2022届重庆市育才中学高三二诊模拟（一）数学试题含解析

2022届重庆市育才中学高三二诊模拟（一）数学试题

一、单选题

1．复数（为虚数单位）的虚部是（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可判断；

【详解】解：因为，所以复数的虚部为；

故选：A

2．设集合则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】联立方程组求解，用列举法表示即可得

【详解】或，则

故选：C

【点睛】本题考查集合元素，集合交集，理解集合的含义是关键，为简单题．

3．设，.若是与的等比中项，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．8

【答案】C

【解析】先根据等比中项的性质求得的值，利用“1”的变换得，展开后利用基本不等式求最小值.

【详解】由条件可知，即，

所以，

当时，即时，等号成立.

故选：C

【点睛】思路点睛：本题考查基本不等式求最值，基本不等式求最值时注意“一正，二定，三相等”，尤其是不要忽略验证相等的条件.

4．已知非零向量共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合平面向量的数量积运算判断.

【详解】假设存在实数，使得成立，

所以，

，

所以，故充分；

若，

则，

即，

所以，

因为，

所以 或 ，

所以方向相同或相反，

所以存在实数，使得成立，故必要；

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键是平面向量数量积定义的应用.

5．已知函数，，且函数在上具有单调性，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，且函数在上具有单调性，由关于函数的对称中心对称求解.

【详解】，

令,得函数的对称中心为，

又因为，且函数在上具有单调性，

所以，

当时，的最小值为.

故选：C.

6．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出的外接圆半径，得弓形面积，再求得大的半圆面积，相减可得结论．

【详解】解析由已知可得，的外接圆半径为1.由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为.

故选：A．

7．在等差数列中，，．记，则数列（       ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

8．设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据所给定义，结合图形，分别计算出的值即可.

【详解】对于正四面体，其离散曲率

对于正八面体，其离散曲率

对于正十二面体，其离散曲率

对于正二十面体，其离散曲率

因为

所以，

故选：B

【点睛】本题考查学生阅读理解能力，合情推理能力，涉及正多面体相关知识，数形结合思想，属于中档题.

二、多选题

9．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.

【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，

在单调递增且其图象恒过点，

则选项B符合要求；

当时，在单调递减且其图象恒过点，

在单调递减且其图象恒过点，

则选项D符合要求；

综上所述，选项B、D符合要求.

故选：BD.

10．2021年开始，我省将试行“”的普通高考新模式，即除语文、数学，外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定正确的是（       ）

A．甲的物理成绩相对他其余科目领先年级平均分最多

B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分

C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是物理、化学、地理

D．对甲而言，物理、化学、生物是最理想的一种选科结果

【答案】AB

【分析】根据图表依次对所给选项进行判断即可.

【详解】根据雷达图可知甲同学物理、化学、地理成绩领先年级平均分，其中，物理、化学地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1分、1分，所以甲同学物理成绩领先年级平均分最多,故A项叙述正确，C项叙述错误；B项，根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平均分，故B项叙述正确；所以对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果，故D项叙述不正确.

故选：AB．

【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到统计中雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道中档题.

11．已知圆 ， 直线 ，下面四个命题，其中真命题是（     ）

A．对任意实数与，直线与圆相切

B．对任意实数与，直线与圆有公共点

C．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切

D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切

【答案】BD

【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，结合三角函数的值域与选项即可得出结果.

【详解】由题意知，

圆心坐标，半径为1，

圆心到直线的距离为

（其中），

所以对任意实数与，直线与圆有公共点，且对任意实数，

必存在实数，使得直线与圆相切.

故选：.

12．已知数列{an}满足，，则（       ）

A．{an}是递增数列 B．

C．  D．

【答案】ABD

【分析】由递推公式和可判断A，由数列递增和可判断B，由递推公式知可判断C，对递推公式取倒裂项，然后累加、放缩可判断D.

【详解】因为a1=1，，所以，故A正确；

易知，所以为正整数，又{an}是递增数列，所以，故B正确；

由递推公式得：，又，所以，，，易知，故C不正确；

取倒得，则由累加法得整理得，

又所以

故选：ABD

三、填空题

13．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）．

【答案】

【详解】①男女，种；

②男女，种；

③男女，种；

∴一共有种．

故答案为120.

点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

14．已知函数，若，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】讨论与的取值范围，代入解析式，解不等式即可求解.

【详解】由

当，即时，

则，解得，此时无解，

当，即时，

则，解得或，此时无解，

当，即时，

则，解得或，此时.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】本题考查了分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

15．已知分别为双曲线的两个焦点，曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为______.

【答案】

【分析】由等面积法结合定义得出，由结合余弦定理得出该双曲线的离心率.

【详解】设焦距为，因为，

，所以，

又，所以

因为，

所以，结合整理得，

即

故答案为：

16．如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，.设，，给出以下四个结论：①平面平面； ②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形的周长，是单调函数；④四棱锥的体积在上先减后增.其中正确命题的序号是__________．

【答案】①②

【分析】①利用面面垂直的判定定理判断；

②求得，又是定值，结合可作出判断；

③四边形是菱形，分析的变化可作出判断；

④将四棱锥则分割为两个小三棱锥，进而可作出判断.

【详解】对于①：连接，，则由正方体的性质可知，平面，又平面，所以平面平面，故①正确；

对于②：连接，因为平面，所以，所以四边形是菱形．四边形的面积，四边形的对角线是固定的，，所以当且仅当时，四边形的面积最小，故②正确；

对于③：因为，所以四边形是菱形．当时，的长度由大变小；当时，的长度由小变大．所以函数不单调．故③错误；

对于④：四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以，分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形的面积是个常数．，到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常值函数，故④错误．

故答案为：①②.

四、解答题

17．已知，数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再利用累加法求出的通项公式；

（2）由（1）可知，即可得到，利用裂项相消法求和即可；

【详解】(1)解：因为，即，

所以，，…，，

以上各式相加得，

又，所以.

当时，，

故的通项公式为.

(2)解：由（1）知，，

则，

故.

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，平面ADP⊥平面ABCD，点E､F分别为PD､BC的中点.

(1)求证：AE⊥DF；

(2)当二面角C-EF-D的余弦值为时，求棱PB的长度.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由已知得，即，根据面面垂直的性质有面，由线面垂直的性质即可证结论.

（2）是中点，连接，结合（1）的结论可得两两垂直，令，构建空间直角坐标系并确定相关点的坐标，进而求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数m，进而求PB的长度.

【详解】(1)因为为BC的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，，

所以且，易知：△为直角三角形，故，

而，则，故，

由面ADP⊥面ABCD，面面，面，

所以面，又面，即.

(2)若是中点，连接，

由△PAD是以AD为底边的等腰三角形，为BC的中点，则，，

由（1）知：，故；

由面，即面，又面，故，

综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，

令，且E为PD的中点，则，，，，

所以，，，

若是面的一个法向量，则，令，即，

若是面的一个法向量，则，令，即，

所以，可得，又，

所以.

19．已知函数（其中a为常数且），再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)求a的值；

(2)若方程在区间上有解，求实数m的最小值.

条件①：函数的最大值为4；条件②：函数的图象关于点对称.

【答案】(1)

(2)的最小值为

【分析】（1）先对函数化简变形，，若选①，则，从而可求出的值，若选②，则，从而可求出的值，

（2）由（1）可得，代入中化简求出，从而可求出m的最小值

【详解】(1)

，

（其中）

若选①，因为函数的最大值为4，

所以，因为，所以解得，

若选②，因为函数的图象关于点对称，

所以，

解得

(2)由（1）可知可化为，

所以，得，

所以或，

得或，

因为，所以的最小值为

20．某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.

(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；

(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；

(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.

【答案】(1)；

(2)分布列答案见解析，数学期望是；

(3)升级方案合理.

【分析】(1)根据给定条件求出抽一件是一级品的概率，再利用对立事件、独立事件的概率公式计算作答.

(2)求出10件产品中二级品的数目，再求出的可能值及各个取值的概率，列出分布列，计算期望.

(3)由给定数据求出今年的利润，明年预计的利润，再比较大小作答.

【详解】(1)抽取的100件产品是一级品的频率是，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，

设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，

所以至少有一件产品是一级品的概率是.

(2)依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，的可能值是，

，，，

所以的分布列为：

.

(3)今年利润为：(万元)，

明年预计利润为：(万元)，显然有，

所以该次升级方案合理.

21．已知椭圆的焦点在轴上，右焦点为，且经过点且与x轴垂直的直线交椭圆于点，左顶点为.

(1)求椭圆的离心率和的面积；

(2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)存在直线是否过定点，定点

【分析】（1）由题意得到，又由椭圆经过点，求得的值，得出椭圆的方程，结合离心率的定义求得离心率，进而求得的面积；

（2）联立方程组，求得，设点，得出的方程，令，化简得到，根据，求得，即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意，经过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆于点，

可得，则，可得椭圆

则，解得，即椭圆，

所以椭圆的离心率为，

又由左顶点为，右焦点为，所以，

所以的面积为.

(2)解：设过点作直线的垂线的方程为，

由点，，可得直线的方程为，

当时，直线的方程为，交轴于点，

当时，直线的方程为，

此时交轴于点，

若直线经过轴上的定点，则，解得，直线交轴于点，

下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点，

联立方程组，整理得，

设，则，

设点，所以的方程为，

令，可得，

因为，所以，

所以直线经过定点，

综上可得，存在实数，使得直线经过轴上定点.

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的值；

(3)当，时，恒成立，直接写出的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用导数的几何意义求解

（2）令，问题等到价于，而，可得为函数的最小值点，然后分和分析求解即可，

（3）问题等到价于恒成立，构造函数，转化为，再构造函数，利用导数判断其最小值，从而可判断出，由此可得为增函数，进而可求得结果

【详解】(1)当时，，则，

，，

所以曲线在处的切线方程为，即，

(2)当时，，

令，则

恒成立等价于，

因为，

所以为函数的最小值点，

因为，

当时，，所以在上单调递增，不合题意，

当时，由，得，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，取得最小值，

所以，解得

(3)恒成立，等价于，

即恒成立，

构造函数，

等价于，

因为，所以

令函数，则，

显然为增函数，则，

所以在上为增函数，

所以，

所以，则，

因为，

所以在上单调递增，

所以当时，恒成立，

即，

所以的取值范围

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用求曲线的切线方程，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第3问解题的关键是将不等式转化为恒成立，再构造函数，再次转化为恒成立，再利用导数判断其单调性，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题