山东省威海市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷及参考答案

高二数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由真数大于0，二次根式中式子大于0（在分母上不为0），可得定义域．

【详解】由题意，解得．

故选：B．

2. 下列运算错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】逐一对各选项的函数按求法则求导即可判断作答.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，因且，时，，则B正确；

对于C，，C不正确；

对于D，，D正确.

故选：C

3. 现有位代表参加疫情防控表彰大会，并排坐在一起，其中甲乙不相邻，则不同的坐法有（    ）

A. 种 B. 种

C. 种 D. 种

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据排列运算规则用捆绑法计算排列数得出结论.

【详解】5位代表并排坐在一起的坐法为：种，甲乙相邻的坐法为：种

所以甲乙不相邻的坐法为：（种），所以选项ABC错误，选项D正确.

故选：D.

4. 已知随机变量，随机变量，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项分布数学期望和方差公式，结合数学期望和方差的公式进行求解即可.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

故选：C

5. 将本不同的课外书分别装到个相同的手提袋中，其中一袋放本，另两袋各放本，则不同的装法有（    ）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：依题意本不同的课外书分别装到个相同的手提袋中，其中一袋放本，另两袋各放本，则不同的装法有种

故选：A

6. 已知，，，则大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据等式特征，构造函数，利用函数图象，结合数形结合思想进行判断即可.

【详解】显然，

，，，

构造函数在同一直角坐标系画出它们的图象，如下图所示：

有成立，

故选：C

7. 根据一组样本数据为，，，的散点图判断，变量关于变量的回归方程为，经计算，，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】记，回归方程化为，这是线性回归方程，由在回归直线上可求得值．

【详解】记，则，所以，，

回归方程这，则，解得．

故选：B．

8. 定义在上的偶函数满足，且在处的导数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件探求出函数的性质，由此求出，再借助复合函数求导问题求出即可得解.

【详解】上的偶函数满足，则当时，，

，于是得，即f(x)是周期函数，周期为4，则有，

对两边求导得，即，于是当时，，

曲线在点处切线方程为，即.

故选：A

【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 若，则下列各式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【9题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】由给定条件结合各选项构造函数，借助函数的单调性或值域即可作答.

【详解】对于A，函数在上单调递增，因，则，即，A正确；

对于B，函数在上单调递减，因，则，即，B不正确；

对于C，函数在上单调递增，因，则，即，于是得，C正确；

对于D，函数F(x)=lgx(x>0)的值是R，因，则，可取任意实数，D不正确.

故选：AC

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 若随机变量服从两点分布，，则

B. 若随机变量，则

C. 若随机变量，，则

D. 若随机变量，则

【10题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布、超几何分布的性质进行逐一判断即可.

【详解】A：设，因为随机变量服从两点分布，所以，

所以，因此本选项说法正确；

B：因为随机变量，所以,

C：因为随机变量，所以，

而，所以，因此，

故本选项说法正确；

D：因为随机变量，所以，因此本选项说法正确；

故选：ACD

11. 若，则（    ）

A.  B. 的系数为

C  D.

【11题答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】令可判断A；利用二项式展开式的通项公式可判断B；令可判断C；令，结合C选项可判断D.

【详解】令，可得，即，故A错误；

由，

所以的系数为，故B正确；

令，可得，故C正确；

令，，

与，两式相加，

可得，

所以，故D正确.

故选：BCD

12. 对于函数，下列说法正确的是（    ）

A. 在上单调递增，在上单调递减

B. 若方程有个不等的实根，则

C. 当时，

D. 设，若对，，使得成立，则

【12题答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】对函数求导，利用导数探讨函数的单调性、图象及性质即可判断选项A，B，C；

求出函数在R上的值域，在上的值域，借助值域的包含关系即可判断作答.

【详解】函数的定义域为，，当或时，，当时，，

在，上都单调递减，在上单调递增，A不正确；

当时，的图象在x轴上方，且在时，，在上的图象在x轴下方，

显然是偶函数，在方程中，或时，方程有两个不等实根，时，方程无实根，时，方程有个不等的实根，B正确；

因，则有，即，于是得，C不正确；

当时，的值域为，当时，的值域为，

因对，，使得成立，从而得，即得，D正确.

故选：BD

【点睛】结论点睛：已知函数，，若，，有，则的值域是值域的子集,

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡上.

13. 已知函数（且），若，则__________.

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由给定条件并结合对数运算法则求出，再由对数的性质即可得解.

【详解】因，且，

则，即，于是得，则有，即，

所以.

故答案为：4

14. 一个盒子内装有大小相同的个红球，5个白球，从盒子中任取个球，已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率为__________.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】取出2个球，记事件A=“一个球是白球”，事件B=“另一个球是白球”，求出，再条件概率公式计算即得.

【详解】取出2个球，记事件A=“一个球是白球”，则，

取出2个球，记事件B=“另一个球是白球”，则，

由条件概率公式得，

所以一个球是白球，另一个球也是白球的概率为.

故答案为：

15. 设是正整数，化简___________.

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可.

【详解】设，

，

所以有，

故答案为：

16. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________.

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】作出的简图，数形结合可得结果

【详解】依题意得，

设过原点的直线与切于点，则切线斜率，解得.

所以与切于点，

即，作出的简图，

由图可知，要使动直线与的图象有两个不同的交点，

则，解得.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知函数，函数的图像与的图像关于轴对称.

（1）求的解析式；

（2）解关于的不等式.

【17题答案】

【答案】(1)( x<2)；(2)或.

【解析】

【分析】(1)在函数图象上任取点，该点关于y轴对称点必在的图像，代入即可得解；

(2)由(1)及所给条件，列出对数不等式，由对数函数单调性等价转化成不等式组并求解即得.

【详解】(1)设为函数的图像上任意一点，点关于轴的对称点为，

则点必在函数的图像上，则，即，

所以的解析式为( x<2)；

(2)由及(1)可得，

因为是增函数，于是有，即，

解得或，

所以不等式的解集为或.

18. 2021年3月17日，中宣部办公厅印发《关于做好2021年全民阅读工作通知》，提出了2021年全民阅读工作的总体要求，部署了重点工作及组织保障等措施. 某地为了了解市民的阅读情况，组织相关调查机构围绕“阅读量多少”与“幸福感强弱”进行问卷调查，得到部分调查数据如下：

现从被调查的“阅读量多”的人群中任取人，取到“幸福感强”的人的概率为.

（Ⅰ）完成上述列联表，并判断：在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？

（Ⅱ）从阅读量多且幸福感强的人群中抽取名男性，名女性组成“阅读推广宣讲团”，在某次活动中，将从这人中随机选取人为宣讲员.

（ⅰ）当时，求男性宣讲员人数的分布列；

（ⅱ）若男性宣讲员人数的期望至少为2人，求的最小值.

参考公式：

参考数据：

【18题答案】

【答案】（Ⅰ）表格见解析，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）8.

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据被调查的“阅读量多”的人群中任取人，取到“幸福感强”的人的概率为，结合表中数据可以求出阅读量多的人数，进而完成表格，最后根据题中所给公式进行求解计算即可；

（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知随机变量的取值范围是，求出相对应的概率值，最后列出分布列即可；

（ⅱ）根据超几何分布的数学期望公式进行求解即可.

【详解】解：（Ⅰ）因为被调查的“阅读量多”的人群中任取人，取到“幸福感强”的人的概率为，

所以阅读量多的人数为：，所以列联表如下：

则.

查表可得，由于，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关.

（Ⅱ）（ⅰ）当时，随机变量的取值范围是，

，，

，，

则的分布列为:

（ⅱ）由题意，

故，解得，

所以的最小值为.

19. 某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取个零件进行检验，分出合格品和次品.设每个零件是次品的概率为，且相互独立．

（Ⅰ）若个零件中恰有2个次品的概率为，求的最大值点；

（Ⅱ）若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的倍. 已知生产一个一等品可获利元，生产一个二等品可获利元，生产一个次品会亏损元，当每个零件平均获利低于元时，需对设备进行技术升级. 当满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？

【19题答案】

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）设次品的个数为随机变量，由题意知， 求得， 利用导数求得其最大值．；

（Ⅱ）由已知得出生产一人零件获得的概率，利用随机变量分布列的均值公式计算出期望（均值），由这个期望求得的范围．

【详解】解：（Ⅰ）设次品的个数为随机变量，由题意知，

所以，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在时，取得最大值，即.

（Ⅱ）设生产一个零件可获利元，由题意知

，，，

所以.

解得

因为，所以.

因此，当时企业需对该设备进行技术升级.

20. 在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市，城市进行两场比赛. 根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响. 规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.

（1）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；

（2）求两场比赛甲队得分的分布列.

【20题答案】

【答案】（1）；（2）分布列见解析.

【解析】

【分析】(1) 甲队在城市比赛负、在城市比赛负的事件分别记为、，求出、，然后将甲队恰好负一场的事件用、表示即可作答；

(2)写出甲队得分为随机变量的可能值，再求出对应的概率，列出表格即得.

【详解】（1）设甲队在城市比赛负的事件为，甲队在城市比赛负的事件为，

由题意可知， ，

甲队恰好负一场的事件是与的和，它们互斥，

所以；

（2）由题意可知，随机变量的所有可能值是，

，，，

，，，

则的分布列为

21. 已知函数.

（1）若是的极大值点，求的值；

（2）讨论的单调性.

【21题答案】

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】(1)求出函数的导函数，由求出a值并验证作答；

(2)对(1)中导函数的分子构成的二次函数，按其零点有无及零点分布情况分类讨论即可作答.

【详解】(1)，

若在处取得极大值，则，即，

当时，，

当时，，当时，，于是有在处取得极大值，

所以；

（2），

方程中，，

（ⅰ）当，即时，，，在上单调递减，

（ⅱ）当，即时，方程有两根为，　

①当时，，

当时，，则在上单调递增，

当或时，，则在上单调递减，

②当时，，

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减.

综上，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时，在上单调递增，在上单调递减.

22. 已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，，求的取值范围.

【22题答案】

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）求出导函数，计算导数值处切线斜率，求得，由点斜式写出直线方程并整理；

（Ⅱ）注意到，求出导函数，对再求导，确定的正负，得出的单调性，得出的参数范围．

【详解】解：（Ⅰ），，

所以，，

所以在点处的切线方程为，即.

（Ⅱ），令，     

，令，

（ⅰ）当时，，则，所以在上单调递减，

所以，即，所以在上单调递减，

所以，不满足题意；

（ⅱ）当时，在上单调递增，

①若，当时，，即，所以在 上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，所以当时，，不满足题意；

②若，，则，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，

所以，满足题意.

综上可知，.

【点睛】本题考查用导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是问题的转化，不等式恒成立转化为函数的最值满足相应的不等关系．因此需要分类讨论确定的正负得单调性、最值．解题时需要对导函数再求导，以确定导函数的单调性、零点．