2021济宁高三下学期5月第二次模拟考试数学试题含答案
展开济宁市2021届高三下学期5月第二次模拟考试
数学试题
2021.5
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时.选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则( ).
A. B. C. D.
2.已知,为虚数单位,则( ).
A. B.1 C.2 D.
3.“直线垂直平面内的无数条直线”是“”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必安条件
4.已知随机变量服从正态分布,若,则( ).
A. B. C. D.
5.已知椭圆,过点的直线交椭圆于、两点,若为的中点,则直线的方程为( ).
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知点和点.若点在的角平分线上,且,则( ).
A. B. C.2 D.6
7.已知函数,若,则的最小值是( ).
A. B. C. D.
8,“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如在平面直角坐标系中,点,的曼哈顿距离为:.若点,点为圆上一动点,则的最大值为( ).
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知,,下列不等式恒成立的有( ).
A. B.
C. D.
10.函数,则下列说法正确的是( ).
A.若,则
B.函数在上为增函数
C.函数的图象关于点对称
D.函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到
11.已知是定义在上的偶函数,,且当时,,则下列说法正确的是( ).
A.是以4为周期的周期函数
B.
C.函数的图象与函数的图象有且仅有3个交点
D.当时,
12.如图,直四棱柱中,底面为平行四边形,, ,点是半圆弧上的动点(不包括端点),点是半圆弧上的动点(不包括端点),则下列说法止确的是( ).
A.四面体的体积是定值
B.的取值范围是
C.若与平面所成的角为,则
D.若三棱锥的外接球表面积为,则
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知的展开式中各项的二项式系数的和为128,则这个展开式中项的系数是______.
14.已知,则______.
15.设双曲线的左、右焦点分别为、,过点的直线分别与双曲线的左、右支交于点、,若以为直径的圆过点,且,则该双曲线的离心率为______.
16.设函数,,若存在,使得成立,则,的最小值为1时,实数______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在①;②;③;
三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.
问题:已知的内角,,所对应的边分别为,,,若,______.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)
已知数列是正项等比数列,满足是,的等差中项,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
19.(12分)
甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛,比赛采取五局三胜制,约定先胜三局者获胜,比赛结束.假设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛相互独立.
(1)求甲获胜的概率;
(2)设比赛结束时甲和乙共进行了局比赛,求随机变景的分布列及数学期望.
20.(12分)
如图,四边形是矩形,平面平面,为中点,,,.
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
21.(12分)
己知抛物线,过点作两条互相垂直的直线和,交抛物线于,两点,交抛物线于、两点,当点的横坐标为1时,抛物线在点处的切线斜率为.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)已知为坐标原点,线段的中点为,线段的中点为,求面积的最小值.
22.(12分)
已知函数,,.
(1)当时,判断函数在定义域内的单调性;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
2021年高考模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
2021.5
说明:(1)此评分标准仅供参考;
(2)学生解法若与此评分标准中的解法不同,请酌情给分.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1-8:CABDBACD
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9. AD 10.AC 11.ACD 12.BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
l3.84 14. 15. 16.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:(1)若选①:因为,
所以由正弦定理得,整理得,
所以,
因为,所以.
若选②:因为,所以,
即,
因为,所以.
若选③:因为,所以,
即,
解得或,
因为,所以.
(2)因为,由正弦定理得,
因为,所以,
所以.
18.解:(1)设数列的公比为,
因为是,的等差中项,
所以,即,
因为,所以,解得或,
因为数列是正项等比数列,所以.
因为,即,解得,
所以.
(2)解法一:(分奇偶、并项求和)
由(1)可知,,
所以,,
①若为偶数,
②若为奇数,
当时,,
当时,适合上式,
综上得(或,).
解法二:(错位相减法)
由(1)可知,,
所以,,
所以
所以
所以,.
19.解:(1)由已知得,比赛三局且甲获胜的概率,
比赛四局且甲获胜的概率为,
比赛五局且甲获胜的概率为,
所以甲获胜的概率为.
(2)随机变量的取值为3,4,5,
则,
,
,
所以随机变量的分布列为
3 | 4 | 5 | |
所以.
20.解:(1)因为,为中点,所以,
因为是矩形,所以,
因为平面平面,平面平面,
平面,所以平面,
因为平面,所以,
又,平面,,
所以平面,
又平面,所以平面平面.
(2)由(1)知,平面,
故以点为坐标原点,分别以,的方向为轴、轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,
所以,,,,
由(1)知,为平面的一个法向量,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,
所以,
所以,
因为二面角为锐角,则二面角的余弦值为.
21.解:(1)因为可化为,所以.
因为当点的横坐标为1时,抛物线在点处的切线斜率为,
所以,所以,
所以,抛物线的标准方程为.
(2)解法一:由(1)知点坐标为,
由题意可知,直线和斜率都存在且均不为0,
设直线方程为,
由联立消去并整理得,,
,
设,,则,,
所以,,
因为为中点,所以,
因为,为中点,所以,
所以,直线的方程为
整理得,
所以,直线恒过定点.
所以面积,
当且仅当即时,面积取得最小值为8.
(2)解法二:由(1)知点坐标为,
由题意可知,直线和斜率都存在且均不为0,
设直线方程为,
由联立消去并整理得,,
,
设,,则,,
所以,,
因为为中点,所以,
因为,为中点,所以,
所以,直线的方程为,
整理得.
所以,点到直线的距离为,
又,
所以面积
.
当且仅当,即时,面积取得最小值为8.
22.解:(1)当时,,
所以,
令,则,
若,则;若,则,
所以函数在上为增函数,在上为减函数,
则,即,仅在时,,
所以,函数在内为减函数.
(2)方法一:因为,,,
若恒成立,即对任意的,恒成立,
即对任意的,恒成立,
令,
所以,
令,则,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,,
若,即时,,与矛盾,
若,即时,,
令得,为增函数,
令得,为减函数,
则,即对任意恒成立,
所以,若恒成立,则.
方法二:因为,,,
若恒成立,即对任意的,恒成立,
即对任意的,恒成立,
即,
令,则,
所以,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,,
若对任意恒成立,
则恒成立.
设,,则,
所以,当时,单调递增,
所以,,
所以,若恒成立,则.
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