高考数学一轮复习考点规范练10对数与对数函数含解析新人教版

考点规范练10　对数与对数函数

一、基础巩固

1.(2021广东汕头一模)若=3,则a-lo15= (　　)

A.-1 B.1 C D.3

答案:B

解析:由题意知a=lo3,即a-lo15=lo3-lo15=lo=1.

2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=(　　)

A.log2x B

C.lox D.2x-2

答案:A

解析:由题意知,f(x)=logax(a>0,且a≠1),

因为f(2)=1,即loga2=1,所以a=2,故f(x)=log2x.

3.已知函数f(x)=则f(f(1))+f的值是(　　)

A.5 B.3 C.-1 D

答案:A

解析:由题意知,f(1)=log21=0,则f(f(1))=f(0)=2.

又因为log3<0,所以f+1=+1=3.故f(f(1))+f=5.

4.(多选)若10a=4,10b=25,则(　　)

A.a+b=2 B.b-a=1

C.ab>8lg22 D.b-a>lg 6

答案:ACD

解析:由10a=4,10b=25,得a=lg4,b=lg25,则a+b=lg4+lg25=lg100=2,b-a=lg25-lg4=lg,由于lg10=1>lg>lg6,则b-a>lg6,且ab=4lg2lg5>4lg2lg4=8lg22.

故选ACD.

5.函数y=的定义域是(　　)

A.[1,2] B.[1,2)

C D

答案:D

解析:由lo(2x-1)≥0,可得0<2x-1≤1,即<x≤1.

6.若0<a<1,则函数y=loga(x+5)的图象不经过 (　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案:A

解析:当0<a<1时,把函数y=logax的图象向左平移5个单位长度得到函数y=loga(x+5)的图象,如图所示,由图象可知函数y=loga(x+5)的图象不经过第一象限.

7.(2021辽宁实验中学四模)已知a=log0.32,b=log72,则下列关系正确的是(　　)

A.a+b<ab<0 B.a+b<0<ab

C.ab<a+b<0 D.ab<0<a+b

答案:A

解析:∵a=log0.32<0,b=log72>0,∴ab<0,

又=log20.3+log27=log22.1>1,∴a+b<ab<0.

8.已知函数f(x)=ax+logax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为(　　)

A B C.2 D.4

答案:C

解析:显然函数y=ax与y=logax在区间[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a2+loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.

9.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在区间(0,1)内f(x)=3x,则f(log354)等于(　　)

A B C.- D.-

答案:C

解析:由奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),

得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.

所以f(log354)=f(3+log32)=f(-1+log32)=-f(1-log32)=-=-=-

10.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).

(1)求f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;

(3)求不等式f(x)>1的解集.

解:(1)要使函数f(x)有意义,则解得-2<x<2.

故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).

(2)由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),设∀x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),故f(x)为奇函数.

(3)因为f(x)在定义域(-2,2)内是增函数,又f(x)>1,所以>10,解得<x<2.

所以不等式f(x)>1的解集是

二、综合应用

11.已知f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)

A.(-1,0) B.(0,1)

C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

答案:A

解析:由f(x)是奇函数可得a=-1,故f(x)=lg,定义域为(-1,1).由f(x)<0,可得0<<1,即-1<x<0.

12.(2021天津南开中学高三月考)已知函数f(x)=lg(4-x2),a=f,b=f,c=f(lo6),则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c B.b>a>c 

C.c>b>a D.c>a>b

答案:B

解析:由4-x2>0,解得-2<x<2,所以函数f(x)的定义域为(-2,2),

令μ(x)=4-x2,则μ(x)在区间(0,2)上单调递减.由对数函数的性质,

可得函数f(x)=lg(4-x2)为偶函数,且在区间(0,2)上单调递减.

因为0<<1<log3,

所以f>f>f,即b>a>c.

13.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-1.若在区间(-2,6]上关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,则a的取值范围是(　　)

A.(1,2) B.(2,+∞) 

C.(1,) D.[,2)

答案:D

解析:因为对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),所以f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数.

作出函数f(x)与y=loga(x+2)的图象如下,

结合图象可知,解得a<2,故选D.

14.已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在区间[1,3]上单调递增,则a的取值范围是　　　　　　　. 

答案:(1,+∞)

解析:令t=ax2-x+3,则原函数可化为y=f(t)=logat.

当a>1时,y=logat在定义域内单调递增,故t=ax2-x+3在区间[1,3]上也是单调递增的,所以解得a>1;当0<a<1时,y=logat在定义域内单调递减,故t=ax2-x+3在区间[1,3]上也是单调递减的,所以解得0<a,故a>1或0<a

15.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是　　　　　　　 . 

答案:(-∞,-2)

解析:由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).

当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<;当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.

故f(x)<-1的解集为(-∞,-2)

三、探究创新

16.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

答案:D

解析:设=x=,两边取对数,得lgx=lg=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093.故选D.

17.(2021河北唐山一模)已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,当x<0时,f(x)=8x3-log2(-x),则满足f(log4x)≥0的x的取值范围是(　　)

A B 

C[2,+∞) D[1,2]

答案:C

解析:令t=log4x,先考虑f(t)≥0的解.

若t=0,因为f(t)为R上的奇函数,所以f(0)=0≥0,故t=0为f(t)≥0的解.

若t<0,此时f(t)=8t3-log2(-t),

因为y=8t3,y=-log2(-t)在区间(-∞,0)上均单调递增,

所以f(t)=8t3-log2(-t)在区间(-∞,0)上单调递增,而f=-1+1=0,

故f(t)≥0在区间(-∞,0)上的解为-t<0,

因为f(t)为R上的奇函数,所以f(t)≥0在区间(0,+∞)上的解为t,

故f(t)≥0的解为-t≤0或t,

故-log4x≤0或log4x,所以x≤1或x≥2.