2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷解析版

这是一份2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷解析版，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）实数﹣2022的倒数是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
2．（3分）下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．ab2÷ab＝b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2m4+3m4＝5m8 D．（﹣2a）3＝﹣6a3
4．（3分）数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
6．（3分）在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝43°，则∠2的度数为（　　）

A．57° B．63° C．67° D．73°
8．（3分）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（　　）


A．AF＝5 B．AB＝4 C．DE＝3 D．EF＝8
9．（3分）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 　 　．（只需写出一个条件即可）

13．（3分）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　 　°．
14．（3分）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是 　 　．
15．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝　 　．

16．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　 　．
17．（3分）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，⋯，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是 　 　．

三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；
（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．
19．（5分）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
20．（10分）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　 　，n＝　 　，p＝　 　；
（2）将条形图补充完整；
（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为 　 　°；
（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
组别
锻炼时间（分钟）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤30
50
25%
B
30＜x≤60
m
40%
C
60＜x≤90
40
p
D
x＞90
n
15%

21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．

22．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 　 　米，乙的步行速度是 　 　米/分；
（2）图中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

23．（12分）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝　 　；
（3）当AB＝m，BC＝n时，＝　 　．

剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 　 　．



24．（14分）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　 　；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）实数﹣2022的倒数是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【解答】解：由于﹣2022×（﹣）＝1，
所以﹣2022的倒数是﹣，
故选：D．
2．（3分）下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．ab2÷ab＝b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2m4+3m4＝5m8 D．（﹣2a）3＝﹣6a3
【解答】解：A、原式＝b，符合题意；
B、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
C、原式＝5m4，不符合题意；
D、原式＝﹣8a3，不符合题意．
故选：A．
4．（3分）数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数是＝3，
∵数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，
∴x的值为3．
故选：B．
5．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：由俯视图知最下面一层一定有四个小正方体，
由主视图和左视图知上面一层至少有处在对角的位置上的两个小正方体，
故搭成该几何体的小正方体的个数最少为6个，
故选：C．
6．（3分）在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母一共有10种可能性，其中字母为“s”的可能性有3种，
∴任意选择一个字母，字母为“s”的概率是，
故选：C．
7．（3分）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝43°，则∠2的度数为（　　）

A．57° B．63° C．67° D．73°
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CBA＝∠CAB＝，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+43°＝73°．
故选：D．
8．（3分）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（　　）


A．AF＝5 B．AB＝4 C．DE＝3 D．EF＝8
【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，
∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，
∴AB＝4．
∵×AF•AB＝12，
∴AF＝6，
∴A选项不正确，B选项也不正确；
由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，
∴BC＝2，
由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，
∴CD＝6，
由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，
∴DE＝4．
∴C选项不正确；
∵图①中各角均为直角，
∴EF＝AB+CD＝2+6＝8，
∴D选项的结论正确，
故选：D．
9．（3分）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：设A种食品盒x个，B种食品盒y个，根据题意得：
8x+10y＝200，
∴y＝20﹣0.8x，
∴方程的正整数解为：，，，．
故选：C．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，4），
∴a﹣b+c＝﹣a+c＝4，
∴a＝c﹣4，
∵抛物线与y轴交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴1＜c＜2，
∴﹣3＜a＜﹣2，②正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，③正确．
∵a＝c﹣4，
∴ax2+bx+a＝m﹣4可整理为ax2+bx+c＝m，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
∴m＜4时，抛物线与直线y＝m有两个不同交点，④错误．
由图象可得x＜﹣1时y随x增大而增大，
∴⑤错误．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 　1.076×107　．
【解答】解：10760000＝1.076×107．
故答案为：1.076×107．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 　AB＝CD（答案不唯一）　．（只需写出一个条件即可）

【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
13．（3分）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　216　°．
【解答】解：圆锥的底面圆的半径为：＝3，
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
则2π×3＝，
∴n＝216，
∴圆锥侧面展开图的圆心角为216°，
故答案为：216．
14．（3分）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是 　m＞0且m≠1　．
【解答】解：，
给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，
去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，
解方程，得x＝m+1，
检验：当
m+1≠2，m+1＝﹣2，
即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m+1＞1，
∴m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
15．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝　﹣4　．

【解答】解：连接OA，如图所示：

∵AB⊥y轴，
∴AB∥OC，
∵D是AB的中点，
∴S△ABC＝2S△ADO，
∵S△ADO＝，△ABC的面积为4，
∴|k|＝4，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　3+3或3﹣3　．
【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，
过点A作AD⊥BC于点D，如图，

∵AB＝3，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD+CD＝3+3；
②当△ABC为钝角三角形时，
过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，

∵AB＝3，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；
综上，BC的长为3+3或3﹣3．
17．（3分）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，⋯，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是 　（）2022　．

【解答】解：∵y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
∵BC1⊥l，
∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，
∴BC1＝＝2，
∵B1C1⊥x轴，
∴∠B1C1B＝30°，
∴B1C1＝＝，
同理可得，B2C2＝C1＝（）2，
依此规律，可得Bn∁n＝（）n，
当n＝2022时，B2022C2022＝（）2022，
故答案为：（）2022．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；
（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．
【解答】解：原式＝1+（2﹣）
＝1+9+
＝12；
（2）原式＝xy（x2﹣6x+9）
＝xy（x﹣3）2．
19．（5分）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
20．（10分）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　80　，n＝　30　，p＝　20%　；
（2）将条形图补充完整；
（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为 　72　°；
（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
组别
锻炼时间（分钟）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤30
50
25%
B
30＜x≤60
m
40%
C
60＜x≤90
40
p
D
x＞90
n
15%

【解答】解：（1）由题意可知，样本容量为50÷25%＝200，
故m＝200×40%＝80，n＝200×15%＝30，p＝，
故答案为：80；30；20%；
（2）将条形图补充完整如下：

（3）C组所对应的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）2000×（20%+15%）＝700（人），
答：校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有700人．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：如图1，连接BD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△DCB和△FCB中，
，
∴△DCB≌△FCB（SAS），
∴∠F＝∠CDB＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ABF+∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，
∵AB为直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，

∵AB是直径，
∴AE⊥BC，AD⊥BD，
∵∠BAC＝45°，AD＝4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，
∴BM＝BD＝×4＝2，
∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE
＝﹣××2
＝．
22．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 　1200　米，乙的步行速度是 　60　米/分；
（2）图中a＝　900　，b＝　800　，c＝　15　；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

【解答】解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200，
∴A、B两地之间的距离是1200米；
由图象知：乙经过20分钟到达A，
∴乙的速度为＝60（米/分）．
故答案为：1200；60；
（2）由图象知：当x＝时，y＝0，
∴甲乙二人的速度和为：1200÷＝140（米/分），
设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分，
∴140﹣x＝＝60，
∴x＝80．
∴甲的速度为80（米/分），
∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，
∴c＝1200÷80＝15（分钟），
∴a＝60×15＝900（米）．
∵点M的实际意义是经过20分钟乙到达A地，
∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；
故答案为：900；800；15；
（3）由题意得：M（15，900），N（20，800），
设直线MN的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝﹣20x+1200；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．理由：
①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米），
∴1120÷140＝8（分钟）；
②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米），
∴1280÷140＝（分钟）．
综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．
23．（12分）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝　　；
（3）当AB＝m，BC＝n时，＝　　．

剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 　　．



【解答】解：转一转：（1）结论：GH＝CE．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CBE＝90°，
∵AB＝CB，BF＝AB，BE＝BC，
∴BF＝BE，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
∵DG＝GA，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE；

（2）如图③中，连接AF．

∵BF＝AB，BE＝BC，
∴＝，'
∴＝，
∵∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝，
∴AF＝CE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE，
∴＝．
故答案为：．

（3）当AB＝m，BC＝n时，同法可证△ABF∽△CBE，
∴＝＝，
∴AF＝CE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE，
∴＝．
故答案为：．

剪一剪、折一折：如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．

∵PM平分∠APN，
∴∠MPT＝∠MPN，
由翻折的性质可知MP＝MC，∠C＝∠MPN，
∴∠MPT＝∠C，
∵∠MTP＝∠MRC＝90°，
∴△PTM≌△CRM（AAS），
∴MT＝MR，
∴BM平分∠ABC，
∴∠MBT＝∠MBR＝45°，
∴TB＝TM，BR＝RM，
设TM＝TB＝x，
∵•AB•BC＝•AB•MT+•BC•MR，
∴×2×3＝•x•（2+3），
∴x＝，
∴BR＝MR＝，CR＝BC﹣BR＝3﹣＝，
∴CM＝＝＝．
故答案为：．
24．（14分）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　（1，2）　；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．


【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵AC+BC≥AB，
∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y＝2，
∴C（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），

∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），
∴当a＝时，DE的最大值为；
（4）当CF为对角线时，如图，

此时四边形CMFN是正方形，
∴N（1，1），
当CF为边时，若点F在C的上方，

此时∠MFC＝45°，
∴MF∥x轴，
∵△MCF是等腰直角三角形，
∴MF＝CN＝2，
∴N（1，4），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，

同理可得N（﹣1，2），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，

同理可得N（，），
综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．