2021-2022学年福建省宁德市同心顺联盟高二下学期期中联合考试数学试题含解析

2021-2022学年福建省宁德市同心顺联盟高二下学期期中联合考试数学试题

一、单选题

1．曲线在处的切线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导函数的几何意义求得切线斜率，代入得到函数值，根据点斜式方程写出切线方程即可.

【详解】由题，，则，

当时，，

所以切线方程为：，即，

故选：B

2．一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系是，则在时的瞬时速度为（       ）

A．1 B．3 C．－2 D．2

【答案】D

【分析】利用导数的物理意义可直接求导得到结果.

【详解】由得：，

当时，，

即物体在时的瞬时速度为2.

故选：D.

3．向量，，若，则的值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】由可得，进而求解即可.

【详解】因为，所以，

即，所以，

所以，

故选：A

4．函数的减区间是（       ）

A．， B．

C． D．

【答案】C

【分析】对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间．

【详解】函数的定义域为，求导得，

令，，，

因此函数的减区间为.

故选：C.

5．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】异面直线的夹角在中，结合求解即可.

【详解】由题，，，

则，

故选：B

6．若函数在内有极大值，则a的取值范围（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数讨论函数的单调性，进而得出函数的极值点，根据题意，结合图象即可得a的取值范围.

【详解】由，得，

令或，令，

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

且，如图，

由图可知函数在处取得极大值，在处取得极小值，

又函数在内有极大值，

故.

故选：A.

7．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.

【详解】由题意得，.

故选：D

8．已知对任意恒成立，则a的最小值为（       ）

A． B． C． D．0

【答案】C

【分析】转化问题为对任意恒成立，利用导函数求得的最大值，即可求解.

【详解】由题，因为对任意恒成立，，

所以对任意恒成立，

设，则，

所以时，，当时，，

则在上递增，在上递减，

所以，

即，

所以的最小值为，

故选：C

二、多选题

9．如图正四棱柱，则下列向量相等的是（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】CD

【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.

【详解】由正四棱柱可知，

A：，但与方向相反，故A不符题意；

B：，但与方向不同，故B不符题意；

C：，且与方向相同，故C符题意；

D：，且与方向相同，故D符题意.

故选：CD.

10．下列求导运算正确的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解.

【详解】解：对A：，故选项A错误；

对B：，故选项B正确；

对C：，故选项C正确；

对D：，故选项D错误.

故选：BC.

11．已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（       ）

A．在区间和上，函数均是减函数

B．为函数的零点

C．为函数的极小值点

D．为函数的最大值

【答案】AC

【分析】分别在每一段区间上讨论的正负，由此可得的正负，从而得到单调性；结合极值点、零点和最值的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，当时，，又，；

当时，，又，；

在和上均为减函数，A正确；

对于B，根据图象可知是的零点，但无法确定，B错误；

对于C，由A知：在上为减函数；

当时，，又，；

在上单调递增，又，，

是的极小值点，C正确；

对于D，当时，，又，；

在上单调递减，又在上单调递增，

是的极大值，无法确定是最大值，D错误.

故选：AC.

12．以下说法正确的有（       ）

A．对，且，就一定有A，B，C，D四点共面；

B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底；

C．若，，则；

D．正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上．

【答案】ACD

【分析】根据向量的基本定理即可判断.

【详解】对于A，若 与 不共线，则可以将 与看作一组基底，

由向量的基本定理可知 与 ，共面，即A，B，C，D在一个平面内；

若 与 共线，则 ， ，

即A，D，B在同一直线上，故A，B，C，D也在一个平面内；

故A正确；

对于B， ，即 与 共面，故B错误；

对于C，如下图：

，

，

故C正确；

对于D，由图可知， ，

， ， ，

显然， ， 与 共面，即E在平面 上，

故D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．设曲线在点处的切线与直线平行，则a等于______．

【答案】－1

【分析】根据导函数的几何意义可知即为在点处的切线斜率，直线的斜率为，切线与该直线平行，即斜率相等，故可求解.

【详解】由题，，则，

因为曲线在点处的切线与直线平行，

所以，即，

故答案为：

14．若向量，，，且、、共面，则______．

【答案】

【分析】设，可得出关于、、的方程组，即可解得的值.

【详解】因为、、共面，设，其中、，

所以，，解得.

故答案为：.

15．已知空间三点，，，则与的夹角的大小是______．

【答案】

【分析】由数量积公式得出与的夹角.

【详解】因为，，所以

所以，

所以

因为，所以

故答案为：

16．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是______．

【答案】

【分析】先求导，令，两个根为，，由题可知极大值点为，即可求解.

【详解】由题，，

令，则，，

因为在区间上的最大值就是函数的极大值，

所以极大值点为，所以，即，

故答案为：

四、解答题

17．已知函数在与处有极值．

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数在点处的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据极值点的概念和导数的运算法则列出关于a、b的方程组，解之即可；

(2)直接利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可得出结果.

【详解】(1)∵，∴

依题意有；

(2)由（1）可知，，

得，，

故函数在点处的切线方程为

18．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．

(1)用，，表示并求BM的长；

(2)求点A到直线BM的距离．

【答案】(1)，BM的长为．

(2)2

【分析】(1)根据空间向量的基本定理可得，利用空间向量的几何意义，等式两边同时平方，计算即可；

(2)由(1)可得，进而可得，即为点A到直线BM的距离.

【详解】(1)

又，，，

故BM的长为．

(2)由（1）知，，

∴，

所以，则为点A到直线BM的距离，

又，故点A到直线BM的距离为2．

19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

【答案】(1)，；

(2)当隔热层修建cm厚时，总费用达到最小值为万元．

【分析】（1）根据给定条件，求出k值，再列出函数的表达式作答.

（2）利用导数求出（1）中函数的最小值即可作答.

【详解】(1)隔热层厚度xcm，依题意，每年能源消耗费用为，由，得，

因此，而建造费用为，

则隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为，

所以.

(2)由（1）知，，令，即，而，解得，

当时，，当时，，即在上递减，在上递增，

则当时，取最小值．

所以当隔热层修建cm厚时，总费用达到最小值为万元．

20．在棱长为2的正方体中，E、F分别是与的中点．

(1)求AD与截面所成角的正弦值；

(2)求点D到截面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出的坐标和平面的法向量，结合数量积的定义计算即可；

(2)结合(1)，利用空间向量法直接求出点到面的距离.

【详解】(1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，有，

得，令，得，

所以平面的一个法向量为，

设AD与截面所成角为，则，

所以AD与截面所成角正弦值为；

(2)由（1）知，平面的一个法向量为，

所以点D到截面的距离．

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面ABCD，，，．

(1)建立空间坐标系，写出平面PCD的一个法向量的坐标；

(2)若PB与平面ABCD所成角为30°，求二面角的余弦值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】(1)根据题意和线面垂直的判定定理与性质可建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出平面PCD的法向量；

(2)根据空间直角坐标系，利用向量法求出平面PAC的法向量，结合(1)可知平面PCD的法向量，根据向量数量积的定义计算即可得出结果.

【详解】(1)解法1：在底面ABCD内，过D作于E，

∵ABCD为平行四边形，∴，

又∵平面ABCD，∴，，

以D为坐标原点，DE，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，则平面PCD的一个法向量为；

解法2：在△ADB内，有，，，

所以，

故，∴，

又∵平面ABCD，∴，，

以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，

，，∴，，

设平面PCD的法向量，

则，

令，得，，

所以平面PCD的一个法向量的坐标为；

(2)解法1：在Rt△ADE内，有，，故，，

∵平面ABCD，∴是PB与平面ABCD的一个平面角，

又PB与平面ABCD所成角为30°，∴，又，∴，

如(1)中解法1所建坐标系，有，，，

有，，设平面PAC的一个法向量，

由，有，取，

故，又由(1)知平面PCD的一个法向量为，

设二面角为，所以，

又二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

解法2：∵平面ABCD，∴是PB与平面ABCD的一个平面角，

又PB与平面ABCD所成角为30°，∴，∴，

如(1)中解法2所建坐标系，有，，，

有，，设平面PAC的一个法向量，

由，取，有

又由（1）知平面PCD的一个法向量为，

设二面角为，所以，

又二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

22．已知函数．

(1)求的最小值；

(2)若对所有，都有，求实数a的取值范围；

(3)若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数b的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3) 或

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负判断函数的单调性，求得最值；

（2）将不等式分离参数即变为恒成立，构造函数，利用求导求得函数的最大值，可得答案；

（3）将关于x的方程有且只有一个实数根，变为和在上有且只有一个交点的问题，数形结合，求得答案.

【详解】(1)的定义域是，，令，得，

当时，有，当时，有，

故在上单调递减，在上单调递增，

故．

(2)∵，对所有，都有，

等价于恒成立，等价于恒成立，

令，则；

∵，∴当时，有，

∴在上单调递增，∴，

∴，即实数a的取值范围为；

(3)若关于x的方程有且只有一个实数根，

即和在上有且只有一个交点，

由（1）知在上单调递减且，在上单调递增，

当时，，在时，，当时，，

，

作出函数的大致图象：

故当或时，满足和在上有且只有一个交点，

即若关于x的方程有且只有一个实数根，则或．

即实数b的取值范围为 或.