2021-2022学年福建省三明市建宁县城关中学片区八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省三明市建宁县城关中学片区八年级（下）第二次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列图案是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

3. 下列等式不成立的是

A.  B.
C.  D.

4. 已知，则下列四个不等式中，不正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，，，将绕点顺时针旋转角度得到，旋转角为若点落在上，则旋转角的大小是

A.
B.
C.
D.

6. 设，则的值是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连结若，则的大小为

A.
B.
C.
D.

8. 多项式与多项式的公因式是

A.  B.  C.  D.

9. 若分式方程有增根，则等于

A.  B.  C.  D.

10. 关于的不等式只有一个负整数解，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是______．
12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位，再向左平移个单位，所得到的点的坐标为______．
13. 如图，在中，，平分，且，，则点到边的距离是______．
    
     

14. 若分式有意义，则的取值范围为______．
15. 分解因式： ______ ．
16. 如图，在中，，过点作于点，，，点、分别是、上的任意一点，连接、，则的最小值为______．
     

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 解方程：；
    因式分解：．
18. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
19. 先化简，再在，，中选取一个适当的数代入求值．
20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    作向右平移个单位后的；
    作关于点成中心对称的．

21. 如图，已知，，与相交于，是的中点，求证：．
     

22. 如图，已知长方形．
    请在长方形内部确定一点，使得是等腰直角三角形；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    根据作图过程，说明是等腰直角三角形的理由．

23. 我市是福建省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天．
    求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数；
    某茶厂计划一天采摘鲜叶斤，该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为元，付给新手采茶工人每人每天的工资为元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？
24. 设
    化简；
    当时，记此时的值为；当时，记此时的值为；
    解关于的不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
     
25. 已知：如图，，，三点在一条直线上，和均为等腰直角三角形，，连接，，与的延长线交于点．
    与有怎样的位置关系？并说明理由；
    探究：将图中的绕点顺时针旋转一个角度旋转角小于，如图所示．
    问：中的结论还成立？若成立，请说明理由；
    连接，如图所示，求证：平分．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】解：根据中心对称的性质，得点关于原点中心对称的点的坐标为．
故选：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是据此作答．
此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
 

3.【答案】

【解析】解：、，故本选项正确；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：．
由平方差公式，提公因式以及完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案．
此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解，注意分解要彻底．
 

4.【答案】

【解析】解：、，
，故选项A不合题意；
B、，
，故选项B不合题意；
C、，
，故选项C不合题意；
D、，
，故选项D符合题意；
故选：．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

5.【答案】

【解析】解：，，
，
绕点顺时针旋转角度得到，
，，
是等边三角形，
，即旋转角的大小可以是，
故选：．
由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：原式，
，
原式．
故选D．
首先把分式进行通分，然后把整体代入，即可解答．
本题主要考查分式的减法，整体法代入在解题中很重要的．
 

7.【答案】

【解析】解：的边的垂直平分线交边于点，交边于点，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得出，推出，根据三角形外角的性质得出即可．
本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质等知识点，能根据线段垂直平分线的性质得出是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
多项式与多项式的公因式是：．
故选：．
分别利用公式法分解因式，进而得出公因式．
此题主要考查了公因式，正确分解因式是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
关于的不等式只有一个负整数解，
，
故选：．
正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件即可；
本题考查一元一次不等式的整数解问题，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
 

11.【答案】同位角相等，两直线平行

【解析】解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

12.【答案】

【解析】解：点向上平移个单位，再向左平移个单位，
所得到的点的横坐标是，
纵坐标是，
所得点的坐标是．
故答案为．
根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

13.【答案】

【解析】解：过作于，
，
，
平分，
，
，

点到边的距离是，
故答案为：．
过作于，根据角平分线的性质得到，即可求出点到边的距离．
本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点角两边的距离相等是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：依题意得，即时，分式有意义．
故答案是：．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
【解答】
解： ，
  ，
．   

16.【答案】

【解析】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，
，，于，
，平分，
在上，
，
，，
，
关于的对称点，
，
，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是，
故答案为：．
作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三线合一定理求出的长和平分，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案．
此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出的长是解此题的关键．
 

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
原式
．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握分式方程的解法及因式分解的方法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，，
，，
把代入得：原式．

【解析】此题只需先进行分式运算得到最简结果，再挑选出一个使分式有意义的值代入求得结果即可．
本题考查了分式的化简求值．注意：取适当的数代入求值时，要特别注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用中心对称变换的性质，分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】先利用证明≌，再利用证明≌即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握利用和证明三角形全等，此题难度不大．
 

22.【答案】解：如图，即为所求．


垂直平分线线段，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形．

【解析】作垂直平分线段，垂足为，在上截取，连接，，即为所求．
证明，即可．
本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤；
设一天安排名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为元，
则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，
依题意得：，
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，有最小值，
则名．
答：茶厂一天应安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少．

【解析】设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，由题意：每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天．列出分式方程，解方程即可；
设一天安排名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为元，依题意得：，再由一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
 

24.【答案】解：




；

时，，
时，，
时，，

，
即
，
，
，
解得，，
原不等式的解集是，在数轴上表示如下所示，
．

【解析】根据分式的除法和减法可以解答本题；
根据中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．
本题考查分式的混合运算、在数轴表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和解不等式的方法．
 

25.【答案】解：，理由：
，是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
；

中结论仍然成立，理由：
，是等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
；

如图，过点作于，于，
由知，≌，
，，
，
，
，，
点在的平分线，
平分．

【解析】先判断出≌，得出，即可得出结论；
同的方法，即可得出答案；
过点作于，于，由知，≌，得出，，进而判断出，即可得出答案．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，判断出≌是解本题的关键．