2021山西省高三下学期4月高考考前适应性测试（二模）数学（理）含答案

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试题类型：A

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x∈Z||x|－2<0}，B＝{x|x2－x－2≤0}，则A∩B＝

A.{0}     B.{－1，0，1}     C.{x|－1≤x<2}     D.{x|－2<x≤2}

2.已知i为虚数单位，复数z满足zi＝2＋i，则|z|＝

A.     B.     C.2     D.4

3.已知，则

A.b<a<c     B.b<c<a     C.c<a<b     D.c<b<a

4.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为100，则数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为

A.0.1     B.1     C.10     D.100

5.椭圆C的焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线l与C交于A，B两点，若，，则C的方程为

A.     B.     C.     D.

6.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC且PA＝BC＝1，PB＝AC＝，PC＝，则下列命题不正确的是

A.平面PAB⊥平面PBC     B.平面PAB⊥平面ABC

C.平面PAC⊥平面PBC     D.平面PAC⊥平面ABC

7.在△ABC中，已知＝3，△ABC的面积为2，则边BC的长有

A.最大值2     B.最小值2     C.最大值2     D.最小值2

8.三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”)。如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1：25，则cos(α＋)＝

A.     B.－     C.     D.－

9.已知F为双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点，以点F为圆心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点P(，t)，则C的离心率为

A.     B.     C.2     D.3

10.(1＋)5(1＋)5的展开式中的常数项为

A.1     B.32     C.192     D.252

11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinC＝，则△ABC外接圆面积的最小值为

A.     B.     C.     D.π

12.已知函数f(x)＝ex－1－lnx－ax＋a(a∈R)，当x∈[1，＋∞)时，若f(x)≥1恒成立，则a的取值范围为

A.(－∞，0]     B.(－∞，0)     C.(－1，0]     D.[0，＋∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是           。

14.若曲线y＝ln(3x－8)与曲线y＝x2－3x在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为           。

15.在锐角△ABC中，D为BC的中点，AB＝3，AC＝，且BCsinBcosC＋ABsinBcosA＝AC，则AD＝           。

16.欲将－底面半径为cm，体积为3πcm3的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为           cm3。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知公差为正数的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝9，且a2是a1与a3＋4的等比中项。

(1)求{an}的通项公式；

(2)若bn＝an·，求数列{bn}的前n项和。

18.(12分)

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA＝PB＝PD＝AB＝2，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°。

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)求二面角B－PC－D的大小。

19.(12分)

为了适应教育改革新形势，某实验高中新建实验楼、置办实验仪器、开设学生兴趣课堂，将分子生物学知识和技术引人其中，激发了广大学生的学习和科研热情。现已知该生物科研兴趣小组共有9名学生。在一次制作荧光标记小鼠模型时，将9名学生分成3组，每组3人。

(1)若将实验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成。现已知每个阶段用时1小时，每个阶段各成员成功率为。若任意过程失败，则该实验须重新开始。求一个组在不超过4个小时完成实验任务的概率；

(2)现某小组3人代表学校组队外出参加生物实验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注实验。该赛程规则为：三人同时进行灌注实验，但每人只有一次机会，每个队员成功的概率均为。若单个队员实验成功计2分，失败计1分。

①设小组总得分为X，求X的分布列与数学期望；

②主办方预计通过该赛程了解全国生物兴趣课程的开设情况。现从所有参赛队员中抽取n人成绩计入总得分，若总得分大于n的概率为Kn，求数列{Kn}的前15项和。

20.(12分)

已知P为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一动点，F为C的焦点，定点Q(3，1)在C的内部，若|PQ|＋|PF|的最小值为4。

(1)求C的方程；

(2)不经过原点的直线l与C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，若以线段AB为直径的圆经过点F，且圆心在直线y＝－1上。证明：直线l与C在点A处的切线垂直。

21.(12分)

已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，a∈R。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a>0时，函数f'(x)的最小值为－e(其中f'(x)为f(x)的导函数)，求a的值。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：ρ＝ρcos2θ＋cosθ。

(1)求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；

(2)设曲线C1，C2的公共点为A，B，O为坐标原点，求△OAB的面积。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

(1)证明：；

(2)若a>0，b>0，求的最大值。