2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中数学（文）试题含解析

这是一份2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，1，2}，集合N={3，4}，则（       ）A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}【答案】A【分析】利用集合的并补运算求.【详解】由题设，，而U={0，1，2，3，4，5}，所以.故选：A2．设，则z=（       ）A．-4-3i B．-4+3i C．4-3i D．4+3i【答案】C【分析】利用复数的除法及求复数即可.【详解】由.故选：C3．设命题，；命题q：若，对任意恒成立，则．下列命题中为真命题的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据零点存在性定理判断命题p真假，由恒成立求出a的取值范围判断q,再由复合命题的真值表判断即可求解.【详解】令，则在为连续函数，且，，故在上存在零点，故方程在上有解，故命题p为真命题，对任意恒成立，则，解得，故命题q为假命题，所以为真命题，，，为假命题．故选：C．4．函数最小正周期和最大值分别是（       ）A．和 B．和5C．和 D．和5【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质求最小正周期和最大值.【详解】且，所以最小正周期和最大值为.故选：C5．若x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（       ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】画出可行域，根据目标式的几何意义，应用数形结合法判断取最小所过的点，进而求出最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图：而目标式为在平移过程中与可行域有交点情况下，在y轴上的截距，由图知：当过与的交点时，.故选：B6．（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式化简求值即可.【详解】.故选：D7．在区间随机取一个数，则满足的概率为的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦函数的性质求出不等式的解集，再根据长度型几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：由，所以，，解得，，所以原不等式的解集为，，故在区间上满足的的取值范围为，所以满足的概率为的概率；故选：B8．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则它的内切球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定正八面体内切球的球心，再求出球心到其中一个面的距离即为内切球半径，利用等体积法求出距离即可.【详解】设正八面体内切球半径，给正八面体标出字母如下图所示，连接和交于点，因为，，所以，，又和交于点，所以平面，所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等，距离即为内切球半径，设内切球与平面切于点，所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以，因为正八面体的棱长为，所以，，，所以，，因为，，所以，即，所以正八面体内切球的表面积为：.故选：C.9．设函数，则下列函数中为偶函数的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据偶函数的定义判断即可；【详解】解：因为，对于A：，为非奇非偶函数，故A错误；对于B：，为非奇非偶函数，故B错误；对于C：，为非奇非偶函数，故C错误；对于D：，令，则，故为偶函数，故D正确；故选：D10．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.11．设P是椭圆C:上的点，则点P到动点距离的最小值为（       ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】将点转化为参数方程形式，结合点到直线的距离公式与三角函数性质求解【详解】由题意可设，动点在直线上，故故选：B12．设，若为函数的极小值点，则（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】先对函数求导，令，则或，然后分和结合的正负讨论判断函数的极值点即可【详解】由，得，令，则或，当，即时，若时，则在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不合题意，若时，则在，上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，当时，，若时，在，上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极大值点，不合题意，若时，在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，得，综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，故选：C二、填空题13．已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则________．【答案】【分析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b．【详解】解：依题意可得抛物线的准线为，又因为椭圆焦点为所以有．即b2＝3故b．故答案为．【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．14．已知向量，，，且，则实数_______．【答案】2【分析】两向量垂直，则两向量的数量积为0，进行计算，得出结果.【详解】由得，即，得故答案为：215．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．【答案】30+6【分析】根据三视图,可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD,其中底面△BCD中,CD⊥BC,且侧面ABC与底面ABC互相垂直,由此结合题中的数据结合和正余弦定理,不难算出该三棱锥的表面积．【详解】解：根据题意,还原出如图的三棱锥A﹣BCD：底面Rt△BCD中,BC⊥CD,且BC=5,CD=4，侧面△ABC中,高AE⊥BC于E,且AE=4,BE=2,CE=3，侧面△ACD中,AC==5，∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE⊥BC，∴AE⊥平面BCD,结合CD⊂平面BCD,得AE⊥CD，∵BC⊥CD,AE∩BC=E，∴CD⊥平面ABC,结合AC⊂平面ABC,得CD⊥AC，因此,△ADB中,AB==2,BD==,AD==,∴cos∠ADB==,得sin∠ADB==，由三角形面积公式,得S△ADB=×××=6，又∵S△ACB=×5×4=10,S△ADC=S△CBD=×4×5=10，∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6，故答案为30+6．【点睛】本题给出三棱锥的三视图,求该三棱锥的表面积,着重考查了三视图的理解、线面垂直与面面垂直的判定与性质和利用正余弦定理解三角形等知识,属于中档题．16．平面四边形中，，，，，则面积的最大值为__________.【答案】【分析】由题意结合正弦定理和余弦定理得到关于三角形面积的解析式，结合三角函数的性质即可确定面积的最大值.【详解】设，，依题意得，则中由余弦定理得：中正弦定理得：，即则，即，所以，当且仅当取等号.综上可得：面积的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下： 良好以下良好及以上合计男25  女 10 合计70 100(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系； 良好以下良好及以上合计男252045女451055合计7030100(2)【分析】（1）根据题意补全表格，代入公式求解即可；（2）先求出样本中男生和女生人数，再计算概率即可.(1) 良好以下良好及以上合计男252045女451055合计7030100所以，所以有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.(2)根据题意，抽取了9人中男生有6人，女生有3人；设事件表示9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，抽到的3人全是男生，所以，故从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率为：.18．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据等差数列的性质得出运用通项公式求解即可．（2）由（1）可得.对n分类讨论“裂项相消求和”即可得出.【详解】（1）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．∴Sn＝na1+n（n﹣1）（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1；（2）∵由（1）可得，当n为偶数时，Tn＝ ．当n为奇数时， ．．【点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题．19．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析.(2)1.【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到=90，即，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足为E，则 ．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥的体积为．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.20．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，求得的坐标，结合，化简、整理，即可求得抛物线的方程；（2）设，不妨设，由，求得，设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，，进而求得，利用弦长公式，即可求解.【详解】（1）设，因为，，则，，．由，可得，化简得，即动点的轨迹的方程为．（2）设，，由题意知，，易知，不妨设，因为，所以，所以． ①设直线的方程为，联立消去，得，则，可得，   ②   由①②联立，解得，所以．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21．已知函数，．（1）试讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）.【分析】（1）求出导函数，设，对a分类讨论：当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）把有两个零点，转化为有两个解，令，二次求导后得到函数的单调性和极值，即可求出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为.（1），设当时，因为函数图象的对称轴为，．所以当时，，，函数在上单调递减；当时，令．得，当时，，，当时，，．所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）若有两个零点，即有两个解，．设，，设，因为函数在上单调递减，且，所以当时，，，当时，，．以函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，，所以．即实数的取值范围为.22．在直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）设直线与圆相交于，两点，求圆在，处两条切线的交点坐标．【答案】（1）圆的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）.【分析】（1）由题意结合直角坐标方程与极坐标方程的转化公式可得圆的极坐标方程；转化直线的极坐标方程为，再利用直角坐标方程与极坐标方程的转化公式即可得直线的直角坐标方程；（2）由题意联立方程组可得，的坐标，结合直线与圆相切的性质、直线方程的求解即可得两切线方程，联立方程即可得解.【详解】（1）圆的方程可变为，所以圆的极坐标方程为即；直线的极坐标方程可变为，所以直线的直角坐标方程为即；（2）由题意联立方程组，解得或，不妨设点，，设过，处的切线分别为，，圆的圆心为，半径为，易得，由直线的斜率可得直线的斜率，所以直线的方程为即，由可得，所以圆在，处两条切线的交点坐标为.【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了直线与圆相切性质的应用及直线方程的求解，属于中档题.23．设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用零点分段法分类讨论去绝对值，然后解不等式即可；（2）作出的图象，结合图象可得出的取值范围.【详解】解：（1），所以原不等式等价于或或，解得不等式的解集为；（2）图象如图所示，其中，，直线过点，由图可得，当不等式的解集非空时，则直线的位置在直线和过且与平行的直线之间，又，所以的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及应用，考查学生对分类讨论思想、数形结合思想的应用能力，难度一般，属于高考常考题型.