2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（       ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【分析】求出，利用导数的定义可得出，即可求得结果.

【详解】由已知可得，

因此，.

故选：C.

2．设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（       ）

A．， B．，

C． D．

【答案】C

【分析】分析可知，分、两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的的取值范围，即可得出结论.

【详解】因为，若，则数列为摆动数列，与题意不符，所以，.

①若，则对任意的，，由可得，即；

②若，则对任意的，，由可得，此时.

所以，为递增数列的充要条件是，或，       ，

当，时，，则；

当，时，，则.

因此，数列为递增数列的充要条件是.

故选：C.

3．从分别标有1，2，，10的10张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出抽取2次的所有情况以及抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的情况，即可求出概率.

【详解】由题可得不放回地随机抽取2次，共有种，

则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的情况有种，

所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率为.

故选：D.

4．方程有三个相异实根，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数，求出极值点，根据方程有三个相异实根建立不等式组，即可求得.

【详解】记，则.

令，解得：或.列表得：

要使方程有三个相异实根，只需：

，解得：.

故选：B

5．已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由数学归纳法的概念求解

【详解】当时，这三个平面将空间分成了8部分，

若时，平面将空间分成个部分，则再添加1个面时，与其他个面共有条交线，此条交线过同一个点，将该平面分成个部分，

每一部分将所在的空间一分为二，故．

故选：A

6．已知等差数列，其前项和为，若，，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设等差数列的公差为，由已知条件求出的值，可求得的表达式，再利用数列的单调性可求得的最大值.

【详解】设等差数列的公差为，则，解得，

所以，，则，

令，则，

所以，当时，，即；

当时，，即，

所以，数列中的最大项为.

故选：B.

7．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令，由导数可得在单调递增，不等式等价于，即可求解.

【详解】令，

则，

所以在单调递增，

不等式化为，

即，所以，解得，

所以不等式的解集为.

故选：D.

8．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年下半年在北京召开，党的二十大是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会．相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步．资料显示，2021年，我国的GDP达到了17.7万亿美元，同期美国的GDP达到了23万亿美元，综合考虑多方面因素，将中国的GDP增速估计为6%，美国的GDP增速估计为2%，那么中国最有可能在（       ）年实现对美国GDP的超越．

参考数据：，

A．2024 B．2026 C．2028 D．2030

【答案】C

【分析】由题可得，进而可得，即得.

【详解】设中国最有可能在年后实现对美国GDP的超越，

则，即，

∴，

∴，

故中国最有可能在2028年实现对美国GDP的超越．

故选：C.

二、多选题

9．某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，B：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是（       ）

A．事件A中包括78种情况 B．

C． D．

【答案】BC

【分析】先确定甲的位置，然后将剩下的四个人进行排列即可求出事件A包含情况的种数，即可判断A；求出总事件的个数，再根据古典概型即可判断B；求出事件包含基本事件的个数，再根据古典概型即可判断C；根据条件概率公式即可判断D.

【详解】解：由学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，

则学生甲只能在中间3个出场，

所以事件A中包括种情况，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，

则，故D错误.

故选：BC.

10．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下面说法正确的是（       ）

A．数列为等比数列 B．

C．是等比数列 D．

【答案】AC

【分析】根据已知得出可判断A，求得，利用累加法可求出，即可判断BC，再分组求和即可判断D.

【详解】因为，所以，则是首项为，公比为2的等比数列，故A正确；

则，

所以

，故B错误；

，所以是等比数列，故C正确；

，故D错误.

故选：AC.

11．已知函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（       ）

A．是单调递增函数 B．图像是中心对称图形

C．， D．

【答案】ABD

【分析】对于A：利用导数直接求单调区间；

对于B：设存在对称中心为，则，求出为的一个对称中心，即可判断；

对于D：直接代入得到，由的值不含π，判断出.即可求解

对于C：直接求出.即可判断；

【详解】对于A：，所以是单调递增函数.故A正确；

对于B：设存在对称中心为，则，

所以，即对任意x都成立，

所以只需.不妨取，符合题意.

所以为的一个对称中心.故B正确；

对于D：因为，所以.

即.

因为的值不含π，所以只需： .

所以.故D正确；

对于C：数列为等差数列，且公差不为0，所以，解得：.故C错误.

故选：ABD

12．对于三次函数，若在处的切线与在处的切线重合，则下列命题中真命题的为（       ）

A． B． C．为奇函数 D．图象关于对称

【答案】BD

【分析】根据题意设出三次函数的解析式，由题意在上得，切线经过与得，对函数进行求导，把代入得

，再求出函数，由与得与，即可得到三次函数的解析式，即可判断选项A、B、C，在验证，即可判断选项D.

【详解】设三次函数

 在上

切线经过与，故切线斜率为

，

，

故选项A错误；

，故选项B正确；

，故选项C错误；

故图象关于对称，即选项D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知，，，则______．

【答案】

【分析】利用全概率公式即可求解.

【详解】因为，所以.

由全概率公式：.

故答案为：

14．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．

【答案】

【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求得.

【详解】因为为等差数列，所以，所以.

故答案为：

15．等比数列中，，，函数，则______．

【答案】

【分析】由已知求得，可得即可求出.

【详解】因为，，所以，所以（舍负），

设，则，

所以，

所以.

故答案为：.

16．若，，则______．

【答案】

【分析】分析可知，且，，构造函数，其中，分析函数在上的单调性，可得出，代入可得结果.

【详解】因为，可得，

由题意可知，，则，

当时，，不合乎题意，所以，，同理可知，

构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递增，

由可得，且，，

所以，，因为，则.

故答案为：.

四、解答题

17．设是等差数列，且，．

(1)求的通项公式；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；

（2）根据等比数列前项和的公式即可得解.

【详解】(1)解：设数列的公差为，

则，解得，

所以；

(2)解：因为，

所以.

18．已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若对，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）.

【分析】（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；

（2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，.由，得.

当变化时，，的变化情况如下表

所以在上单调递减，上单调递增，

所以函数的极小值为，无极大值.

（2）对，恒成立，即对，恒成立.

令，则.由得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，因此.

所以的取值范围是.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.

19．在数列中，已知．

(1)求数列通项公式；

(2)用数学归纳法证明：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据与的关系即可得出答案；

（2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证.

【详解】(1)解：当时，，

当时，，

当时，上式也成立，

所以；

(2)解：当时，，，

所以成立；

设当时，不等式成立，

即，

当时，

，

，

，

所以，

所以，

即当时，不等式也成立，

综上所述．

20．已知函数在上是增函数.

(1)求实数的取值集合；

(2)当取值集合中元素的最小值时，定义数列；满足，且，，求数列的通项公式；

(3)在（2）的条件下，若，求数列的前项和为．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值集合；

（2）推导出，可得知数列是等比数列，且首项和公比均为，进而可求得数列的通项公式；

（3）求得，利用错位相减法可求得.

【详解】(1)解：因为，则，

由题意可知，对任意的恒成立，则，

当时，，，即.

(2)解：由题意可知，则，，

数列满足，且，，

所以，，且，

所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，则，

因此，.

(3)解：，

所以，，

，

上述两个等式作差得，

因此，.

21．已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)证明： ①当时，函数有两个零点；

②当时，函数一个零点；请从①②中选择其一作答．

【答案】(1)答案见解析.

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出导函数，对a分类讨论，利用导数判断原函数的单调性.

（2）利用导数判断单调性，求出函数的极值，画出函数的草图，利用零点存在定理分别证明①、②.

【详解】(1)的定义域为R, .

i.当a≥-1时, .令,解得；令,解得.

所以的单增区间为,单减区间为.

ii.当时,令,解得：x=0或x=ln(-a-1).

（i）当ln(-a-1)=0,即a=-2时, ≥0,所以在(-∞,+∞)单增.

（ii）当ln(-a-1)>0,即a<-2时,由解得：；由解得：.所以的单增区间为,单减区为.

（iii）当ln(-a-1)<0,即-2<a<-1时,由解得：；由解得：.所以的单增区间为，的单减区间为.

(2)证明①：由（1）可知，当时，的单增区间为,单减区间为.

而.

当时，；当时，；

作出图象如图所示：

由零点存在定理可得：函数在和上各有一个零点，所以函数有两个零点.

证明②：由（1）可知，当时，的单增区间为，的单减区间为.

所以的极小值，的极大值.

令，则，所以在上单增.

因为，所以，所以.

而当时，.

所以作出图象如图所示：

所以当时，函数一个零点.

22．已知函数，其中.

(1)讨论函数在上的单调性；

(2)证明：.

【答案】(1)讨论过程见解析；

(2)证明过程见解析.

【分析】（1）对求导，再根据正负性分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；

（2）根据函数的单调性，运用累加法即可证明结论．

【详解】(1)，

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，对称轴为，，

当，即时，，则恒成立，所以在上单调递增；

当，即时，由，可得，，

可得当或时，，则，

当时，，则，

所以在，，上单调递增，在，上单调递减．

综上，当时在上单调递增；

当时，在，，上单调递增，在，上单调递减．

(2)当时，在上单调递增，

当且时，，

所以当且时，，

所以．

【点睛】关键点睛：根据函数的单调性，运用累和法进行求解是解题的关键.