2021-2022学年江西省南昌市第十中学高二下学期第二次月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年江西省南昌市第十中学高二下学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知下列问题:

①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;

②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;

③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母;

④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.

其中是排列问题的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据排列的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题；

②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题；

③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题；

④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题.

故选：B.

2．在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（       ）

A．3 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可；

【详解】解：依题意，即，所以，解得

故选：D

3．安排五名同学在周一到周五值日，每人一天，则其中甲、乙两名同学不排在相邻两天的排法共有（       ）种．

A．36 B．72 C．144 D．288

【答案】B

【分析】利用“插空法”即可得结果.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①将除甲乙之外的三人全排列，有种情况，

②三人排好后有4个空位可选，在其中任选2个，安排甲乙，有种情况，

则甲乙两名同学不排在相邻两天的排法有种；

故选：B．

4．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.

【详解】由题意得，.

故选：D

5．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出辅助线，找到异面直线与所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.

【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为

，

由勾股定理得：，，

∴．

故选：C．

6．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出，由已知条件可得出，进而可求得、、的值，由此可求得结果．

【详解】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，

为的重心，可得，

而，

，

所以，，

所以，，因此，．

故选：C

7．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（       ）

A．120种 B．32种 C．24种 D．16种

【答案】D

【分析】红色在中间，先考虑红色左边的情况，再考虑右边，进而求出答案.

【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色，

先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有种选法，

再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有种选法，

综上：一共有摆放方法=16种.

故选：D

8．如图，在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为（       ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】根据向量数量积的应用，由以及模的计算公式即可求出．

【详解】因为，所以

．

故的长为．

故选：D．

【点睛】本题主要考查利用向量的数量积计算线段的长度，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

9．西部某县委将位大学生志愿者（男女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多人,则不同的分配方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【详解】试题分析：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有种;第二类有种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.

【解析】排列组合的综合应用．

10．在长方体中，分别是棱的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行， 则的最小值为（       ）

A． B．25 C． D．

【答案】A

【分析】首先补全截面为截面，然后证明平面//平面，从而得到M的轨迹是直线AC；根据向量的运算把所求转化为，从而得出当位于点时，取最小值.

【详解】连接，交于点，连接，交于点，补全截面为截面，其中分别为的中点，，

所以，

所以平面//平面，所以M的轨迹是直线AC，

,

当位于点时，的值最小，且最小为，

所以.

故选：A.

二、填空题

11．已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．

【答案】

【分析】依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，所以向量的坐标为.

【详解】解：依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，即，

所以向量的坐标为．

故填：．

【点睛】本题考查了空间向量的中点坐标公式，空间向量的坐标．属于基础题．

12．已知一组数据确定的回归直线方程为，且，发现两组数据，误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为，当时，____________.

【答案】5

【详解】分析：由题意求出样本中心点，然后求出新数据的样本中心，利用回归直线的斜率估计值为，求出新的回归方程，然后再计算时的值．

详解：∵一组数据确定的回归直线方程为，且，

∴，

解得，

∴原数据的样本中心点为(2,4)．

由题意得去掉数据后新数据的样本中心为(2,4)，重新求得的回归直线的斜率估计值为，

∴可设新的回归直线方程设为，

将点(2,4)代入上式后得，

解得，

∴新的回归直线的方程为，

将代入回归直线方程求得．

点睛：线性回归方程过样本中心点是重要的结论，利用此结论可求回归直线中的参数，也可求原样本数据中的参数．另外，根据线性回归方程可进行估计和预测．

13．某2017年夏令营组织5名营业员参观北京大学、清华大学等五所大学，要求每人任选一所大学参观，则有且只有两个人选择北京大学的不同方案共有__________个.（用数字作答）

【答案】640

【解析】先安排其中两人有10种方案，再安排剩余3人，分成3种情况

【详解】解：有且只有两个人选择北京大学有种方案

剩余3人参观的方案有以下三种：

作为一组参观有4种方案，

3人分成两组，一组1人，另一组2人，参观4个学校有，

3人分成3组，每组1人，参观4个学校有，

所以共有

【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素．

14．若函数有零点，则k的取值范围为________．

【答案】或

【分析】当时，可得1，故不是函数的零点，当时，有零点，即有解，故k的取值范围为函数的值域，求导，判断单调性并求出极小值，即可得k的取值范围．

【详解】当时，可得1，故不是函数的零点，当时，由函数有零点可得有解即，故k的取值范围为函数的值域，∵，令可得，故函数在上单调递减，上单调递增，且当时，函数值，当时，为函数的最小值且，故，综上可得的取值范围为或，故k的取值范围为：或.

【点睛】本题考查利用导数求解函数极值（最值）问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程问题，再利用数形结合的思想来解决，属中档题．

三、解答题

15．在直角坐标系中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，（t为参数）

(1)求曲线C的普通方程，l的直角坐标方程

(2)设l与C交于M，N两点，点，若成等比数列，求实数a的值．

【答案】(1)C的普通方程为，l的直角坐标方程为；

(2)5

【分析】（1）先同乘以，再利用将曲线C化为普通方程，消去参数，求出l的直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，与抛物线方程联立后，求出，，根据等比中项得到方程，求出.

【详解】(1)，两边同乘以得：

，将代入，得：

，

两式相减，消去参数得：

(2)直线l的参数方程：，即，与联立得：，

则，，

因为成等比数列，

所以，即，

因为，故，

解得：

16．某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如表：

（1）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；

（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（3）若第6名推销员的工作年限是11年，试估计他的年推销金额.

参考公式：线性回归方程中，，其中为样本平均数，）

【答案】（1）；（2）正相关；（3）5.9万元.

【分析】（1）首先求出，的平均数，利用最小二乘法做出的值，再利用样本中心点满足线性回归方程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出的值，写出线性回归方程．

（2）根据，即可得出结论；

（3）第6名推销员的工作年限为11年，即当时，把自变量的值代入线性回归方程，得到的预报值，即估计出第6名推销员的年推销金额为5.9万元．

【详解】（1）由题意知：，

于是：，，

故：所求回归方程为；

（2）由于变量的值随着的值增加而增加，故变量与之间是正相关

（3）将带入回归方程可以估计他的年推销金额为万元．

【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，是一个综合题目．

17．按要求答题

（1）计算：       （2）解不等式：

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：

（1）由排列数公式化简后计算；（2）由组合数公式化简后解分式不等式，注意分式中出现的数都是正整数．

试题解析：

(1)原式====

（2）原不等式可化为-<，

化简得x2-11x-12<0，∴-1<x<12．又∵n∈N且n≥5，

∴x=5，6，7，8，9，10，11．∴原不等式的解集是{5，6，7，8，9，10，11}

18．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M为PC上一点，且MC＝2PM.

（1）证明：BM平面PAD；

（2）若AD＝2，PD＝3，求点D到平面PBC的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）过点M作MECD，交PD于点E，连接AE，先证明四边形ABME为平行四边形，可得 BMAE，再根据线面平行的判定定理可得BM平面PAD；

（2）设点D到平面PBC的距离为h，则三V三棱锥D－PBC＝·S△PBC·h＝，求出三棱锥P－BDC的体积为V三棱锥P－BDC＝，利用V三棱锥D－PBC＝V三棱锥P－BDC求解即可.

【详解】（1）过点M作MECD，交PD于点E，连接AE.

因为ABCD，故ABEM.

又因为MC＝2PM，CD＝3，且△PEM∽△PDC，

故，解得EM＝1.

由已知AB＝1，得EM=AB，故四边形ABME为平行四边形，因此BMAE，

又AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，

所以BM平面PAD.

（2）连接BD，由已知AD＝2，AB＝1，∠BAD＝，

可得DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠BAD＝3，

即DB＝.

因为DB2＋AB2＝AD2，故△ABD为直角三角形，且∠ABD＝.

因为AB∥CD，故∠BDC＝∠ABD＝.

因为DC＝3，故BC＝.

由PD⊥底面ABCD，得PD⊥DB，PD⊥DC，

故PB＝，PC＝，

则BC＝PB，故△PBC为等腰三角形，

其面积为S△PBC＝·PC·×3× ＝.

设点D到平面PBC的距离为h，则三V三棱锥D－PBC＝·S△PBC·h＝

而直角三角形BDC的面积为S△BDC＝·DC·DB＝×3×＝，

三棱锥P－BDC的体积为V三棱锥P－BDC＝·S△BCD·PD＝××3＝.

因为V三棱锥D－PBC＝V三棱锥P－BDC，即h＝，故h＝.

所以点D到平面PBC的距离为.

【点睛】本题主要考查线面平行的判断定理，考查锥体的体积公式，同时考查了利用“等积变换”法求点到平面的距离，属于中档题.

19．如图，在三棱柱中，．

(1)证明：；

(2)若，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)

【分析】（1）作出辅助线，证明出线线垂直，进而推导出线面垂直，证明出；（2）先由余弦定理求出，进而得到AB，CD，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值.

【详解】(1)取中点D，连接CD，，

因为，所以，

因为，

所以三角形是等边三角形，

由三线合一得：，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以

(2)在三角形中，由余弦定理得：

因为，所以，

所以，

所以AB，CD，两两垂直，

以D为坐标原点，DA，，DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

则，令，则，

所以，

设的法向量为，

则，令，则，

所以，

故，

而二面角为锐角，设为，

则.

20．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx2，其中a∈R．

（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；

（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．

【答案】（1）极大值6ln2，极小值4；（2）分类讨论，详见解析．

【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；

（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．

【详解】（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx2，，x＞0，

易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，

故当x时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，

（2），

当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；

当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；

当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，

解可得，0，

当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，

由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1），

令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）lna+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，

令h（a），则0，

所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，

所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2，

即f（）＞0，

所以f（x）在（1，e）上没有零点，

综上，当0＜a时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，

当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．

【点睛】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．