2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 如图，直线与的一边相交得，则与是

A. 对顶角
B. 同旁内角
C. 内错角
D. 同位角

2. 如果是关于、的二元一次方程，那么

A.  B.  C.  D.

3. 下面情况中，可以看成平移的是

A. 旗帜随风摇摆 B. 碟片在光驱中运行
C. 把打开的书本合上 D. 急刹车时汽车在地面上的滑动

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，直线，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡速度为每小时千米，平路速度为每小时千米，下坡速度为每小时千米，那么从甲地到乙地需分钟，从乙地到甲地需分钟．问：从甲地到乙地全程是多少千米？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数、，已经列出一个方程为，那么另一个方程是

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法正确的是

A. 同位角相等
B. 一条直线有无数条平行线
C. 在同一平面内，两条不相交的线段是平行线
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行

8. 已知关于的方程组和的解相同，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 已知，其中，，均为同号的实数，那么

A.  B.  C.  D.

10. 将正方形和正方形按如图所示放入长方形中，，，若两个正方形的重叠部分长方形甲的周长为，则下列无法确定的选项为

A. 乙的周长 B. 丙的周长 C. 甲的面积 D. 乙的面积

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 如果把方程写成用含的代数式表示的形式，那么______．
12. 若是方程的一个解，则______．
13. 若，，则______．
14. 如图，是由通过平移得到，且点、，、在同一条直线上，如果，那么这次平移的距离是______．

15. 已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为______．
16. 将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图，，，设
    
    ______用含的代数式表示
    若将图继续沿折叠成图，______用含的代数式表示．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 解方组：
    ；
    ．
18. 已知、满足代数式：，求代数式的值．
    已知代数式化简后，不含项和常数项．求，的值．
19. 如图，已知点在上，点，在上，，．
    求证：；
    若，，求的度数．

20. 某商场计划用万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为型元台，型元台，型元台．
    若该商场恰好用万元从该厂家购进台两种不同型号的电视机，请你研究一下该商场的进货方案；
    已知该商场销售型电视机可获利元台，销售型电视机可获利元台，销售型电视机可获利元台，在条件下，你将选择哪种方案，使得销售获利最多？
21. 如图，已知，点是直线、之间的任意一点．锐角和钝角的平分线所在直线相交于点与交于点．
    当和时，求的度数；
    若，，求的度数用含的代数式表示．

22. 阅读理解：若满足，求的值．
    解：设，．
    则，，．
    解决问题：
    若满足求的值；
    如图，在矩形中，，，点、是、上的点，且分别以、为边在矩形外侧作正方形和，若矩形的面积为平方单位，求图中阴影部分的面积和．

23. 如图，，相交于点，，．
    求证：；
    若，求的度数；用含的式子表示
    若点在上，连接，平分交于点，如备用图所示，求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：直线与的一边相交得，
与是同位角．
故选：．
根据对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．
此题主要考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是掌握对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义．
 

2.【答案】

【解析】解：是关于、的二元一次方程，
，
解得，
故选：．
根据二元一次方程的定义可得到关于、的方程，可求得答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程．
本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的未知项的次数为是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：旗帜随风摇摆，可以看作是旋转，因此选项A不符合题意；
B.碟片在光驱中运行，可以看作是旋转，因此选项B不符合题意；
C.把打开的书本合上，可以看作是旋转，因此选项C不符合题意；
D.急刹车时汽车在地面上的滑动，可以看作是平移，因此选项D符合题意；
故选：．
根据平移、旋转的定义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查生活中的平移现象，掌握平移的定义是正确判断的前提．
 

4.【答案】

【解析】解：：原式，故A符合题意；
：原式，故B不符合题意；
：原式，故C不符合题意；
：原式，故D不符合题意；
故选：．
根据积的乘方、整式的乘法、完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查积的乘方、整式的乘法、完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
 

5.【答案】

【解析】解：过作直线，
直线，
，，
，
，
故选：．
过作直线，推出，根据平行线性质得出，，根据，求出，即可得出答案．
本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线．
 

6.【答案】

【解析】解：设甲地到乙地的上坡路长，平路长，
根据题意得：．
故选B．
设甲地到乙地的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合从甲地到乙地需分钟已经列出一个方程，再根据从乙地到甲地需分钟，即可得出关于，的另一个二元一次方程．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、一条直线有无数条平行线，原说法正确，故此选项符合题意；
C、在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理逐个判断即可．
本题考查了同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理，掌握同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：原方程组可化为：，
，得，
把代入，得，
把，代入，得，
，得，
把代入，得，
，
故选：．
原方程组可化为：，用加减消元法解出、，把，代入其它方程组成新的方程组，，用加减消元法解出、，代入计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，，



，
，，均为同号的实数，
，即．
故选：．
根据作差法即可比较与的大小．
本题考查了整式的加减，规律型：数字的变化类，关键是根据作差法将变形为的形式．
 

10.【答案】

【解析】解：设正方形和正方形的边长分别为和，
则甲的长和宽为：，；丙的长和宽为：，；乙的长和宽为：，；
甲的周长为，
，
，
乙的周长为：，
丙的周长为：，
甲的面积为：，
乙的面积为：，
故选：．
设正方形和正方形的边长分别为和，表示出甲，乙，丙的长和宽，根据甲的周长求出，进而表示出四个选项，即可得．
本题以矩形的面积和周长为背景考查了列代数式和代数式的求值，在每个字母未知时，采用整体代入是解决本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：方程，
解得：，
故答案为：
把看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
 

12.【答案】

【解析】解：将代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
将代入方程得出关于的方程，解之可得．
本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
 

13.【答案】

【解析】解：原式
，
，，
原式
，
故答案为：．
根据同底数幂的乘法，可得幂的乘方，根据幂的乘方，可得答案．
本题考查了幂的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：是由通过平移得到，
，
，
，，
．
故答案为：．
根据平移的性质可得，然后列式其解即可．
本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：关于、的二元一次方程组的解为，
关于、的二元一次方程组中，
解这个关于、的方程组得：．
故答案为．
首先利用整体代值的数学思想可以得到与的值，然后解关于、的方程组即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的解，同时也利用了整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，
，，
又，
，
又，
，
又，


如图所示：

，
，
又，


，
故答案为．
由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得，，最后计算出；
由折叠和平角的定义求出，再次折叠经计算求出．
本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．
 

17.【答案】解：将代入，
得，
解得，
将代入，
原方程组的解为：；
原方程组变形为，
由得，
由得，
，得，
将代入，得，
解得，
原方程组的解为：．

【解析】将代入，解出的值，再代入，解出的值，即可确定方程组的解；
先将原方程组变形为，再去分母，得，，根据，求出的值，代入求出的值，即可确定原方程组的解．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
 

18.【答案】解：

，
，
，，
，，
当，时，
原式

；



，
化简后不含项和常数项，
且，
解得：．

【解析】先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，求出、的值，最后代入求出答案即可；
先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据已知化简后不会和常数项得出且，再求出、即可．
本题考查了绝对值、偶次方的非负性和整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】证明：，，，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
．

【解析】根据，，结合对顶角相等可得，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
根据同旁内角互补可判定，结合可求解的度数，根据平行线的性质可得，即可求解．
本题主要考查平行线的性质与判定，垂线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
 

20.【答案】解：设购进型电视机台，型电视机台，
由题意得：，
解得：，
即购进型电视机台，型电视机台；
设购进种电视机台，种电视机台．
由题意得：，
解得：不合题意，舍去此方案，
设购进种电视机台，种电视机台．
由题意得：，
解得：，
即购进种电视机台，种电视机台；
商场有种进货方案：
、两种型号的电视机各购台；
种型号的电视机购台，种型号的电视机购台；
方案获利为：元；
方案获利为：元，
，
为使获利最多，应选择第种进货方案：种型号的电视机购台，种型号的电视机购台．

【解析】根据两种电视是，，三种情况进行讨论，分别设出未知数，列出二元一次方程组求解即可；
分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过点作，

锐角和钝角的平分线所在直线相交于点，，，
，，
，
，，
，
，，
．
如图，
，
，
，

，
．

【解析】过点作，由角平分线的定义可得，，，由平行的传递可得，，所以，，则．
由，可得，所以，因为所以，结合角平分线的性质可知，．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，则，
而，


；
由，，，则，，
矩形的面积为平方单位，
，
，
设，，则，，
，



，
即阴影部分的面积为．

【解析】根据题目提供的解题方法进行计算即可；
设，，则，，求出即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是解决问题的前提．
 

23.【答案】证明：，
，
，
．
解：过做，使

，
，
，
，
，
，
．
证明：过点作、的平行线，

，
，
，
，
且，
，
又平分，
．

【解析】通过计算，由平行线的判定内错角相等两直线平行即可证明．
由计算即可求出．
通过作辅助线，由平行线的性质以及三角形的有关性质即可证明．
本题主要考查平行线的判定及性质，三角形的性质，本题的关键是作辅助线，利用平行线的性质．