2021-2022学年安徽省芜湖市第一中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年安徽省芜湖市第一中学高二下学期期中数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省芜湖市第一中学高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】.
故选：C.
2．已知直线与曲线相切，则a的值为（       ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义求切线即可.
【详解】直线y=x+1的斜率为1，
对曲线 求导得 ， ，
将 代入直线y=x+1中，得 ，则点 为切点，
带入曲线方程得 得 ；
故选：D.
3．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项不正确的是(       )
附：若随机变量X服从正态分布，则．
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.8413
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
【答案】D
【分析】利用正态分布曲线的性质即可逐项判断求解.A：根据即可求解；B：根据红玫瑰日销售量的方差为，白玫瑰的日销售量的方差为即可比较判断；C：根据对称性可知；D：根据对称性可知．
【详解】对于A，若随机变量X服从正态分布，则，
∴对于红玫瑰的销量，若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，
则，故红玫瑰日销售量的平均数约为250，故A正确；
对于B，∵红玫瑰日销量的方差为900，小于白玫瑰日销量的方差1600，∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B正确；
对于C，设白玫瑰日销售量为X，，，，
则

，故C正确；
对于D，白玫瑰日销售量范围在，即的概率为，故D错误．
故选：D．
4．某运动会乒乓球团体比赛要求每队派三名队员参赛，第一盘为双打，第二、三、四、五盘为单打，每名队员参加两盘比赛．已知某队的三名队员均可参加单打和双打比赛，在打满五盘的情况下，该队不同的参赛组合共有（       ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
【答案】B
【分析】先从3人中选出2人参加第一盘双打，再这2人再后四盘中各选一场单打，剩余一人参加剩余的两盘单打求解．
【详解】先从3人中选出2人参加第一盘双打，有种选法，
这2人再从后四盘中的参加一场单打，剩余一人参加剩余的两盘单打，有种选法，
所以由分步计数原理知：共有种不同的参赛组合．
故选：B
5．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（       ）

A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论．
【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；
根据函数的导数图象，函数在时，，
故函数在区间上单调递减，故正确；
由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；
根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，故正确，
故选：
6．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
7．已知函数，若在单调递增，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，构造函数求出函数的单调性与最值，即可得解；
【详解】解：因为，定义域为，
所以，依题意在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，即，
所以，即；
故选：B
8．芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出事件A发生的概率和事件A和事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.
【详解】由题两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有种，
其中事件A的情况有种，
事件A和事件B共同发生的情况有种，
所以，，
所以.
故选：D.
9．无盖正方体容器的五个面上分别标有A、B、C、D、E五个字母，现需要给容器的5个表面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的染色方案有（       ）种．
A．420 B．340 C．300 D．120
【答案】A
【分析】就使用颜色的种数分类讨论后可求不同的染色种数.
【详解】
如图，正方体的左侧面为，右侧面为，前侧面为，后侧面为，底面为.
5个面如果用完五种颜色，则不同的染法为.
5个面如果有四种颜色，则必有、同色或、同色，
则不同的染法为.
5个面如果有三种颜色，则必有、同色且、同色，
则不同的染法为.
故不同的染法种数为，
故选：A.
10．已知函数，若函数与的图象恰有8个不同公共点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分段画出函数的大致图象，将函数与的图象恰有8个不同公共点的问题转化为方程有8个不同的根的问题，然后采用换元法将问题变为讨论在给定区间上有解的问题.
【详解】当 时， ，，
由时，，得单调递减，由时，，得单调递增，
故时，；
当时，，
由时，，得单调递减，
由时，得单调递增，
所以时，有极大值，当时，，
作出的大致图象如图：
函数与的图象恰有8个不同公共点，
即方程有8个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论有8解情况如下：
令，

当 在有两个解时，满足题意，
即 ，解得 ，
故选：A.
二、多选题
11．已知，则（       ）
A．展开式中所有项的系数和为1
B．展开式中二项系数最大项为第1010项
C．
D．
【答案】ACD
【分析】代入即可判断A，计算可判断B，分别令，，代入计算即可判断C，两边求导即可判断D.
【详解】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对；
展开式中第项二项式系数，
，即，
则，∴.
展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错；
，
令，则，令，则，
∴，C对；
对等式两边求导，，
，∴，D对.
故选：ACD.
12．下面结论正确的是（       ）
A．有4个不同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒中仅放一球的放法共有24种
B．有4个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个空盒的放法共有18种
C．有8个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒中所放球的个数不限的放法共有35种
D．有8个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒中不空的放法共有35种
【答案】ABD
【分析】由分步乘法计数原理可判断A的正误；分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B的正误；由相同元素的分配问题结合分类加法、组合知识可判断C，D的正误；
【详解】对于A，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，每个盒中仅放一球的放法共有种放法，故A正确；
对于B，将个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒，
则一个盒子放个小球、另一个盒子放个小球或两个盒子均放个小球，
此时，共有种不同的放法，故B正确；
对于C，有8个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒中所放球的个数不限的放法可分为：
放一个盒子，种方法；放二个盒子，种方法；放三个盒子，种方法；放四个盒子，种方法，所以共有：种放法.故C错误；
对于D，有8个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒中不空的放法共有种，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了个歌唱节目和个舞蹈节目如果保持原节目的顺序不变，且要求增加的两个歌唱节目相邻那么不同排法的种数为__________．
【答案】
【分析】将新增加的两个歌唱节目捆绑为一个“大元素”，结合倍缩法可求得结果.
【详解】将增加了个歌唱节目和个舞蹈节目与原定表演个节目进行排列，
将新增加的两个歌唱节目捆绑为一个“大元素”，与其它个节目进行排列，
但考虑原定表演个节目的顺序不变，
由倍缩法可知，不同的排法种数为种.
故答案为：.
14．若的展开式中二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为_________．
【答案】
【分析】由二项式系数之和公式求得，结合二项式展开式通项公式即可得到的系数
【详解】由的展开式中二项式系数之和为32得，，故，的展开式通项为，故的项为，，即，
故答案为：
15．某地区有3个疫苗接种定点医院，现有9名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少需要2名且至多需要4名志愿者，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】9240
【分析】现将9名志愿者按人数为(2，3，4)或(3，3，3)分为三组，再将三组志愿者分派到3个医院即可．
【详解】先将9名志愿者分为三组，根据每组人数不同，(2，3，4)、(3，3，3)两种分组方式，
当分组为(2，3，4)时，有种分组方法，
当分组为(3，3，3)时，有种分组方法，
再将三组志愿者分配到3个不同医院，故总共有(1260+280)=9240种不同的安排方法．
故答案为：9240．
四、双空题
16．若函数有两个不同的零点和，则a的取值范围为________；若，则a的最小值为__________．
【答案】         
【分析】令f(x)=0并参变分离得，构造函数，问题转化为与y=a图像有两个交点的问题，利用导数研究y=g(x)的单调性和最值，作出其图像，数形结合即可确定确定a的范围；根据a=以及g(x)的单调性可求的范围，从而可求a=的最小值．
【详解】，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故，当x→－¥时，g(x)→－¥，当x→+¥时，g(x)→0，
则g(x)如图：

故函数有两个不同的零点和，则y=g(x)与y=a图像有两个交点，则；
若，则，
则
故．
故答案为：；．
五、解答题
17．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙两人有人抽到难签的概率；
(3)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；
(4)甲、乙、丙恰有2人都抽到难签的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求对应事件的概率.
（2）利用对立事件可求对应事件的概率.
（3）利用条件概率的计算公式可求对应事件的概率.
（4）利用分类讨论可求对应事件的概率.
【详解】(1)设为“甲抽到难签”，则.
(2)设为“甲、乙两人有人抽到难签”，则为“甲、乙两人中无人抽到难签”
则.
(3)设为“甲抽到难签”，为“乙抽到难签”，
则.
(4)设为“甲、乙、丙恰有2人都抽到难签”，
则.
18．已知函数．
(1)求证：；
(2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意化简不等式，组成新的函数，利用导数得到的单调区间，求得最小值即可证明；
（2）由题意转化为恒成立，对参数分类讨论，求解其取值范围.
【详解】(1)解：由题可知，，
原题等价于求证，令，
则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
∴，
故.
(2)解：令，
易知，
且，
所以①当时，，单调递增，；
②当时，有唯一解，
则且在单调递减，∴此时，与题意矛盾．
综上所述：．
19．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(4)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
【答案】(1)720；
(2)1440；
(3)960；
(4)840.
【分析】(1)采用捆绑法即可求解；(2)采用插空法即可求解；(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；(4)从7个位置中选出4个位置排男生，再在余下的3个位置中从左到右按高矮顺序排女生即可．
【详解】(1)先将3个女同学排在一起，有种排法，将排好的女同学视为一个整体，与4个男同学进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；
(2)先将4个男同学排好，有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空挡中插入3个女同学有种方法，故符合条件的排法共有(种)；
(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；
(4)从7个位置中选出4个位置排男生，有种排法，再在余下的3个位置中排女生，由于女生从左到右按高矮顺序排，所以仅有1种排法，故符合条件的排法共有(种)．
20．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级．某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
(1)若将频率作为概率，从这批采购的橙子中随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
(2)用按比例分配分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值．
(3)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/；方案二：分等级出售，橙子价格如下表．
等级
珍品
特级
优级
一级
价格/（元/）
36
30
24
18
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)应该采用方案一
【分析】（1）根据独立重复实验概率计算公式，计算出所求概率；
（2）由分析知，珍品的箱数X服从超几何分布，的可能取值为，求出其对应概率，列出分布列，求出期望.
（3）设方案二中每千克橙子的价格为元，求出，比较与27的大小，即可得出结论.
【详解】(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则，现有放回地随机抽取4箱，设抽到级品的箱数为，则，
所以恰好有2箱是一级品的概率为．
(2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中，
．
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




．
(3)设方案二中每千克橙子的价格为元，
则，
因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一．
21．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性；
（2）根据（1）中所求，求得，以及，再求其取值范围即可.
【详解】(1)因为，故可得，
令，可得或；
当时，，此时在上单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时， 在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减.
(2)由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增
又，，故在单调递减，在单调递增.
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时；
当时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为.
22．某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费．假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
(2)若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
(3)①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值．
参考数据：
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)11
【分析】（1）恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来,说明3次检测可能是阴阴阴，阴阳阳，阳阴阴，分类求解.
（2）要么一次，要么次.即可求解.
（3）①求出方案一和二的费用，进行比较大小，即可求解
②由①可知两种方案的费用，代入次数10，即可得到费用差的式子，构造成一个连续函数，利用导数处理单调性，进而代入次数值逐一验证得最大次数.
【详解】(1)记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，
则．
(2)X的可能值为1和，
，
所以随机变量X的分布列为：
X
1

P


所以
(3)①设方案二的总费用的数学期望为，方案一总费用为Z，
所以方案二总费用的数学期望为：
，
又，所以，
又方案一的总费用为，
所以，
当时．，
，又，
所以，所以该单位选择方案二合理．
②由①知方案二总费用的数学期望，
当时，，
又方案一的总费用为，
令得：，
所以，即，
即，所以，
设，
所以，
令得得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，
，
，
，
，
所以k的最大值为11．