2021省大庆铁人中学高三下学期5月第四次模拟考试数学（理）试题含答案

大庆铁人中学2018级高三下学期模拟考试（四）

数学试题（理）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

1.已知集合，，则的子集个数为

A．1 B．2 C．3 D．4 

2．设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于

A．第一象限      B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限

3. 命题“”的否定是

A．     B．

C．       D．

4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（参考数据：）

A．866 B．500 C．300 D．134

5．已知直线：，：，，则“”是“”的

 A. 必要不充分条件   B. 充分不必要条件      C. 充要条件      D. 既不充分也不必要条件

6. 下列命题中，不正确的是

A.线性回归直线必过样本点的中心；

B.若平面平面，平面平面，则平面平面；

C.若“，则”的逆命题为假命题；

D.若为锐角三角形，则.

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.                        B.                         C.                D.

8.已知,的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中的系数是

A.7               B.-7                C.21               D.-21

9.黑龙江省即将进行高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有

A.8种              B.12种             C.16种             D．20种

10．已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则

A.              B.                C.               D.

11．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为点在

双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为

A.6                B.7                C.8                 D.9

12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，；          ②函数有2个零点；

③的解集为；      ④，，都有.

其中正确的命题是

A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13.设随机变量服从正态分布,若，则的值是__________．

14．铁人中学高三某班共有48人，学号依次为1,2,3，……，48，现采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么样本中还有一名同学的学号应为 ____________．

15.已知平面向量满足，，设与的夹角为，若，则实数的值为____________．

16．如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱体积的最大值为____________．

三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.（12分）已知数列的首项为，且.

（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

18.（12分）年年底，铁人中学新址建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取若干市民对该项目进行评分(评分均为整数，最低分40分，最高分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：

已知满意度等级为“基本满意”的市民有人．

（Ⅰ）求频率分布于直方图中的值，并依据频率分布直  

方图估计评分等级为“不满意”的人数；

（Ⅱ）在（Ⅰ）所得评分等级为“不满意”的市民中，老 

年人占，青年人占，现从该等级市民中按年龄分

层抽取人了解不满意的原因，并从6人中随机选取

人组成整改督导组，用表示督导组中青年人的人

数，求的分布列及数学期望.

19.（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）长为何值时，直线与平面所成角最大？并求此

时该角的正弦值．

20.（12分）已知函数．

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)证明：(为自然对数的底数)恒成立．

21．（12分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点O到直线的距离为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆C上一点P作两条直线，分别与椭圆C相交于异于点P的点A，B，若四边形 为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.

22.（10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线 的极坐标方程为，直线的参数方程为（）．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（Ⅱ）设点，直线与曲线交于两点，求的值．

23. （10分）已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.

铁人中学2018级高三下学期数学理科模拟考试（四）答案

数学试题（理）

一．选择题（60分）

二．填空题（20分）

13.     1                14. 27            15.              16.

三．解答题（70分）

17. （12分）（1）解：（Ⅰ）由得，

因为，所以，又因为

所以数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，  ……………3分

可得，从而.  ………………6分

（Ⅱ）依题意，，

故，  ………………………………………9分

故.……………………………12分

18.（12分）（1）由频率分布直方图知，

由解得，

设总共调查了个人，则基本满意的为，解得人.

不满意的频率为，所以共有人，即不满意的人数为120人.

（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取人，则青年人抽取4人分别记为，老年人抽取2人分别记为，从6人中选取3人担任整改督导员，

X的所有取值为1,2,3

,,

所以X的分布列为

19. （12分）（1）∵平面平面，∴，

又，

，即（为与交点）．

又，∴平面，又因为平面，所以，平面平面

（2）如图，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图，

设，则，

则，，，设平面法向量为，

则，即，取，得平面的一个法向量为，

所以，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，记直线与平面所成角为，则，故，

即时，直线与平面所成角最大，此时该角的正弦值为．

20.(Ⅰ)解：函数的定义域为，               1分

当时，恒成立，所以在内单调递增；                    2分

当时，令，得，所以当时，单调递增；       3分

当时，单调递减，                                      4分

综上所述，当时，在内单调递增；

当时，在内单调递增，在内单调递减                         5分

(Ⅱ)证明：由(1)可知，当时，

特别地，取，有，即，

所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立，

只要证明在上恒成立即可                                       7分

设，则，                                  8分

当时，单调递减，

当时，单调递增．                               10分

故当时， ，即在上恒成立

因此，有，又因为两个等号不能同时成立，

所以有恒成立                                            12分

或：令，则，

再令，则，

由知，存，

使得，得，

由可证，进而得证．

21. （1）直线的方程为，

由题意可得，解得， 或

∴椭圆C的方程为

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时

当直线的斜率存在时，设：，，，

联立，可得，

则，

，，

，

∵四边形为平行四边形，∴，∴，

∵点P在椭圆上，∴，整理得，

，

原点O到直线的距离，

，

综上，四边形的面积为定值3.

22.(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcosθ＋2ρsinθ，

又由                        2分

得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝6x＋2y，即       3分

由，消去参数t，[来源:Z_xx

得直线l的普通方程为x＋y－3＝0.                        ………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l的参数方程可化为 ()，   ………6分

代入曲线C的直角坐标方程得.… 8分

由韦达定理，得，则由直线参数方程t的几何意义得

|QA|·|QB|＝＝9   ………10分

23解：（1）当时，不等式为

两边平方得，解得或

∴的解集为

（2）当时，，可得，

 ∴

∴ ，当且仅当，即，时取等号.