山东省青岛市莱西市2020-2021学年高二下学期期末数学试题及参考答案

高二学业水平检测（四）

数学试题

本试卷共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，请将答题卡上交．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求得集合B，根据交集运算的定义，即可得答案.

【详解】由题意得集合，

所以.

故选：B

2. 已知变量和满足关系，变量与正相关． 下列结论中正确的是

A. 与负相关，与负相关

B. 与正相关，与正相关

C. 与正相关，与负相关

D. 与负相关，与正相关

【答案】A

【解析】

【详解】因为变量和满足关系，一次项系数为，所以与负相关；变量与正相关，设，所以，得到 ，一次项系数小于零，所以与负相关，故选A.

3. 命题“对任意的，”的否定是（    ）

A. 不存在， B. 存在，

C. 存在， D. 对任意的，

【答案】C

【解析】

【分析】根据含有一个量词命题否定的原则，即可得答案.

【详解】命题“对任意的，”的否定是：存在，.

故选：C

4. 定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为（    ）

A. 1 B. 3 C. 2 D. 2021

【答案】B

【解析】

【分析】当时，作出函数，的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇函数图象的对称性以及，即可求出方程所有根的个数.

【详解】①当时，令，即，

在同一坐标系中作出函数，的示意图，如下图：

函数为单调增函数，为单调减函数，

可知两个图象有且只有一个交点P，横坐标记为.

即时方程有且只有一个实根，

②因为函数是定义在R上的奇函数，

所以当时，方程也有一个实根，

③又∵是R上的奇函数，，∴即0也是方程的根，

综上所述，方程有3个实根.

故选：B.

5. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ）

A. P(X＝2) B. P(X≤2)

C. P(X＝4) D. P(X≤4)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据超几何分布列式求解即可．

【详解】X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，

故选：C

6. 若曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的几何意义，可求得切线斜率k，即可得a值，将切点坐标代入切线方程，可求得b值，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以切线的斜率，

所以，

又切点在切线上，代入可得

解得.

故选：D

7. 设随机变量，满足：，，若，则（    ）

A. 3 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由，，求出值，利用二项分布的方差公式求出，再利用方差的线性性质，即可得到答案．

【详解】由于随机变量满足： ，，

，

解得：，即

，

又随机变量，满足：，

，

故选：C.

8. 已知是定义在上的单调函数，对于，均有，则“”是“在上恒成立”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 充要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】令，由题可求得，得出，因为“在上恒成立”等价转化为对恒成立，利用导数求出的最大值，得到其充分必要条件，然后即可判断.

【详解】令，则．

由，，即，

是的单调递增函数，且，，

，

“上恒成立”等价于对于恒成立．

令，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减,，故“在上恒成立”等价于．

是的充分不必要条件，∴“”是“在上恒成立”充分不必要条件，

故选：A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若，，，，则可能的取值为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 20

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据基本不等式“1”的活用，即可求得的最小值，即可得答案.

【详解】由题意得，且，，

所以

当且仅当时，即时取等号，

所以可能的取值为9,10,20.

故选：BCD

10. 设随机变量的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据概率和为1，可求得m值，根据期望、方差公式，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】根据概率和为1，可得，解得.

对于A：，故A错误；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确.

故选：BD

11. 为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的列联表（个别数据暂用字母表示）：

计算得：，参照下表：

对于下面的选项，正确的为（    ）

A. 根据小概率值的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”

B.

C. 根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”

D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据的值域临界值的大小关系判断A，C，由列联表中数据关系判断B，D.

【详解】∵ ，，，

又 12.981>6.635,12.981>7.879，

∴根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，

根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，

∴ A错，C对，

∵ ，，

∴ ，，

∴ B对，D错，

故选：BC.

12. 若存在正数满足，则实数可能的取值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先方程转化为，即 ，与有交点，利用导数分析函数，即可求得实数的取值范围.

【详解】，

设 ，，

函数在上单调递减，，

所以，，单调递增，，，单调递减，

所以当时，函数取得最大值， ，

如方程有解，则函数的图象和的图象有交点，

即

，解得：或，

满足条件的包含，ACD.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设，若，则实数的值为______．

【答案】1或

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式分段讨论解方程即可.

【详解】当时，，即即,∴；

当时，，即为,∴；

故答案为：1或.

14. 某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为______；

【答案】0.7

【解析】

【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥

根据题意得：，，

由全概率公式，得：

.

故答案为：0.7.

15. 若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______；

【答案】

【解析】

【分析】根据已知不等式的解集，利用利用韦达定理求得的值,进而求解.

【详解】∵关于的不等式的解集是，

∴的两根为1，2.

∴,解得，∴为，即，即，解得,

故答案为：.

16. 设偶函数是定义在上的周期为2的函数，当时，．记函数的零点个数为，若在上有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】先求得的零点个数m，根据零点个数，作出与图象，数形结合，即可求得答案.

【详解】令，可得，作出与图象，如图所示：

所以函数的零点个数，

因为在有且仅有3个不同零点，

令，可得，即图象与图象有且仅有3个不同交点，

分析可得为单调递增函数，

作出图象与图象，如图所示：

有图象可得，解得.

所以实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】解题的关键是熟练掌握常见初等函数的图象与性质，处理零点问题时，常转化为图象交点问题，数形结合求解即可，属中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 试分别解答下列两个小题：

（1）已知的定义域为，集合在区间上为增函数，求；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）解对数不等式求得集合；根据二次函数的单调性求得集合，进而求得；

（2）比较相应方程的两个实数根的大小关系，进而分类研究不等式的解集.

【详解】（1）为使有意义，必须且只需，即，

所以，即,

,为开口向上的抛物线，对称轴为,

因为在区间上为增函数，

所以,解得,所以,

所以；

（2）即为,

有两个实数根,

,

当时，,,不等式的解集为;

当时，,,不等式的解集为;

当时，,,不等式的解集为;

18. 试分别解答下列两个小题：

（1）已知是定义在上的偶函数，当时，是单调减函数．若，求实数的取值范围；

（2）已知函数，若对任意的实数，，满足，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据的单调性和奇偶性，结合函数定义域，列出不等式组，整理计算，即可得答案.

（2）根据题意，可得，根据二次函数的性质，结合题意，即可求得答案.

【详解】（1）因为为偶函数，且上单调递减，

所以，即，

解得，

所以实数的取值范围是

（2）因为，

所以，即，

当时，，满足题意；

当时，，

整理可得，又对任意的实数成立，

所以，解得且.

综上：实数的取值范围

19. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品格概率依次为0.6、0.5、0.75．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析；数学期望值为：0.9.

【解析】

【分析】（1）考虑恰第一次烧制后恰有一件产品合格的三种情况，利用独立事件概率公式分别计算后求和即得；

（2）先利用独立事件概率公式求得经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率，发现正好都相等，从而判定随机变量服从二项分布，进而计算得到概率分布列，并计算得到期望值.

【详解】（1）第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：

.

（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：

，，.

所以,

故随机变量的可能取值为，且.

故；；

；.

所以随机变量的分布列为

故随机变量的数学期望.

（或者利用二项分布的期望值公式直接得到: )

20. 已知函数．

（1）试求函数的极大值与极小值；

（2）若曲线上存在两个不同的点A、，在A、处的两条切线都与轴垂直，且线段与轴相交，求实数的取值范围．

【答案】（1）的极大值为，极小值为；（2）

【解析】

【分析】（1）求导，令，可求得或，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，即可求得极值.

（2）由（1）可得直线AB过函数的极大值和极小值，根据零点存在性定理，化简计算，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得：，由题意得

令，解得或，

当时，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以的极大值为，极小值为；

当时，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的极大值为，极小值为；

综上：极大值为，极小值为.

（2）由（1）可得，曲线上两点A、B的纵坐标为函数的极值，

且函数在和处分别取得极值，

因为线段AB与x轴有公共点，所以，

所以，整理得，

所以或，

解得或.

所以实数的取值范围.

21. 设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：

作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数．

（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；

（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】（1），；y关于的回归方程；（2）随机变量的分布列见解析，数学期望.

【解析】

【分析】（1）令，则，变为线型回归问题，先根据已知数据得到的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算b和a的估计值，求得关于的线性回归方程，进而得到y关于x的回归方程；

（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值．

【详解】解：（1）令，则，根据已知数据表得到如下表：

，，
通过上表计算可得：，
因为回归直线过点，
所以，
故y关于的回归方程；

（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，

；；；；

所以随机变量的分布列为：

随机变量的期望值.

22. 已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）先求得解析式，求导可得解析式，分别讨论和两种情况下的正负，可得的单调性，综合即可得答案.

（2）根据题意可得，令，可得关于t的一元二次方程，利用导数求得的单调性，作出图象，分析可得关于t的二次函数根的范围，讨论分析，即可得答案.

【详解】（1）

则，

当时，，则为单调递增函数，

当时，令，解得，

当时，，则为单调递增函数，

当时，，则为单调递减函数，

综上：当时，在上单调递增，当时，的增区间为，减区间为.

（2）由，可得，

令，则，

所以①，

由，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

又时，，作出图象，如图所示，

由题意可得方程①的根，有一个必在内，令一个根或或，

当时，方程①无意义，

当时，，不满足题意，

所以当时，由二次函数的性质可得，

解得.

综上：实数取值范围为

【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数的单调区间，极最值的方法，并灵活应用，难点在于将零点问题，转化为求方程根的问题，数形结合，讨论分析，即可得答案，属难题.