2021-2022学年福建省南平市建阳区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省南平市建阳区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在，，，中最简二次根式的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 下列各命题的逆命题成立的是(    )

A. 如果两个数相等，那么它们的平方相等
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 全等三角形的对应角相等
D. 等边三角形是锐角三角形

6. 在▱中，有两个内角的度数比为：，则这个平行四边形中较大的内角是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在中，，，，点是的中点，连接，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列各组图形中，对角线互相平分且相等的是(    )

A. 矩形与正方形 B. 菱形与矩形
C. 平行四边形与菱形 D. 菱形与正方形

9. 如图，由一系列直角三角形组成的螺旋，如图，则第个直角三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形边长为，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为(    )

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共8小题，共26分）

11. 计算：______．
12. 若菱形的对角线长为和，则菱形的边长为______．
13. 若，则______．
14. 如图，平面直角坐标系中，，内一个动点到这个角两边距离之和为，则图中四边形的周长是______．

15. 如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点到点，最短的路程是______厘米．保留

16. 如图，在▱，点在上，以为折痕，把向上翻折，点恰好落在上的点处，若的周长为，若的周长为，则线段的长为______其中，答案用含，的式子来表示．
17. 若实数，，满足，且，求______．
18. 如图，在正方形中，点为对角线的中点，点为边上一点，于点，，，则正方形的面积为______．

三．解答题（本题共9小题，共84分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 已知，，求下列代数式的值：
    ；
    ．
21. 若、、为的三边长，且、、满足等式，求的面积．
22. 如图，在▱中，点，分别在，上，且．
    求证：四边形是平行四边形．

23. 如图，在正方形中有一个点，使三角形是正三角形，
    求：的大小 
    的大小．

24. 如图，在四边形中，，，，分别是，，，上的中点，，求四边形的周长．

25. 如图，矩形的对角线相交于点，，．
    求证：四边形是菱形；
    若，菱形面积是，求线段的长．

26. 如图，，分别是矩形的边，上的点，．
    求证：；
    若，的面积为，求线段的长．

27. 如图，以的三边为边，在的同侧作三个等边三角形，即、、．
    判断四边形的形状，并证明你的结论；
    当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由；
    当满足什么条件时，四边形是菱形？请直接写出结果，不必证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件；列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知被开方数具有非负性是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用二次根式的化简进行求解即可．
本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，
的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
即最简二次根式的个数是个，
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形；
B、，能构成直角三角形；
C、，不能构成直角三角形；
D、，能构成直角三角形．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立，不符合题意；
B、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题；
C、逆命题为对应角相等的两三角形全等，不成立，不符合题意；
D、逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意．
故选B．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
对角相等，邻角互补，
有两个内角的度数比为：，
▱中较大的内角是：．
故选：．
由▱中，有两个内角的度数比为：，可得此两角互补，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握平行四边形对角相等，邻角互补．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
点是的中点，
，
故线段的长为，
故选：．
根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直，
平行四边形的对角线互相平分，正方形的对角线互相平分且相等且互相垂直，
对角线互相平分且相等的是矩形与正方形，
故选：．
根据矩形对角线的性质，菱形对角线的性质，平行四边形对角线的性质，正方形对角线的性质进行判断即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，，，，，
，


，
则，
，
故选：．
根据勾股定理，可以求得的值，然后根据三角形的面积，可以发现面积的变化特点，然后即可得到的值．
本题考查勾股定理、图形的变化类、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，发现三角形面积的变化特点．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
点与关于直线对称，
连接，交于，连接，即为所求的点，
则的长即为的最小值，
是线段的垂直平分线，
又，
在中，，
故选：．
由正方形的对称性可知点与关于直线对称，连接交于点，即为所求在中利用勾股定理即可求出的长即可．
本题考查的是轴对称最短路线问题及正方形的性质，先作出关于直线的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出点在上是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为．
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，，，
四边形是菱形，
，，，
，
故答案为：．
首先根据题意画出图形，然后由平行四边形的性质，可得、的长，又因为，继而利用勾股定理，求得这个菱形的边长．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据勾股定理求的值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
当时，原式．
首先把所求的式子化成的形式，然后代入求值．
本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求式子进行变形是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
四边形是矩形，
，
四边形的周长．
故答案为：．
根据矩形的判定可判断此四边形为矩形，根据矩形的周长公式即可求解．
本题主要考查了点到直线的距离，矩形的性质和判定，熟记“有三个角是直角的四边形是矩形”是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，
，，
，
故答案为：．
沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程．
 

16.【答案】 

【解析】解：的周长为，的周长为，
，，
向上翻折，点恰好落在上的点处，
，，
，即，
，
四边形是平行四边形，
，，
得：，
，
，
，
．
故答案为：．
根据的周长为，的周长为，可得，，由向上翻折，点恰好落在上的点处，即得，，根据四边形是平行四边形，，故CF．
本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及平行四边形的性质．
17.【答案】 

【解析】解：，
，
由得到，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由可得，代入得到，再配方后根据非负数的性质求出，，进一步得到，再代入计算即可求解．
此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，过点作交于点，

四边形是正方形，为的中点，，为对角线，
为对角线的交点，
在正方形中，，，
，
，，
，
，
，
，且，
，
在与中，
，
≌，
，，
是直角三角形，
，
，
在中，
，
正方形的面积为．
故答案为：．
连接，过点作交于点，证明≌，得，，即知，，在中，，故正方形的面积为．
本题考查正方形性质，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

19.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
先根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

20.【答案】解：，，
，


；
，，
，



． 

【解析】根据，，可以得到的值，然后即可计算出的值；
根据，，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
 

21.【答案】解：，
，，，
解得，，，
，
是直角三角形，
的面积． 

【解析】首先根据非负数的性质可得、、的值，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．
此题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理以及三角形的面积，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

22.【答案】证明：四边形平行四边形，
．
又，
．
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】在▱中，，又，可得，得出平行且等于，根据平行四边形的判定，可得出四边形是平行四边形．
此题主要要掌握平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：因为四边形为正方形，
所以，，
因为是正三角形，
所以，，
所以，，
所以．
因为，
所以，
同理，，
所以． 

【解析】根据正方形的性质和正三角形的性质、以及角的和差关系可求的度数，再根据等腰三角形的性质可求的大小；
根据正方形的性质得到，同理，，再根据三角形内角和定理可求的大小．
考查了正方形的性质和正三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟练掌握角的和差关系．
 

24.【答案】解：，，，分别是，，，上的中点，，．
，，，，
四边形为平行四边形，
四边形的周长为． 

【解析】利用三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形即可解决问题；
本题考查中点四边形，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又
四边形是菱形；

解：连接交于，

由可知四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
菱形面积是，
，
解得：负数舍去，
，
在中，，
． 

【解析】根据矩形的性质得出，，，求出，再根据菱形的判定定理得出即可；
连接交于，根据矩形的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，求出，求出，根据菱形面积是得出，求出，求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了菱形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的平行和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定定理是解此题的关键．
 

26.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：四边形是矩形，，
，，
由可知，，
的面积，
的面积为，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
． 

【解析】根据矩形的性质可得，再由全等三角形的判定与性质可得结论；
由矩形的性质及三角形的面积公式可得，再根据勾股定理可得答案．
此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

27.【答案】四边形是平行四边形，
证明：、、都是等边三角形，
，，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
；
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形．
解：当时，四边形是矩形，
理由：、都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
解法一：当，且时，四边形是菱形，
理由：、都是等边三角形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
当时，则，此时构不成四边形，
，
当，且时，四边形是菱形．
解法二：当，且时，四边形是菱形，
理由：、都是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
当时，则，此时构不成四边形，
，
当，且时，四边形是菱形． 

【解析】由、、都是等边三角形得，，，，则，，即可证明≌，≌得，，即可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形；
因为四边形是平行四边形，所以当时，四边形是矩形，而，显然需满足这一条件，才能使四边形是矩形；
因为四边形是平行四边形，所以当时，四边形是菱形，这一条件也可由推得，但应注意，当时，则，此时构不成四边形，所以应该有“”这一附加条件．
此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识，证明≌及≌是解题的关键．