2021-2022学年吉林省长春市第八中学高二下学期5月（月考）线上考试数学试题含解析

2021-2022学年吉林省长春市第八中学高二下学期5月（月考）线上考试数学试题

一、单选题

1．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量的观测值最小的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直接由等高条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小判断即可.

【详解】等高的条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小.

故选：B.

2．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3，离心率为，则以双曲线C的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离求得，结合离心率求得，从而求得抛物线的标准方程.

【详解】双曲线的右焦点到渐近线的距离为，

离心率，

，

所以双曲线的右顶点为，

对于抛物线，，

所以抛物线方程为.

故选：C

3．设为数列的前n项和．若，则（       ）

A．48 B．81 C．96 D．243

【答案】A

【分析】根据，作差得到是以3为首项，以2为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再代入计算可得.

【详解】解：由，当时，即，

当时，，

则，即 ．

数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，

则，

．

故选：A．

4．相关变量x，y的散点图如图，若剔除点，根据剩下数据得到的统计量中，较剔除前数值变大的是（       ）

A．r B． C． D．

【答案】B

【分析】由散点图可知，剔除点后相关性更强，依次判断4个选项即可.

【详解】由散点图可知，负相关，剔除点后，相关性更强，故更接近，变小，A错误；

相关指数变大，残差平方和变小，B正确，D错误；变小，C错误.

故选：B.

5．从1，2，3，4，5，6，7中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数之和为3的倍数”，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】记事件为“取到的2个数之和为偶数”，事件为“取到的2个数之和为3的倍数”，计算出，，则，由此能求出结果．

【详解】从1，2，3，4，5,6，7中任取2个不同的数，

记事件为“取到的2个数之和为偶数”，

事件为“取到的2个数之和为3的倍数”，

则，

，

则．

故选：．

6．园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（       ）

A．144种 B．120种 C．96种 D．72种

【答案】C

【分析】按照的顺序分步考虑可能性，再相乘即可.

【详解】先考虑A区有4种可供选择，再考虑B区有3种，D区有2种，E区有2种，C区有2种，

由分步乘法计数原理得共有种.

故选：C.

7．若，，，则a，b，c的大小关系（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数与对数的关系得到，再根据对数函数的性质得到，，即可判断；

【详解】解：由，所以，

又，即；

又，，所以，即，所以，即，

，即，

，即，

又，，所以，即，所以，即，

综上可得，

故选：A

8．已知以原点为中心、公共焦点、在轴上的椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，，且二者的离心率满足，．在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（       ）

（附：，则，，）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设，利用椭圆、双曲线的定义结合余弦定理可求得、的值，可求得、的值，利用原则求出阴影部分区域的面积，再乘以可得结果.

【详解】设椭圆、双曲线的左、右焦点分别为、，

设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设，

由椭圆和双曲线的定义可得，解得，

由余弦定理可得，

所以，，所以，，

又因为，，，解得，，

所以，，，所以，，

图中阴影部分的面积为

，

因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．直线必过定点

B．直线在y轴上的截距为2

C．直线的倾斜角为60°

D．过点且平行于直线的直线方程为

【答案】AC

【分析】将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；

【详解】解：对于A，，即，

令，即，所以直线必过定点，故A正确；

对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；

对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；

对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，

故选：AC．

10．记为等差数列的前n项和．已知，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由已知条件列方程组求出，从而可求出其通项公式和求和公式

【详解】设等差数列的公差为，

因为，，

所以，即，

解得，

所以，

，

故选：BD

11．下列各式正确的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；

【详解】解：对于A：，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：AD

12．已知展开式的二项式系数和为64，离散型随机变量，则下列命题中正确的有（       ）

A．

B．当时，取得最大值

C．当时，

D．的最小值为0

【答案】BC

【分析】由二项式系数和即可判断A选项；由二项分布的方差公式即可判断B选项；由二项分布概率公式及条件概率即可判断C选项；由及期望方差公式即可判断D选项.

【详解】由二项式系数和为64，可得，故，A错误；

，当时，取得最大值，B正确；

且，

，故，C正确；

由，

则，，

，故，

故时，取最小值，D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______．

【答案】

【分析】联立两直线方程，求出方程的解，即可求出焦点坐标，设所求方程为，代入交点坐标，即可求出参数的值，从而得解；

【详解】解：由，解得，即直线和的交点坐标为，

设与直线垂直的直线方程为，则，解得，

所以直线方程为；

故答案为：

14．若展开式中的第6项是二项系数最大的项，则n的所有可能取值之和为_______．

【答案】30

【分析】分只有第6项最大，第5项和第6项最大，第6项和第7项最大依次求出的值，即可求解.

【详解】若只有第6项是二项系数最大的项，即最大，则；若第5项和第6项是二项系数最大的项，即最大，则；

若第6项和第7项是二项系数最大的项，即最大，则；故n的所有可能取值之和为.

故答案为：.

15．已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．

【答案】

【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据，求出参数，再根据焦点弦公式计算可得；

【详解】解：依题意显然直线的斜率存在，设直线为，，，

由，消去整理得

当时，显然不成立．

当时，，

又得，解得，

当时直线，

又焦点满足直线．

所以，

又，

．

故答案为：

16．若函数的图象在点处的切线也与函数的图象相切，则实数k的值为_______（其中e为自然对数的底数）．

【答案】

【分析】先求导求出点处的切线斜率，写出切线方程，再设出函数上的切点，表示出切线方程，由两条切线对应系数相等，解方程即可.

【详解】由得，则点处的切线斜率为，切线方程为，即；

由函数得，设切点为，则切线斜率为，故切线方程为，

即，则，解得，故.

故答案为：.

四、解答题

17．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：

(1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出y关于x的经验回归方程；

(2)试预测加工8个零件需要多少时间？

参考公式：，.

【答案】(1)

(2)小时

【分析】（1）由表格数据求出，，，，即可求出，，从而得到回归直线方程；

（2）将代入回归直线方程，即可求出预测值；

【详解】(1)解：由表中数据得：，

，，，

，

，

．

(2)解：将代入回归直线方程，得（小时）．

预测加工个零件需要小时．

18．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了80名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到频率分布直方图：

(1)求a的值；

(2)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的成绩的众数n、中位数m、平均数（每组成绩用中间值代替）；

(3)现将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取9人，用X表示其成绩在中的人数，求X数学期望及方差．

【答案】(1)；

(2)，，；

(3)期望为3，方差为2

【分析】（1）直接由频率和为1，即可求出a的值；

（2）按照频率分布直方图众数、中位数、平均数的求法依次求解即可；

（3）先求出在80分及以上的学生中抽取一人其成绩在的概率，判断出服从二项分布，再由公式计算期望方差即可.

【详解】(1)，解得；

(2)众数，由，知中位数位于中，

则，解得，

平均数；

(3)在80分及以上的学生中抽取一人其成绩在的概率为，抽取9人时，，

故其期望为，方差.

19．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为．若将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，且每个盒子都不空的放法有种，而从这9个数字中取三个互不相邻的数字有种方法．求：

(1)数列及数列的通项公式；

(2)数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先计算得到公差与公比，种放法为先从4个不同的小球中选出2个作为一组，再将3组全排列；种方法为将3个数字插入剩余6个数字中，即可不相邻；再根据通项公式求出，，即可求解；

（2）由（1）可设，利用错位相减法即可求解.

【详解】(1)由题，公差，公比，

则，，

所以，解得，

所以，.

(2)由（1），设，

则，

所以，

作差可得，

，

所以.

20．已知，椭圆的右焦点为F，上、下顶点分别为M、N．

(1)求椭圆C的标准方程及以线段MF为直径的圆P的标准方程；

(2)求过点N与圆P相切的直线的方程．

【答案】(1)椭圆，圆P的标准方程；

(2)或.

【分析】（1）先由二项展开式求得，即可求得椭圆C的标准方程，求出M、F的坐标，求出圆心及半径，即可求得圆P的标准方程；

（2）斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设出直线方程，由求出斜率即可.

【详解】(1)由，则，

，故椭圆，则上顶点，，右焦点，

故圆P的圆心，半径，故圆P的标准方程；

(2)由（1）知：下顶点，圆心(1,1)，

当斜率不存在时，直线方程为，与圆P不相切，不合题意；

当斜率存在时，设直线为，则，解得或，即直线方程为或.

21．某统计平台对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）

(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？

(2)若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在被调查的人中选取8人，现从选中的这8人中随机选取3人，求这3人中年龄在的人数X的概率分布列及X的数学期望．

参考公式及数据：

【答案】(1)列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”；

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）直接填出列联表，计算，和6.635比较即可；

（2）先按照分层抽样计算人数，再分别计算X为0，1，2的概率，列出分布列，计算期望即可.

【详解】(1)列联表如下：

计算观测值，

故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”.

(2)、、三个年龄段的人数比为，故抽取人数依次为4，2，2人，故X的取值为0，1，2，

则，，，分布列如下：

故X的数学期望.

22．已知函数．

(1)求的单调区间及极值；

(2)若不等式对恒成立，且，求实数a的最小值（其中e为自然对数的底数）．

【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间，极小值

(2)

【分析】（1）分别由，，得出单调递减区间， 单调递增区间，极值点即可；

（2），设，通过导数法讨论单调性，进而得到，进而可求答案

【详解】(1)由得，故的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为

(2)，令，则为减函数，，，故存在点，令，即，即 ， 设，则，即，即，

因为，所以．