2021省大庆铁人中学高三下学期冲刺模拟考试数学（理）试题（一）含答案

大庆铁人中学高三冲刺模拟试题（一）

理科数学试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．）

1. 设集合，集合，则等于（  ）

A． B． C． D．

2．若复数z与其共轭复数满足，则

A．        B．       C．2         D．   

3．已知两个非零向量a,b满足2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),则a·b的值为 

A.1          B.-1              C.0     D.-2

4.双曲线的渐近线方程是：=2,则双曲线的焦距为

A．3              B．6            C．           D．  

5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是

A．若，则        B．若，则

C．  若，则      D．若，则或

6.已知三个月球探测器，，共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片．甲说：照片A是发回的；乙说：发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B的探测器是

A.  B.  C.  D. 以上都有可能

7.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示得坐标系，设秒针针尖的位置P(x,y),若初始位置为,,当秒针从（此时t=0）正常开始转动时。那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为

A .+                 B. +    

C. -               D.-

8.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小

木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下

后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落

过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为

A.            B.         C.            D.

9.已知是偶函数且在上是单调递增，且满足，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 在四面体ABCD中，，，底面ABC，G为的重心，且直线与平面ABC所成的角是30°，若该四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（    ）

A. 24π B. 32π C. 46π           D. 49π

11. 函数；则下列说法正确的是

A．关于对称；           B 的极小值为；

C关于对称；            D的最小正周期为 ；

12. 抛物线的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A、B两点，M为AB的中点，分别过A、B两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：①P点必在抛物线的准线上；    ②；

③设、，则的面积S的最小值为；

④；⑤平行于轴.其中正确的个数是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4                D. 5

第II卷（非选择题、共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知实数x,y满足，则的最大值为_____________ .

15.中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有                种

15.已知锐角三角形△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ，则△ABC面积的取值范围为 ___________.

16. 已知与的图象有三个不同的公共点，

则实数a的取值范围是___________.     

三、解答题：(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

（一）必考题：满分60分

17.（本小题满分12分）

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝35，且a4是a1与a13的等比中项。

(1)求{an}的通项公式；

(2)若a1<4，求证：，其中n∈N*。

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，°，°，， 分别为和的中点，且．

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19. （本小题满分12分）

在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某校为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下2×2列联表：

（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；

②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.

（下面的临界值表供参考）

（参考公式其中）

20.（本小题满分12分）

如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2，0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|＞|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，

求实数λ的取值范围．

21. (本小题满分12分)

已知函数

(1)当a=0时,求f(x)在(0 f(0))处的切线方程;

(2)若f(x)≥1对任意x∈[0,π]恒成立,求实数a的取值范围.

（二）选考题10分。请考生在第22、23题任选一个做答，如果多做，则按第一题记分，做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
求C和l的直角坐标方程；
设l与C相交于A，B两点，定点，求的值．

23.已知函数.

(1)若恒成立，求实数m的最大值；

(2)记(1)中的m最大值为M，正实数a，b满足，证明: .

大庆铁人中学2017级高三学年考前模拟训练

理科数学试题答案

一．选择题：CABB    AABD     BDCC

二．填空题：  22；      10；     ;      

三．解答题：

17．解。（1）设数列的公差为d，则

得. 或

故的通项公式为：或

（2）因为

18.（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）如图1，取线段的中点，连接、.

因为为的中点，所以//，且.

又为的中点，所以//，且，所以//，

且=，

所以四边形是平行四边形，所以//.

又平面，平面，所以//平面.  …………6分

（Ⅱ）作于点，因为°，所以°，所以

，即为的中点.

因为°，所以平面，所以，所以 平面.故可以点为原点，射线、分别为轴和轴的正半轴，以平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图2.

令，则，，，

，，所以，

.

   设平面一个法向量为，则，

得.取，，，

所以.

又平面的一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面 

角为，则

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．      …………12分

19.【解析】（1）

有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.

（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，

的可能取值为0，1，2，3，4，

，     ，

   ，

，

所以，的分布列：

②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，

故，.

20. 解：(1)因为BF1⊥x轴，所以点B，

所以⇒

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

(2)因为＝＝＝λ⇒＝(λ＞2)，

所以＝－.

由(1)可知P(0，－1)，设直线MN：y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

联立方程，得化简得，(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.

得(*)

又＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，有x1＝－x2，

将x1＝－x2代入(*)可得，＝.

因为k＞，所以＝∈(1，4)，

则1＜＜4且λ＞2⇒4＜λ＜4＋2.

综上所述，实数λ的取值范围为(4，4＋2)．

21.解：（1）当时，，   ……………………2分

，

在处的切线方程为              ……………………4分

（2）当时，成立

当时，

                                          …………………6分

当时， ，令，

则，

在上单调递增，即在上单调递增，

又   ………8分

①当 时，，在上单调递增，

则，∴ 在上单调递增；又

恒成立                                     ……………10分

②当时，， 

在上单调递增，存在唯一的零点，使得，

当时，∴ 在上单调递减，

∴时，不恒成立

∴当时，恒成立，则                ……………12分

22. 解：，，或．
，
的直角坐标方程为．
，  ，，
直线l的直角坐标方程为．
由可设l的参数方程为为参数，
代入C的方程得：，
其两根，满足，．
．

23．【解】(1)由

得，要使恒成立，只要，

即，实数的最大值为；

(2)由(1)知，又    故，

，

，

.