数方程为（为参数）．

(2)由得，

由得，

又，由余弦定理可得，

即，∴△AOB的周长．

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【详解】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先将函数化为分段函数，而动直线过定点，结合图像可得的取值范围.

试题解析：解：（1）由，得或或，

解得，故不等式的解集为.

（2） ，

作出函数的图象，如图所示，

直线过定点，

当此直线经过点时，；

当此直线与直线平行时，.

故由图可知，.