2021省大庆铁人中学高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题含答案

  大庆铁人中学2018级高三下学期模拟考试（三）

数学试题（理）

一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．)

1．已知集合，，若，则（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

2．已知为虚数单位，，若为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量， ，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是(    )

A．若，则       B．若，则

C. 若，则    D．若，则或

5.若直线被圆所截弦长最短，则（    ）

A． B． C． D．

6．下列说法：①若线性回归方程为，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；

②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；

③线性回归直线方程必过点；

④抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样，

其中错误的说法是（    ）

A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①④

7.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件，则（    ）

A．         B．           C．      D．

                 7题图                                       8题图                    

8．如图所示，流程图所给的程序运行结果为，那么判断框中所填入的关于的条件是（    ）                                                               A．      B．      C．                  D．

9．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（    ）

A．         B．        C．        D．

10．已知过原点的直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，若以为直径的圆过，且，则该双曲线的离心率是（    ）

A．         B．         C．        D．

11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若对于任意的，，则的值可以为（    ）

A．       B．       C．      D．

12．定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．若一个空间几何体的三视图如图所示，其中，俯视图为正三角形，则其体积等于______．

14．锐角三角形的面积为，内角的对边分别为，若，则________.             13题图

15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）________ 里.

16．四面体的四个顶点都在球O上且，，则球O的表面积为            .

三、解答题(共70分，17-21每题12分，22、23选择一题作答，10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17．（12分）已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

（1）的值；（2）数列中的最大项．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，，点是棱上的点.

（1）证明：平面；

（2）已知，点是上的点，，设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的值.

19．（12分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛．

（1）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；

（2）下午的正式比赛中：

①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数的分布列与数学期望；

②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？

20．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离是4.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点任作直线交抛物线于两点，交直线于点，是的中点，求的值.

21．（12分）已知函数.

（1）求的极值；

（2）证明：.

选做题：请考生在22,、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按照所做的第一个题目计分。

22．（10分）在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．

（1）写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；

（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小．

23.（10分）设函数.

（1）解不等式；

（2）若的最小值为，若实数，满足，求证：.

大庆铁人中学2018级高三下学期模拟考试（三）数学（理）答案  

一、选择题

二、填空题

13．  14． 15．   16．

三、解答题

17．选择条件①：

解：（1）因为的前20项成等差数列，，

      所以解得.所以.

因为数列后11项成公比为的等比数列，所以.

综上，.

（2）的前20项成等差数列， .

所以前20项为递增数列.   即：前20项的最大项为.

数列的后11项成等比数列，，所以后11项是递减数列.

即：后11项的最大项为

综上，数列的最大项为第20项，其值为40.

选择条件②：

解：（1）因为的前20项成等差数列，，

     所以 所以   

因为数列后11项成公比为的等比数列，

，又因为，     所以.

综上，.

（2）的前20项成等差数列， .所以前20项为递减数列.

前20项的最大项为.因为.

i.当时，，

所以当时，.

此时，数列的最大项为第1项，其值为2；

ⅱ.当时，，

后11项的最大项为.

此时，数列的最大项为第21项，其值为18

综上，当时，数列的最大项为第1项，其值为2；

当时，数列的最大项为第21项，其值为18.

选择条件③：

解：（1）因为数列后11项成公比为的等比数列，，

所以，解得.   、所以.

又因为的前20项成等差数列，，

所以.

综上，.

（2）的前20项成等差数列， .所以前20项为递减数列.

前20项的最大项为.

的后11项成等比数列，而，，

，

所以后11项为递增数列.后11项的最大项为

综上，数列的最大项为第30项，其值为10240.

18．（1）因为底面四边形是正方形，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面，

因为，平面，平面平面，

所以平面.

（2）由已知及（1）可知，，，

以为原点，，，的方向分别作为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，所以，，，，

，，

得，，，

设平面的法向量为，则由，得

，即，

取，得.

易知平面和平面的一个法向量分别为和.

所以，

，

由，得，

解得.

19．（1）；（2）①分布列见解析；期望为；②“5局3胜制”更有利；比赛局数越多，对水平高的选手越有利．

【详解】

（1）甲恰好胜2局的概率为．

（2）①甲所胜局数x可取0，1，2．

，

，

，

∴甲所胜局数x的分布列为

．

②采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为

，

采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为

．

对甲而言，显然“5局3胜制”更有利，

由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利，

20．（1）；（2）.

【详解】

解：（1）因为①，且点在抛物线上，所以②.

由①②得，所以抛物线的方程为.

（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为零，

设点在准线上的投影分别为，，，，，

所以，

∴.

设直线的方程为，代入，得.

设，，则，.

在中，令，得，即.

所以，

即，

所以，

即，∴，

所以.

21．（1）解：的定义域为，

，

在上单调递增，且.

令，得，则的单调递减区间为；

令，得，则的单调递增区间为.

时，取得极小值，极小值为2，无极大值。

（2）证明：设.

令，得；令，得或.

所以当时，取得极大值，且极大值为2，

由（1）知，，故当时，.

设，

，设，

设，易知在上单调递增，

则，则在上单调递增，

从而，则在上单调递增，

则，从而在上单调递增，

所以，故当时，，

从而得证.

22．（1）（为参数）；；（2）点的坐标为．

【详解】

解：（1）由题意，曲线的参数方程为，经过伸缩变换后，曲线的参数方程为，

由得：，

化为直角坐标方程为，

所以，曲线的参数方程为，

直线的直角坐标方程为．

（2）设，

点到直线的距离为，

（其中，，），

当时，即，时，点到直线的距离取到最小值，

此时，，，

，，

所以，点的坐标为．

23．(1) (2)见证明

（1）

当时，，不等式无解

当时，，不等式的解为

综上所述，原不等式的解集为

（2）由（1）易得的最小值为，于是

，

当且仅当，取“”号