2021-2022学年河南省商开大联考高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年河南省商开大联考高二下学期期中考试数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省商开大联考高二下学期期中考试数学（理）试题
一、单选题
1．开封教育局的小王准备在今年的五月一日上午乘坐汽车或火车到商丘进行调研，已知该天上午从开封开往商丘的汽车有4个班次，火车有7个班次，那么他不同的乘坐班次有（       ）
A．2个 B．3个 C．11个 D．28个
【答案】C
【分析】根据分类加法原理求解即可.
【详解】解：根据分类加法计数原理，不同的乘坐班次有4＋7＝11个．
故选：C．
2．已知i是虚数单位，复数z满足zi＝1－i，则z的共轭复数是（       ）
A．－1＋i B．－1－i C．1－i D．
【答案】A
【分析】先求出复数z，再求其共轭复数.
【详解】因为zi＝1－i，所以，所以z的共轭复数是－1＋i．
故选：A．
3．某学校的体育器材室堆放了若干个铅球，这堆铅球从上向下看，第一层有1个铅球，第二层有3个铅球，第三层有6个铅球，…，这些铅球堆成三角锥形的堆垛，故也称为三角垛．如果这个三角垛共八层，则最下面一层铅球的个数是（       ）

A．120 B．60 C．36 D．28
【答案】C
【分析】根据给出的图形，找到各层球的数列与层数的关系得到，进而求出.
【详解】第n层的铅球数为，所以．
故选：C．
4．在的展开式中，常数项为（       ）
A．－60 B．60 C．－240 D．240
【答案】B
【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，即可求得答案.
【详解】展开式的通项是，
令 ，解得 ，
所以常数项为,
故选：B．
5．设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（       ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据某项试验的成功率是失败率的3倍，结合，即可求得答案.
【详解】由已知得的所有可能取值为0，1，且，
代入，得，
所以，
故选:D．
6．某品牌厂商推出新款产品，并在某地区跟踪调查得到这款产品的上市时间x（月）与市场占有率y%的几组相关对应数据如表所示，由此得到回归方程，给出下列结论：
① ；②变量x与y是正相关关系；③ ；④预计上市14个月时该款产品市场占有率能超过0.5%．
x
1
2
3
4
5
y
0.02
0.05
m
0.15
0.18
其中正确结论的个数是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】求得样本中心点，结合回归方程，求得m的值，判断①③；根据回归方程的系数判断②；令，求得x的范围，判断④.
【详解】因为，，
所以，解得，所以①正确，③错误；
在回归方程中，，所以变量x与y是正相关关系，②正确；
又由，解得，所以④正确，故正确的结论个数是3,
故选:D．
7．已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（       ）

1
2
3
4
P


a
b
A．12 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由分布列的性质可得，利用结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】根据分布列的性质知，．且，
所以，
当且仅当时等号成立,
故选:B．
8．根据教育部的规定，从2021年9月1日以来，全国各地的中小学都开展了课后延时服务．各个学校都及时安排老师参加课后延时服务工作，学校要求张老师在每个星期的周一至周五要有三天参加课后延时服务．若张老师周五一定参加课后延时服务，则他周四也参加课后延时服务的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，利用古典概型求出，和的值，再根据条件概率公式，即可求出结果.
【详解】设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，则，，故．
故选:A．
9．一枚骰子掷两次，甲表示事件“第一次掷出的点数是2”，乙表示事件“第二次掷出的点数是3”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是5”，丁表示事件“两次掷出的点数相同”，则（       ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件的乘法公式，结合题意，逐一判断即可.
【详解】根据题意可得：，，，，
又，
，
，
．
故选：B．
10．2022年春节期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去开封龙亭湖西畔的——中国翰园碑林游玩，他们在翰园碑林入口处站成一排拍照留影，则下列说法错误的是（       ）
A．如果李阳和他的妹妹都站在两端，则这4人有4种不同的站法
B．如果李阳的父母相邻，则这4人有12种不同的站法
C．如果李阳和他的妹妹不相邻，则这4人有12种不同的站法
D．如果李阳站在两端他的妹妹不站在两端，则这4人有6种不同的站法
【答案】D
【分析】根据相邻问题捆绑法与不相邻问题插空法以及特殊元素法与特殊位置法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A，如果李阳和他的妹妹都站在两端有种站法，李阳的父母有种站法，所以共有种不同的站法，A正确；
对于B，如果要求李阳的父母相邻，他的父母先站好有种方法，然后将其看成一个人再与李阳以及李阳的妹妹站成一排有种排法，所以共有种不同的站法，故B正确；
对于C，李阳的父母先站好有种排法并产生3个空挡，然后将李阳和他的妹妹插入这3个空挡，有种不同的插法，所以共有种不同的站法，故C正确；
对于D，可以考虑先排李阳有2种站法，再排他的妹妹有2种站法，最后排李阳的父母有种站法，共有种不同的站法，所以选项D错误．
故选：D．
11．甲、乙、丙三位同学被问是否去过开封、商丘、洛阳这三个城市时，甲说：这三个城市中我去过的城市比乙多，但没去过商丘；乙说：我没去过洛阳；丙说：我们三人去过同一个城市．如果这三位同学说的都是真话，那么可以判断乙去过的城市为（       ）
A．开封 B．商丘 C．洛阳 D．开封与商丘
【答案】A
【分析】依次分析乙、甲、丙的话，进行合情推理，可得出结论.
【详解】由乙说：我没去过洛阳，则乙可能去过开封或商丘，可排除选项C，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过商丘，所以甲去过两个城市：开封与洛阳，
乙只去过开封与商丘中的一个城市．
再由丙说：我们三人去过同一城市，以及乙没去过洛阳，甲没去过商丘，
可知三人去过的同一城市只能是开封，由此可判断乙去过的城市为开封．
故选：A．
12．某高级中学将2022年获得省级表彰的6个三好学生的名额分给本校高三年级的4个班级，则这4个班级中每个班级至少获得一个三好学生名额的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将6个名额随机分配给高三年级4个班级，分4种情况①0个，0个，0个，6个，②0个，0个，1个，5个或者0个，0个，2个，4个，或者0个，0个，3个，3个③0个，1个，1个，4个名额，或者0个，1个，2个，3个，或者0个，2个，2个，2个，④1个，1个，1个，3个，或者1个，1个，2个，2个，再利用古典概型的概率求解.
【详解】将6个名额随机分配给高三年级4个班级，一共会出现以下4种情况：
①6个名额分到1个班，4个班级分别获得0个，0个，0个，6个名额，共有种分配方案；
②6个名额分到2个班，4个班级分别获得0个，0个，1个，5个名额，或者获得0个，0个，2个，4个名额，或者获得0个，0个，3个，3个名额，共有种分配方案；
③6个名额分到3个班，4个班级分别获得0个，1个，1个，4个名额，或者获得0个，1个，2个，3个名额，或者获得0个，2个，2个，2个名额，共有种分配方案；
④6个名额分到4个班，4个班级分别获得1个，1个，1个，3个名额，或者获得1个，1个，2个，2个名额，共有种分配方案；
所以6个名额随机分配给高三年级4个班级，一共出现4＋30＋40＋10＝84种分配方案，
其中这4个班级中每个班级至少获得一个三好学生名额有10种分配方案，
所以每个班级至少获得一个三好学生名额的概率．
故选：B．
二、填空题
13．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值是______．
【答案】1
【分析】根据复数的除法运算化简，根据纯虚数的概念得到 且，求得答案.
【详解】由题意得，
复数为纯虚数，所以 且，解得 ，
故答案为：1
14．设随机变量服从正态分布，若，则______．
【答案】0.35
【分析】根据正态曲线的对称性，即可求得答案。
【详解】由于服从正态分布，所以正态曲线关于直线 对称，
所以,
故答案为：0.35
15．2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表：

了解
不了解
总计
年龄不小于60岁
a
b
a＋b
年龄小于60岁
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
给出下列4组数据：
① ；② ；
③ ；④ ．
则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是______．（填序号）
【答案】③
【分析】根据当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大，计算每组的值，比较大小可得答案。
【详解】当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大，
在①中，，在②中，，在③中，，在④中，,
故居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是③,
故答案为：③
16．为了备战河南省中学生排球赛，商丘市的中学生男排甲、乙两队进行了预选赛，由获胜的一方代表商丘市中学生男排参加河南省中学生男排赛．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则乙队代表商丘市中学生男排参加河南省中学生男排赛的概率为______．
【答案】
【分析】按比赛总场的次数讨论如下：①总共比赛三场时，②总共比赛四场时，③总共比赛五场时，分别求概率，即可求出乙队获胜的概率．
【详解】按比赛总场的次数讨论如下：①总共比赛三场时，乙队三场都获胜概率为；②总共比赛四场时，则乙队在前三场中胜两场败一场，第四场乙队获胜，则此种情况下乙队获胜的概率为；③总共比赛五场时，则乙队在前四场中胜两场败两场，第五场乙队获胜，则此种情况下乙队获胜的概率为；所以乙队获胜的概率为．
故答案为：
三、解答题
17．已知复数z满足，其中i是虚数单位，a为实数．
(1)若，求实数a的值；
(2)若复数对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据方程求出，然后利用复数的模长公式，解出即可；
（2）首先求出，然后根据复数对应的点所在象限列出不等式，求出的范围.
【详解】(1)由，得，所以 ．
因为a是实数，所以，
所以，解得或．
(2)由（1）得，
因为复数对应的点在第四象限，且a是实数，所以
解得，所以实数a的取值范围是．
18．某学校高二年级有女生1800人，男生1200人，为了解学生上学期课外阅读时间，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“女生”和“男生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为，，，，共5组，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值，并求出这100名学生中，阅读时间不小于30小时的男、女生的人数；
(2)完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为阅读时间是否小于30小时与学生的性别有关？

男
女
合计
阅读时间不小于30小时



阅读时间小于30小时



合计


100
参考公式：．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】(1)a＝0.030，女生15人，男生14人
(2)表格见解析，没有90%的把握认为阅读时间是否小于30小时与学生的性别有关
【分析】（1）由频率分布直方图的性质，解得a＝0.030．根据分层抽样求出抽取的女生和男生人数，即可求出女生和男生阅读时间不小于30小时的学生；
（2）进行数据分析，完善2×2列联表，套公式计算，对照参数下结论.
【详解】(1)由频率分布直方图的性质，得，解得a＝0.030．
由分层抽样可知：抽取的女生有60名，男生有40名，
因为女生阅读时间不小于30小时的学生的频率为，
所以女生阅读时间不小于30小时的学生有人．
同理，男生阅读时间不小于30小时的学生的频率为，
所以男生阅读时间不小于30小时的学生有人．
(2)2×2列联表如下：

男
女
合计
阅读时间不小于30小时
14
15
29
阅读时间小于30小时
26
45
71
合计
40
60
100
，
因为，
所以没有90%的把握认为阅读时间是否小于30小时与学生的性别有关．
19．经过全党全国各族人民的共同努力，在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国的脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！2022年元月份大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对某村居民从2016~2021年每年的人均收入进行了细致地调查，获得该村居民的年人均收入y（百元）和年份代码x的数据如表所示，并发现y与x之间存在线性相关关系．
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
6
年人均收入y（百元）
16
44
76
127
162
197
(1)利用2016~2020年的相关数据，求y关于x的线性回归方程；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与表中剩下的实际数据的误差不超过60元，则认为所得到的线性回归方程是理想可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否理想可靠？若可靠，求出该村2022年的年人均收入的估计值；若不可靠，请说明理由．
参考公式：回归直线方程中，，．
参考数据：，．
【答案】(1)
(2)可靠，235百元
【分析】（1）先计算，，再由参考公式及参考数据计算回归方程即可；
（2）直接代入x＝6计算和实际数据比较即可得到可靠，代入x＝7即可计算2022年的年人均收入的估计值.
【详解】(1)因为，，
所以，
则，
所以y关于x的线性回归方程为；
(2)当x＝6时，百元．
则，
所以可以认为（1）中所得到的线性回归方程是理想可靠的．
当x＝7时，百元．
所以该村2022年的年人均收入约为235百元．
20．在无穷数列中，若存在，对于中的任意一项，都有成立，则称数列为A数列，m称为该A数列的特征值．
(1)若无穷数列是首项与公差都是1的等差数列，那么数列是否为A数列？若是，求出该数列的特征值；若不是，请说明理由；
(2)若数列是特征值为3的A数列，且，用数学归纳法证明：对任意且，不等式恒成立．
【答案】(1)数列为A数列，其特征值为2；
(2)证明见解析
【分析】（1）首先写出等差数列的通项公式，然后根据特征值的定义列出等式，进而从等式恒成立的角度求出特征值即可；
（2）根据已知条件写出，然后按照数学归纳法的证明步骤进行证明.
【详解】(1)因为是首项与公差都是1的等差数列，
所以．
假设数列为A数列，则，恒成立，
得，即恒成立，
所以 所以，
所以数列为A数列，其特征值为2．
(2)证明：因为是特征值为3的A数列，且，
所以对于中的任意一项，都有成立．
下用数学归纳法证明：对任意且，不等式恒成立．
①当时，，即，
所以时结论成立．
②假设当时，不等式成立，
所以，
所以，即，
所以时结论也成立．
由①②可知，对任意且，不等式恒成立．
21．单板滑雪U型池比赛是2022年北京冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙两人在2021年A赛季中单板滑雪U型池成绩如下表：
分站
运动员甲的三次滑行成绩
运动员乙的三次滑行成绩
第1次
第2次
第3次
第1次
第2次
第3次
第1站
80.20
85.00
83.03
80.11
88.00
79.02
第2站
82.13
86.31
89.00
79.32
81.22
88.00
第3站
79.10
80.01
87.00
88.50
75.36
87.10
第4站
84.02
91.00
86.71
75.13
88.00
81.01
第5站
80.02
79.36
88.00
85.40
86.04
87.50
假设甲、乙两人每次比赛成绩相互独立．
(1)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；
(2)请从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，并说明你的理由（言之有理即可）；
(3)根据大数据分析得知，如果让运动员甲参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，他在北京冬奥会单板滑雪U型池比赛的成绩X近似服从正态分布，其中、可用他在2021年A赛季中单板滑雪U型池的平均成绩与方差近似代替，求运动员甲参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛的成绩在86分~92分的概率．
附：①若随机变量X服从正态分布，则，，．
②方差，其中为，，…，的平均数．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)答案见解析
(3)0.8186
【分析】（1）首先确定第2站、第4站以及第5站甲的成绩高于乙的成绩，确定X的可能取的值为0，1，2，再利用超几何分布求概率，列出分布列，计算期望；
（2）方案一，推荐甲，根据任意1站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩的概率，以及5站成绩的均值和最值，或是利用0-1分布，计算期望和方差，比较后进行推荐；方案二，根据5站比赛的期望和方差，比较后推荐乙；
（3）首先计算和，再利用正态分布的对称性和数据，即可计算概率.
【详解】(1)运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：85.00、89.00、87.00、91.00、88.00；运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：88.00、88.00、88.50、88.00、87.50，
其中第2站、第4站以及第5站甲的成绩高于乙的成绩，
所以X的可能取的值为0，1，2．
则，，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



．
(2)从甲、乙两人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，有如下的推荐方案与理由：
方案一：推荐甲．理由如下：
①从2021年该赛季前5站的成绩可以看出：任意1站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩的概率为，甲的成绩不高于该站运动员乙的成绩的概率为，因为，所以甲的成绩好于乙的成绩的可能性大．所以推荐甲．
②甲5站的平均成绩为：，
乙5站的平均成绩为：，
甲、乙5站的平均成绩虽然相同，但是甲成绩的最大值为91，中位数为88.00，乙成绩的最大值为88.50，中位数为88.00，
所以甲具有较强的爆发力，其成绩会比乙的更好．故推荐甲．
③我们用“”表示任意1站运动员甲的成绩高于乙的成绩．用“”表示任意1站运动员甲的成绩不高于乙的成绩，则，，
，；
再用“”表示任意1站运动员乙的成绩高于甲的成绩，用“”表示任意1站运动员乙的成绩不高于甲的成绩，则，，
，，
因为，，所以甲的成绩好于乙的成绩．所以推荐甲．
方案二：推荐乙，理由如下：
甲5站的平均成绩为：，
乙5站的平均成绩为：，
甲5站成绩方差为：
，
乙5站成绩方差为：
，
说明甲乙两人水平相当，表明乙的发挥比甲的更稳定，所以预测乙的成绩会更好．所以推荐乙．
(3)甲在2021年A赛季单板滑雪U型池的平均成绩为：，
．
所以，，所以，
．
所以运动员甲参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛的成绩在86分~92分的概率是0.8186．
说明：本题的第（2）小题考生只要给出解答中列举的四个推荐理由中的任意一个即可得2分，没有说明理由或者理由不恰当的不给分．
22．一项比赛的预选赛由n道题目组成，小李同学答对每道题目的概率都是，且各题是否答对相互独立．
(1)若n道题目全部作答，记X为小李同学答对的题目个数，若X的数学期望，求n的值；
(2)若比赛要求参赛队员按题目顺序逐一作答，并且只要答对一个题目，就可以获得参加复赛的资格；否则继续作答，直到将所有题目全部答完，预选赛结束．记Y为小李同学答错的题目数，若Y的数学期望为，求证：．
【答案】(1)8
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意知，，然后根据二项分布的期望公式列方程求解即可，
（2）由题意知，Y的可能取值有0，1，2，3，…，n，然后求出对应的概率，从而可表示出，再利用错位相减法可求出，利用放缩法可证得结论
【详解】(1)由题意知，，
则，
解得n＝8．
(2)证明：由题意知，Y的可能取值有0，1，2，3，…，n．
则，
，，
…
，，
所以，
，
两式相减，得
所以，
所以．
因为，所以，即．