2022届重庆市第八中学高三下学期调研检测（七）数学试题含解析

这是一份2022届重庆市第八中学高三下学期调研检测（七）数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届重庆市第八中学高三下学期调研检测（七）数学试题一、单选题1．设全集，集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出即得解.【详解】由题设，，则，故选：D.2．已知函数，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断的范围，再代入函数的相应解析式中求得答案.【详解】因为，则，所以，故选：A.3．已知双曲线，若对任意实数，直线与至多有一个交点，则的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线与双曲线的渐近线的关系求得，从而求得，以及双曲线的离心率.【详解】依题意可知直线与双曲线的渐近线平行或重合，则，即，，从而，所以的离心率.故选: B4．考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由二项分布的期望、方差公式得，进而得；根据条件概率计算公式求解即可得.【详解】解：问题①，由，解得，则.问题②，根据题意，事件B的可能情况有种，事件发生的可能情况为种，所以，.故选：C.5．某种活性细胞的存活率（）与存放温度（℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度（℃）104存活率（）20445680经计算，回归直线的斜率为，若这种活性细胞的存放温度为℃，则其存活率的预报值为（       ）A．32% B．33% C．34% D．35%【答案】C【分析】根据已知回归方程的斜率，先设出回归方程，然后计算出样本中心点代入回归方程，得到回归方程后，然后，令即可完成预测值的求解.【详解】设回归直线方程为，由表中数据可得，.因为回归直线经过样本点中心，则.所以当时，.故选：C.6．已知，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简即得解.【详解】解：.故选：A.7．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且，则该曲池的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，即.故该曲池的体积.故选：B8．在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出辅助线，对数量积进行转化得到，求出的取值范围，进而求出答案.【详解】取的中点，则，所以.因为，则，即.所以，故选：D.二、多选题9．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，，则（       ）A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为C．椭圆的标准方程可以是D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为【答案】BCD【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长，，再逐项计算、判断作答.【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得，A不正确；显然，则，离心率，B正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确.故选：BCD10．函数(其中，，)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（       ）A．B．函数图像的对称轴为直线C．函数的零点为D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为【答案】ABD【分析】由函数的图像可知，，从而可求出，进而得，然后将代入解析式中可求出的值，则可得函数的解析式，再逐个分析判断即可【详解】解：由函数的图像可知，，则，所以，由，得，因为，所以，所以，所以A正确，由，得，所以函数图像的对称轴为直线，所以B正确，由，所以函数的零点为，所以C不正确，对于D，当时，，令，则，由的图像可知，若在区间上的值域为，则，解得，所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查了三角函数的图像和性质，解题的关键是熟记三角函数的图像和性质，合理利用换元法求解，考查计算能力，属于中档题11．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ）A．是以4为周期的周期函数B．C．函数有3个零点D．当时，【答案】ACD【分析】首先判断出的周期，然后求得.利用图象法判断C选项的正确性，通过求在区间上的解析式来判断D选项的正确性.【详解】依题意，为偶函数，且关于对称，则，所以是周期为4的周期函数，A正确.因为的周期为4，则，，所以，B错误；作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；当时，，则，D正确.故选：ACD12．如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（       ）A．对于任意点，平面B．存在点，使平面C．直线的被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为【答案】BD【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.【详解】正方体内切球的球心即正方体的中心，且球半径，当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；当为的中点时，，，，则平面，因为平面，所以；同理，，因为，所以平面，即平面，B正确；取的中点，由对称性可知，，则.因为，，则，所以直线的被球截得的弦长为，C错误；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.因为，则，所以截面圆面积，D正确，故选：BD.三、填空题13．已知复数满足，则_________.【答案】【分析】利用复数的除法和乘法运算求解.【详解】.故答案为：14．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有__________种.【答案】126【分析】按甲收集资料的种数分类讨论，先确定甲收集资料的种数剩下的分成三组分给乙、丙、丁三人收集.【详解】据题意，甲可收集1种或2种资料.第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种，另两人各收集1种，有种；第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有种.所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126种.故答案为：126.15．已知直线过点，且与圆：相交于两点，设，若点在圆上，则直线的倾斜角为__________.【答案】30°或150°【分析】由可以判断四边形为菱形，点在圆上，则，转化成点到直线的距离为，即可求出答案.【详解】因为，，则四边形为菱形，所以.设为垂足，因为点在圆上，则.设直线的方程为，由，得，即，所以直线的倾斜角为30°或150°.故答案为：30°或150°.16．已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围是______.【答案】【分析】由题意将问题转化为直线与函数的图象有两个不同交点，然后利用导数求出的单调区间和最值，结合函数图象求解即可【详解】由，得，据题意，有两个不同零点，则直线与函数的图象有两个不同交点，由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，当时，，由图可知，的取值范围是.故答案为：四、解答题17．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.【答案】(1)海里(2)游船应该沿北偏东的方向航行.【分析】(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛 C的距离；(2)两边两角，由正弦定理可以求角.【详解】(1)解：(1)在中，，根据余弦定理得：..所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.(2)解：(2)根据正弦定理得： 解得在中，为锐角.由得游船应该沿北偏东的方向航行答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.18．已知数列是递增的等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列出方程求出公比可得；（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.【详解】(1)设数列的公比为，，则.由得，由得，所以，解得或（舍去），所以.所以数列的通项公式为.(2)由条件知，设，则，将以上两式相减得，所以.设，则.19．2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下： 优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120(1)根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标） 达标不达标合计男生   女生   合计   (2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望.附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，没有；(2)分布列见解析，.【分析】（1）完成列联表，再利用独立性检验求解；（2）由题得的所有可能取值为0，1，2，3，4，再求出对应的概率，即得分布列和期望.【详解】(1)解：由题得列联表如下： 达标不达标合计男生10801201200女生840120960合计19202402160没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关.(2)解：由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.的所有可能取值为0，1，2，3，4.的分布列为：01234.20．如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.(1)证明：直线平面；(2)设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.【答案】(1)证明见解析(2)当时，【分析】（1）证明线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，结合面面垂直证明线面垂直；（2）作出辅助线，找到直线与平面所成的角，异面直线与所成的角为，结合三角函数的性质进行求解.【详解】(1)因为分别是的中点，则，又平面，EF平面，从而平面.因为平面，平面平面，则l，因为平面平面，平面平面，，则平面，所以直线平面.(2)因为平面，PC平面，则.又，则.因为为正三角形，为的中点，则.因为AEEF=E，从而平面.连接，则，因为，，则，在中，，在中，.因为，则，得.所以当时，.21．已知椭圆的焦距为，左､右焦点分别是，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列出等式，求得 ，即得答案；（2）考虑直线斜率是否存在，存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，结合直线与直线的斜率之和为化简整理可得参数之间的关系式，即可证明结论.【详解】(1)由题意得，由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上，可知：，又，解得：所以椭圆的方程为：.(2)证明：①当直线的斜率不存在时，设直线，由题意可知，且，设，因为直线的斜率之和为，所以，化简得，所以直线的方程为.②当直线的斜率存在时，设方程为，联立消去，化简得.，由题意可得，因为直线的斜率之和为，所以，，，，，化简整理得，当且仅当时，即 或且 时符合题意，直线的方程：，即，故直线过定点，综上①②可得直线过定点.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，以及直线和椭圆相交时的直线过定点问题，解答时要注意考虑直线斜率是否存在的情况，斜率存在时设出直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，然后结合条件得等式，化简即可，难点在于计算量较大并且运算繁琐，需要十分细心.22．已知函数．(1)若为的极小值点，求a的取值范围；(2)若有唯一的极值，证明：，．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将函数求导之后，讨论的取值范围，进而判断的单调性和极值的情况，由为的极小值点，求出最终的取值范围；（2）当，为唯一的极值，得，即证，，构造新函数，求，即可证明结论成立.【详解】(1).①当时，在上单调递诚，在上单调递增，所以为的极小值点．②当时，由得或．（ⅰ）当时，在R上单调递增，无极值点；（ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点；（ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递诚，在上单调递增，所以为的极大值点，综上，a的取值范围是．(2)根据（1）可知，为唯一的极值，所以，所以．所以即证，．设，则，设，则，设，则，当时，,,,所以，即，所以在上单调递增．，，又，所以，所以，使．因此当时，，当时，．得在上单调递减，在上单调递增，又，，因此当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，得，所以，从而原命题得证．【点睛】求函数的极值，要注意求导之后，讨论的取值范围，利用原函数的单调性求函数的极值，对于不等式的证明问题，要注意构造新函数，将其转化为求新函数的最值问题.