2021-2022学年江西省赣州市第三中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2021-2022学年江西省赣州市第三中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．在中，角A，B，C对应的边分别为a､b､c，若，，，则B等于（       ）

A． B． C．或 D．3

【答案】A

【分析】利用正弦定理可求答案.

【详解】由正弦定理可知，；

因为，，，

所以；

因为，所以或（舍）.

故选：A.

2．设集合，，若，则的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】根据给定条件结合不等式恒成立即可求出a的范围判断作答.

【详解】集合，，因，

于是得，因此有，

所以的取值范围是.

故选：A

3．若，且，则等于（       ）

A．  B．

C．2 D．

【答案】C

【分析】利用共线向量的坐标表示，求得，进而求得的值.

【详解】由题意，向量，

因为，可得，即，

所以.

故选：C.

4．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先化简不等式，再利用充分必要性的定义判断得解.

【详解】解：因为，所以或，

当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；

当或时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件.

所以“”是“”的充分非必要条件.

故选：A

5．已知命题，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出和，再根据是的充分不必要条件得解.

【详解】解：由，即，所以或，

又 ，所以，

由是的充分不必要条件，

所以 .

故选：C

6．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积.

【详解】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，

所以的底．

腰，在中为直角三角形，高．

所以直角三角形的面积是．

故选:D．

7．己知为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．

【详解】对于A，若，则取内任意两条相交直线，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；

对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；

对于C，若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故C错误；

对于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；

故选：C．

8．已知是实数，是纯虚数，则 等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可知：，

为纯虚数，则：，据此可知.

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、多选题

9．在中，下列命题正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则一定为等腰三角形

C．若，则一定为直角三角形

D．若三角形的三边满足，则该三角形的最大角为钝角

【答案】AC

【分析】选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C，由勾股定理的逆定理可判断其正确；选项D，用余弦定理可判断不正确.

【详解】对于选项，在中，若，则，因此，所以A正确；

对于选项B，若，则或，

即或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以B错误；

对于选项C，若，由勾股定理的逆定理可知定为直角三角形，所以C正确；

对于选项D，若三角形的三边满足，由余弦定理可知,只能得到为锐角，最大角不确定，所以D错误.

故选：AC.

10．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】AD

【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.

【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，

所以，，，

故选：AD

11．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（     ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.

【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，

所以所形成的几何体的表面积是.

如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，

所以写成的几何体的表面积.

综上可知形成几何体的表面积是或.

故选：AB

【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.

12．若，则下列说法中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】直接利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性去判断即可

【详解】由于

对于选项A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项A错误

对于选项B：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项B错误

对于选项C：由于，所以函数 为增函数，所以 ，故选项C正确

对于选项D：，根据运算关系，当真数相同时，底数越大，对数越大，所以，故选项D正确

故选：CD

三、填空题

13．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.

【答案】

【分析】由圆台的表面积公式计算．

【详解】由题意该圆台的表面积为．

故答案为：．

14．设向量，，若，则___________.

【答案】0.5

【分析】根据向量平行的坐标表示可求结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：

15．中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，若，，，则___________.

【答案】

【分析】利用余弦定理建立方程，可求.

【详解】因为，，，

所以，

所以.

故答案为：.

16．一组样本数据为m，0，1，2，3，若该样本的平均数为1，则样本方差为______________.

【答案】2

【分析】根据样本平均数为1，得到，求出，再利用方差计算公式解出方差即可.

【详解】因为m，0，1，2，3的平均数为1，即 ，

解得 ，

故方差为

.

故答案为：2

四、解答题

17．平面内给定三个向量，，.

(1)求的坐标

(2)若，求实数.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，即可求解；

（2）根据向量的数量积的坐标运算，求得，结合，列出方程，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，向量，，可得.

(2)解：由向量，，，

可得，

因为，可得，解得.

18．实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是：

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

【答案】(1) m＝1 (2) m≠1 (3) m＝－1

【详解】(1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．

(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．

(3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数．

19．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生人，高三年级共有人，抽取的样本中高二年级有人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：)的频率分布表.

（1）求该校高二学生的总数；

（2）求频率分布表中实数的值

（3）已知日睡眠时间在区间内的名高二学生中，有名女生，名男生，若从中任选人进行面谈，求选中的人恰好为两男一女的概率.

【答案】（1）600人；（2）8；0.16；10；（3）.

【解析】（1）利用样本中高二年级人数与高二年级总人数之比=样本中高一年级、高二年级人数之和与高一、高二年级总人数之和之比求解；

（2）先根据频率分布表求出的值，再根据高二年级学生样本人数计算出，从而得到其频率的值；

（3）记名高二学生中女生为，，男生为，先列出从这名高二学生中任选人进行面谈的所有可能情况，以及恰好有两男一女的情况数，然后根据古典概率模型概率的计算公式求解.

【详解】解：（1）设该校高二学生的总数为，由题意，解得，所以该校高二学生总数为人.

（2）由题意，解得，

，

.

（3）记“选中的人恰好为两男一女”为事件，记名高二学生中女生为，，男生为，，，从中任选人有以下情况： ；；；；；；；；；，共种情况，基本事件共有个，它们是等可能的，

事件包含的基本事件有个，分别为：；；；；；，

故，所以选中的人恰好为两男一女的概率为.

【点睛】（1）解决分层抽样问题时，常用的公式有：

①；

②总体中某两层的个数比等于样本中这两层抽取的个体数之比；

（2）求解古典概率模型时，基本步骤如下：

①利用列举法、列表法、树状图等方法求出基本事件总数；

②求出事件所包含的基本事件个数；

③代入公式，求出概率值.

20．已知函数.

（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的值；

（2）的内角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值.

【答案】（1）当时，函数取最大值；（2）最小值为.

【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值；

（2）由结合角的取值范围可求得角的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值.

【详解】（1）函数

，

，所以，，

当时，即当时，函数取最大值；

（2）由题意，化简得，

，，，解得.

在中，根据余弦定理，得.

由，知，即，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

【点睛】方法点睛：求三角形边的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：

（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；

（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.

21．如图所示，在四棱锥，平面，，是的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）本题可通过线面平行的性质证得；

（2）本题可取的中点，连接、，然后根据三角形的中位线的性质得出、，再然后根据平行四边形的性质得出，最后根据线面平行的判定即可得出结果.

【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，

所以.

（2）如图，取的中点，连接、，

因为是的中点，所以，，

因为，，所以，，

则四边形是平行四边形，，

因为平面，平面，

所以平面.

22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

(1)求A；

(2)若，且，R为外接圆的半径，求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简即得解；

（2）利用余弦定理、正弦定理和三角恒等变换求解.

【详解】(1)解：∵，根据正弦定理得，

即，

即，

即，

∵角A，B，C为的内角，∴，

∴，结合，解得．

(2)解：∵，∴，

整理可得．

∵，，

∴

所以,

即．

∵，∴．

∴或．∴或．

又∵，∴，∴．