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安徽省安庆市迎江区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题（含答案）
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这是一份安徽省安庆市迎江区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题（含答案），共19页。
2021-2022学年八年级下学期数学期末试题
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．
3．（4分）一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．（4分）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
5．（4分）一个十二边形的内角和等于（ ）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
6．（4分）如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B+∠DAB＝180°，AB＝CD D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
7．（4分）学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．正方形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相垂直且相等
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
9．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm
10．（4分）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（5分）已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0的一个解为﹣3，则它的另一个解是 ．
13．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为 ．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）解方程：3（x﹣2）＝x（x﹣2）
17．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
18．（8分）如图，每个小正方形的边长都是1，
（1）求四边形ABCD的周长和面积；
（2）∠BCD是直角吗？
19．（10分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）＝ ；＝
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
20．（10分）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E、F分别在BC、AD边上，将边AB沿AE折叠，点B落在对角线AC上的G处，将边CD沿CF折叠，点D落在对角线AC上的点H处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝6，AC＝10，求BE的长．
21．（12分）某商场统计了10位营业员在某月的销售额情况如图．
（1）求销售额的中位数，众数和平均每人完成的销售额．
（2）为了调动积极性，商场决定制定一个月销售额奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励，如果要使得这10名营业员中的半数左右能获奖，奖励标准应定为多少元？并说明理由．
22．（12分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
23．（14分）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
（3）当BP＝m，PC＝n时，求AM的长．
2021-2022学年八年级下学期数学期末试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20＝22×5，该二次根式的被开方数中含开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
2．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则及乘法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、2与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、2与﹣2不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
3．（4分）一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程4x2﹣2x+＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×4×（）＝0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+＝0有两个相等的实数根．
故选：B．
4．（4分）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
5．（4分）一个十二边形的内角和等于（ ）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：十二边形的内角和等于：（12﹣2）•180°＝1800°；
故选：D．
6．（4分）如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B+∠DAB＝180°，AB＝CD D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．
【解答】解：根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故选：C．
7．（4分）学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可．
【解答】解：根据题意，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分，9个有效评分，与11个原始评分相比，不变的特征数据是中位数．
故选：B．
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．正方形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相垂直且相等
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
【分析】根据正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质依次进行判断即可．
【解答】解：正方形的对角线互相垂直且相等，所以A选项符合题意；
矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，所以B选项不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，所以C选项不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，所以D选项不符合题意，
故选：A．
9．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm
【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF．
连接AC，
∵∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE＝cm，
∴周长是3cm．
故选：B．
10．（4分）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【分析】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＞3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零的性质，可得2x﹣6＞0，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
故答案为：x＞3．
12．（5分）已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0的一个解为﹣3，则它的另一个解是 0 ．
【分析】设方程的另一个解是n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．
【解答】解：设方程的另一个解是n，
根据题意得：﹣3+n＝﹣3，
解得：n＝0．
故答案为：0．
13．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为 2 ．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，则∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正确的序号是 ①②④ （把你认为正确的都填上）．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
∴①说法正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF＝2，
∴CE＝CF＝，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，
解得a＝，
则a2＝2+，
S正方形ABCD＝2+，
④说法正确，
故答案为：①②④．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：．
【分析】化简二次根式，先算乘除，然后再算加减．
【解答】解：原式＝﹣6×+4
＝﹣2+4
＝3．
16．（8分）解方程：3（x﹣2）＝x（x﹣2）
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程移项得：3（x﹣2）﹣x（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3﹣x）＝0，
可得x﹣2＝0或3﹣x＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
17．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
【分析】（1）由方程求出判别式Δ＞0即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含m代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+1）＝8m，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴8m＞0，
∴m＞0．
（2）由（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∵x1x2＝2（m+1），x1x2＝m2+1，
∴原式＝m2+1+2（m+1）+1＝8，
整理得m2+2m﹣4＝0，
解得m＝﹣1﹣或m＝﹣1+．
∵m＞0，
故m的值为﹣1+．
18．（8分）如图，每个小正方形的边长都是1，
（1）求四边形ABCD的周长和面积；
（2）∠BCD是直角吗？
【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用分割法即可求出四边形的面积；
（2）连接BD，求出BD的长，利用勾股定理的逆定理即可证明出结论．
【解答】解：（1）AB＝，AD＝，CD＝，BC＝2，
四边形ABCD的周长为；
面积为5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；
（2）连接BD，
∵BC＝2，CD＝，BD＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD是直角．
19．（10分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）＝ ；＝
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
【分析】（1）将；分母有理化，有理化因式分别为，；
（2）被开方数是两个相邻的数，即，它的有理化因式为；
（3）由（1）（2）得，原式＝，合并可得结果．
【解答】解：（1）＝；＝
（2）
（3）
＝，
＝
＝10﹣1
＝9．
20．（10分）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E、F分别在BC、AD边上，将边AB沿AE折叠，点B落在对角线AC上的G处，将边CD沿CF折叠，点D落在对角线AC上的点H处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝6，AC＝10，求BE的长．
【分析】（1）先证明△AEG≌△CFH，从而可证明AE＝FC，且AE∥FC，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；
（2）先利用勾股定理求得BC的长，设BE＝x，则EC＝8﹣x，然后再Rt△EGC中，依据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）由翻折的性质可知AB＝AG，CH＝DC，∠ABE＝∠BAG，∠FCH＝∠DCH．
又∵AB＝CD，∠BAG＝∠DCH，
∴AG＝FC，∠EAG＝∠FCH．
在△AEG和△FCH中，，
∴△AEG≌△FCH．
∴AE＝CF，∠EAG＝∠FCH．
∴AE∥FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵AB＝6 AC＝10，
∴BC＝＝8．
设BE＝x，则EG＝x，EC＝8﹣x．
∵AG＝AB＝6，
∴CG＝4．
∵EG2+GC2＝EC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3
∴BE＝3．
21．（12分）某商场统计了10位营业员在某月的销售额情况如图．
（1）求销售额的中位数，众数和平均每人完成的销售额．
（2）为了调动积极性，商场决定制定一个月销售额奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励，如果要使得这10名营业员中的半数左右能获奖，奖励标准应定为多少元？并说明理由．
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的意义解答即可；
（2）如果要使得一半称职和优秀的营业员能获奖，月销售额奖励标准可以定为称职和优秀这两个层次销售额的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半左右．
【解答】解：（1）共10人，月销售额从小到大排列第5个数为5万元，第6个数为5万元，
5万元为中位数；
4万元出现了3次，次数最多，为众数．
平均数为：（3+3×4+2×5+6+7+8+10）÷10＝5.6万元；
（2）如果要使得一半称职和优秀的营业员能获奖，这个奖励标准应定为5万元合适．
因为称职和优秀的共有10人，月销售额在5万元以上（含5万元）的有6人，超过总数的一半．
22．（12分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【分析】（1）设年平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每杯售价定为a元，由题意得关于a的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．
（2）设每杯售价定为a元，由题意得：
（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，
解得：a1＝21，a2＝20．
∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
23．（14分）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
（3）当BP＝m，PC＝n时，求AM的长．
【分析】（1）要证AP＝BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH＝BC＝AB＝3，BP＝2，PC＝1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）＝，BH＝2．易得DC∥AB，从而有∠CQB＝∠QBA．由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，即可得到∠QBA＝∠C′QB，即可得到MQ＝MB．设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长．
【解答】解：（1）AP＝BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABQ+∠CBQ＝90°．
∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP＝BQ；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH＝BC＝AB＝3．
∵BP＝2PC，
∴BP＝2，PC＝1，
∴BQ＝AP＝＝＝，
∴BH＝＝＝2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB＝∠QBA．
由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，
∴∠QBA＝∠C′QB，
∴MQ＝MB．
设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+32，
解得x＝．
∴QM的长为；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，BP＝m，PC＝n，
∴QH＝BC＝AB＝m+n．
∴BQ2＝AP2＝AB2+PB2，
∴BH2＝BQ2﹣QH2＝AB2+PB2﹣AB2＝PB2，
∴BH＝PB＝m．
设QM＝x，则有MB＝QM＝x，MH＝x﹣m．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2＝（x﹣m）2+（m+n）2，
解得x＝m+n+，
∴AM＝MB﹣AB＝m+n+﹣m﹣n＝．
∴AM的长为．
2021-2022学年八年级下学期数学期末试题
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．
3．（4分）一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．（4分）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
5．（4分）一个十二边形的内角和等于（ ）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
6．（4分）如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B+∠DAB＝180°，AB＝CD D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
7．（4分）学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．正方形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相垂直且相等
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
9．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm
10．（4分）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（5分）已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0的一个解为﹣3，则它的另一个解是 ．
13．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为 ．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）解方程：3（x﹣2）＝x（x﹣2）
17．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
18．（8分）如图，每个小正方形的边长都是1，
（1）求四边形ABCD的周长和面积；
（2）∠BCD是直角吗？
19．（10分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）＝ ；＝
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
20．（10分）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E、F分别在BC、AD边上，将边AB沿AE折叠，点B落在对角线AC上的G处，将边CD沿CF折叠，点D落在对角线AC上的点H处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝6，AC＝10，求BE的长．
21．（12分）某商场统计了10位营业员在某月的销售额情况如图．
（1）求销售额的中位数，众数和平均每人完成的销售额．
（2）为了调动积极性，商场决定制定一个月销售额奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励，如果要使得这10名营业员中的半数左右能获奖，奖励标准应定为多少元？并说明理由．
22．（12分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
23．（14分）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
（3）当BP＝m，PC＝n时，求AM的长．
2021-2022学年八年级下学期数学期末试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20＝22×5，该二次根式的被开方数中含开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
2．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则及乘法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、2与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、2与﹣2不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
3．（4分）一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程4x2﹣2x+＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×4×（）＝0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+＝0有两个相等的实数根．
故选：B．
4．（4分）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
5．（4分）一个十二边形的内角和等于（ ）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：十二边形的内角和等于：（12﹣2）•180°＝1800°；
故选：D．
6．（4分）如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B+∠DAB＝180°，AB＝CD D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．
【解答】解：根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故选：C．
7．（4分）学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可．
【解答】解：根据题意，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分，9个有效评分，与11个原始评分相比，不变的特征数据是中位数．
故选：B．
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．正方形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相垂直且相等
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
【分析】根据正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质依次进行判断即可．
【解答】解：正方形的对角线互相垂直且相等，所以A选项符合题意；
矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，所以B选项不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，所以C选项不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，所以D选项不符合题意，
故选：A．
9．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm
【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF．
连接AC，
∵∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE＝cm，
∴周长是3cm．
故选：B．
10．（4分）已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【分析】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＞3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零的性质，可得2x﹣6＞0，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
故答案为：x＞3．
12．（5分）已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0的一个解为﹣3，则它的另一个解是 0 ．
【分析】设方程的另一个解是n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．
【解答】解：设方程的另一个解是n，
根据题意得：﹣3+n＝﹣3，
解得：n＝0．
故答案为：0．
13．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为 2 ．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，则∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正确的序号是 ①②④ （把你认为正确的都填上）．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
∴①说法正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF＝2，
∴CE＝CF＝，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，
解得a＝，
则a2＝2+，
S正方形ABCD＝2+，
④说法正确，
故答案为：①②④．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：．
【分析】化简二次根式，先算乘除，然后再算加减．
【解答】解：原式＝﹣6×+4
＝﹣2+4
＝3．
16．（8分）解方程：3（x﹣2）＝x（x﹣2）
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程移项得：3（x﹣2）﹣x（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3﹣x）＝0，
可得x﹣2＝0或3﹣x＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
17．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
【分析】（1）由方程求出判别式Δ＞0即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含m代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+1）＝8m，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴8m＞0，
∴m＞0．
（2）由（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∵x1x2＝2（m+1），x1x2＝m2+1，
∴原式＝m2+1+2（m+1）+1＝8，
整理得m2+2m﹣4＝0，
解得m＝﹣1﹣或m＝﹣1+．
∵m＞0，
故m的值为﹣1+．
18．（8分）如图，每个小正方形的边长都是1，
（1）求四边形ABCD的周长和面积；
（2）∠BCD是直角吗？
【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用分割法即可求出四边形的面积；
（2）连接BD，求出BD的长，利用勾股定理的逆定理即可证明出结论．
【解答】解：（1）AB＝，AD＝，CD＝，BC＝2，
四边形ABCD的周长为；
面积为5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；
（2）连接BD，
∵BC＝2，CD＝，BD＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD是直角．
19．（10分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）＝ ；＝
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
【分析】（1）将；分母有理化，有理化因式分别为，；
（2）被开方数是两个相邻的数，即，它的有理化因式为；
（3）由（1）（2）得，原式＝，合并可得结果．
【解答】解：（1）＝；＝
（2）
（3）
＝，
＝
＝10﹣1
＝9．
20．（10分）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E、F分别在BC、AD边上，将边AB沿AE折叠，点B落在对角线AC上的G处，将边CD沿CF折叠，点D落在对角线AC上的点H处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB＝6，AC＝10，求BE的长．
【分析】（1）先证明△AEG≌△CFH，从而可证明AE＝FC，且AE∥FC，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；
（2）先利用勾股定理求得BC的长，设BE＝x，则EC＝8﹣x，然后再Rt△EGC中，依据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）由翻折的性质可知AB＝AG，CH＝DC，∠ABE＝∠BAG，∠FCH＝∠DCH．
又∵AB＝CD，∠BAG＝∠DCH，
∴AG＝FC，∠EAG＝∠FCH．
在△AEG和△FCH中，，
∴△AEG≌△FCH．
∴AE＝CF，∠EAG＝∠FCH．
∴AE∥FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵AB＝6 AC＝10，
∴BC＝＝8．
设BE＝x，则EG＝x，EC＝8﹣x．
∵AG＝AB＝6，
∴CG＝4．
∵EG2+GC2＝EC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3
∴BE＝3．
21．（12分）某商场统计了10位营业员在某月的销售额情况如图．
（1）求销售额的中位数，众数和平均每人完成的销售额．
（2）为了调动积极性，商场决定制定一个月销售额奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励，如果要使得这10名营业员中的半数左右能获奖，奖励标准应定为多少元？并说明理由．
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的意义解答即可；
（2）如果要使得一半称职和优秀的营业员能获奖，月销售额奖励标准可以定为称职和优秀这两个层次销售额的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半左右．
【解答】解：（1）共10人，月销售额从小到大排列第5个数为5万元，第6个数为5万元，
5万元为中位数；
4万元出现了3次，次数最多，为众数．
平均数为：（3+3×4+2×5+6+7+8+10）÷10＝5.6万元；
（2）如果要使得一半称职和优秀的营业员能获奖，这个奖励标准应定为5万元合适．
因为称职和优秀的共有10人，月销售额在5万元以上（含5万元）的有6人，超过总数的一半．
22．（12分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【分析】（1）设年平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每杯售价定为a元，由题意得关于a的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．
（2）设每杯售价定为a元，由题意得：
（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，
解得：a1＝21，a2＝20．
∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
23．（14分）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
（3）当BP＝m，PC＝n时，求AM的长．
【分析】（1）要证AP＝BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH＝BC＝AB＝3，BP＝2，PC＝1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）＝，BH＝2．易得DC∥AB，从而有∠CQB＝∠QBA．由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，即可得到∠QBA＝∠C′QB，即可得到MQ＝MB．设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长．
【解答】解：（1）AP＝BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABQ+∠CBQ＝90°．
∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP＝BQ；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH＝BC＝AB＝3．
∵BP＝2PC，
∴BP＝2，PC＝1，
∴BQ＝AP＝＝＝，
∴BH＝＝＝2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB＝∠QBA．
由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，
∴∠QBA＝∠C′QB，
∴MQ＝MB．
设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+32，
解得x＝．
∴QM的长为；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，BP＝m，PC＝n，
∴QH＝BC＝AB＝m+n．
∴BQ2＝AP2＝AB2+PB2，
∴BH2＝BQ2﹣QH2＝AB2+PB2﹣AB2＝PB2，
∴BH＝PB＝m．
设QM＝x，则有MB＝QM＝x，MH＝x﹣m．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2＝（x﹣m）2+（m+n）2，
解得x＝m+n+，
∴AM＝MB﹣AB＝m+n+﹣m﹣n＝．
∴AM的长为．
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