2021四川省大数据精准联盟高三下学期5月第三次统一监测文科数学试题含答案

这是一份2021四川省大数据精准联盟高三下学期5月第三次统一监测文科数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省大数据精准教学联盟2018级高三第三次统一监测文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（    ）A.  B.C.  D.2.若，其中为虚数单位，则（    ）A.  B.C.  D.3.若，为非零向量，则“”是“”的（    ）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件4.某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图：则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（    ）A.10 B.15 C.20 D.255.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（    ）A. B.C. D.6.已知等差数列满足，，则该等差数列的公差为（    ）A.1或-1 B.2 C.-2 D.2或-27.已知，则下列不等式一定成立的是（    ）A.  B.C.  D.8.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）A.  B.C.2  D.9.已知双曲线的右焦点为，左顶点为，点的坐标为.若为等腰三角形，则的离心率为（    ）A.  B.C.  D.10.满足，的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那契数列各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.右图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（    ）A.  B.C.  D.11.已知函数，则下列结论正确的是（    ）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.函数的图象与直线的交点间的最小距离为12.函数，.若，则的最小值为（    ）A.  B.C.  D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，且向量与的夹角为，则______.14.设为等比数列的前项和，且，，则______.15.设椭圆的左，右焦点分别为，，过作倾斜角为45°的直线与交于，两点（点在轴上方），且，则______.16.如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点在线段上.给出下列命题：①直线直线；②直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；③存在点，使得直线平面；④存在点，使得直线平面.其中所有真命题的序号是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）2021年是“十四五”开局之年，是实施乡村振兴的重要一年.某县为振兴乡村经济，大力发展乡村生态旅游，激发乡村发展活力.该县为了解乡村生态旅游发展情况，现对全县乡村生态旅游进行调研，统计了近9个月来每月到该县乡村生态旅游的外地游客人数（单位：万人），并绘制成右图所示散点图，其中月份代码1~9分别对应2020年7月至2021年3月.（1）用模型①，②分别拟合与的关系，根据散点图判断，哪个模型的拟合效果最好?（不必说理由）（2）根据（1）中选择的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01）；（3）据以往数据统计，每位外地游客可为该县带来100元左右的旅游收入，根据（2）中的回归模型，预测2021年10月，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为多少万元?参考数据：下表中，.232.15603.5884.521.31参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.18.（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.19.（12分）如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为，是几何体侧面上不在上的动点，是的直径，为上不同于，的动点，为的重心，.（1）证明：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积.20.（12分）己知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）设点在曲线上，，为曲线上异于点的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值.21.（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间：（2）若，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设是上的动点，先将点绕点顺时针旋转得得到点，再保持极角不变，极径变为原来的2倍得到点，设点的轨迹方程为曲线.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）设是曲线，的公共点，，分别是射线与曲线，的公共点，且，，都异于点，求的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若正实数，满足，试比较与的大小.
四川省大数据精准教学联盟2018级高三第三次统一监测文科数学命题意图及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.命题意图：本小题主要考查集合的并集、补集的概念及其运算等基础知识；考查运算求解能力。答案A.因为，所以.2.命题意图：本小题主要考查复数的除法运算和复数的模的概念等基础知识；考查运算求解能力。答案C.法1：由，所以.法二：.3.命题意图：本小题主要考查向量垂直的几何意义、充要条件等基础知识；考查逻辑推理能力，化归与转化等数学思想.答案C.因为，所以，则，所以“”是“”的充分条件；反之，由有，所以非零向量，垂直，“”是“”的必要条件.4.命题意图：本小题主要考查统计图表等基础知识；考查统计思想和应用意识.答案C.由于到甲、乙、丙社区参加志愿者活动的学生所占比例分别为15%，20%，15%，且甲社区的志愿者学生人数为15，则丙、丁社区志愿者学生人数分别为20，15，所以，到戊社区参加志愿者活动的学生数为.5.答案D.因直线与圆相切，所以圆的半径等于点到直线的距离，即，则所求圆的方程为.命题意图：本小题主要考查直线与圆相切的性质、圆的标准方程等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化、数形结合等数学思想.6.命题意图：本小题主要考查等差数列的性质，通项公式和公差等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化、方程等数学思想和应用意识。答案D.由，，所以，是方程的两实数根，解得或所以公差或-2.7.命题意图：本小题主要考查不等式、函数性质等基本知识；考查化归与转化等数学思想。答案D.对于A，由知，不一定成立；对于B，由，知；对于C，取，，则，C也不一定成立；由，知，D项正确.8.命题意图：本小题主要考查多面体三视图、直观图等基础知识；考查空间想象、运算求解能力；考查数形结合等数学思想.答案B.该几何体的直观图为如图所示的三棱锥，底面是等腰直角三角形，高为2，则体积.9.命题意图：本小题主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力及创新意识；考查数形结合、化归与转化等数学思想。答案D.由题|，，，因为为等腰三角形，所以，则，化为，即，解得.10.命题意图：本小题主要考查几何概型等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化等数学思想。答案C.由题，，，，，则阴影部分面积为，扇形的面积为，所以在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为.11.命题意图：本小题主要考查三角函数图象及其性质、命题判断等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查化归与转化和数形结合等数学思想。答案D.因为，结合图象易知A，B，C结论不正确；对于选项D，不妨看第一象限的交点，由，得或，依次得到交点的横坐标，，，，……，所以交点间的最小距离等于.12.命题意图：本小题主要考查函数的性质、不等式等基础知识；考查抽象概括、运算求解等数学能力；考查化归与转化等数学思想。答案C.由题，且，.有，则，令（且，）.（1）当时，知，不满足条件.（2）当时，知，由，令，则，（舍去），若，则；若，则，则时取得极小值，也为最小值，则，即，所以的最小值为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题意图：本小题主要考查平面向量的模，两个向量的差的运算等基础知识；考查运算求解能力及应用意识.答案.由题意，，所以.14.命题意图：本小题主要考查等比数列定义、前项和公式、递推数列等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化等数学思想。答案54.方法1：由有，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，所以.方法2：由已知，，，，所以.15.命题意图：本小题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线的方程、直线与椭圆位置关系、平面向量的数乘运算等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力及创新意识；考查数形结合、化归与转化等数学思想。答案.设，，由题意知直线的方程为.由，得，则有.①由消去，得.所以，，代入①得.16.答案①②④.设与相交于点.由已知，，，所以，①真；易知，直线与平面所成的角等于，最小为（其正弦值为），最大为，（即），②真；若平面，则，当在线段上运动时，在题设条件下不成立，③假；当点为的中点时，，④真.命题意图：本小题主要考查直线与平面所成的角、直线与平面平行判定定理、直线与平面垂直判定定理、性质定理等基础知识；考查逻辑推理、空间想象能力；考查化归转化等数学思想.16.答案.方法1：设，，由题意可设直线的方程为.由，得，则有.①由消去，得.则，②；.③由①②得，代入③得即，则的斜率为.方法2：设，，则，.由，得，即，①由，得，即.②由①②得，，则，则直线倾斜角为60°.方法3：如图，设直线的倾斜角为，为椭圆的右准线，过点作交于点，过点作垂直于轴，且交轴于点，过点作交于点，过点作垂直于轴，且交轴于点，则有，即；，即.而，则，即，解得，则直线的斜率为.命题意图：本小题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线的方程、直线与椭圆位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力及创新意识；考查数形结合、化归与转化等数学思想.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17.（12分）命题意图：本小题主要考查回归方程、统计案例等基本知识；考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识.（1）模型②的拟合效果最好.（2）令，知与可用线性方拟合，则，，所以，关于的线性回归方程为，故关于x的回归方程为.（3）2021年10月，即时，（万人），此时，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为3400万元.18.（12分）命题意图：本小题主要考查正余弦定理及其应用、特殊角的三角函数值、两角和差的正余弦公式应用等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；化归与转化数学思想.（1）由，根据正弦定理有.所以，所以，即.因为，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）知，所以，则，由正弦定理：得，所以，.所以.因为，所以，所以当时，的最大值为4.19.（12分）命题意图：本小题主要考查旋转体、直线与平面平行的判定、三棱锥体积、三角形重心性质、球体等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、空间想象等能力及创新意识；考查化归转化、数形结合等数学思想。（1）连接并延长交于点，连接，因为为的重心，所以.因为，所以，则，所以.又面，面，所以面.（2）当三棱锥体积最大时，平面平面，且和为等腰直角三角形，则.所以.20.（12分）命题意图：本小题主要考查拋物线的定义、直线的斜率、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查数形结合、化归与转化、分类与整合等数学思想。（1）由已知，线段的长度等于到的距离，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以的方程为.（2）将代入得，易知直线斜率存在，设为，知，直线方程为.由得.则，.①易知，，，因为直线，的斜率互为相反数，所以，变形可得.②联立①②得，所以或.若，则的方程为，恒过，不合题意，所以，即直线的斜率为定值-1.21.（12分）命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、函数单调性、函数极值与最值等基础知识；查推理论证、运算求解等数学能力和创新意识；考查分类与整合、函数与方程及数形结合等数学思想。（1）时，，其中，则，可知为的增函数，且，当，，单调递减；当，，单调递增，所以，的单调递减区间为，递增区间为.（2）由题知，，，可知在区间为单调递增函数，且当时，，当时，，（此处也可利用函数与图象在第一象限有交点来描述）所以，存在，使得，即，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，即，由，得，即，所以，即，由于为的单调递增函数，且，则有，因为为上的增函数，则当时，，所以的取值范围为.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）命题意图：本小题主要考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化、极角与极径的几何意义等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查化归与转化、数形结合等数学思想.（1）将代入，化简得.设点的极坐标为，依题意可知，.因为点在曲线上，带入其方程可得，即.故曲线，的极坐标方程分别为，.（2）联立可得；将代入中，得；将代入中，得.显然，.故.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）命题意图：本小题主要考查含绝对值的不等式、基本不等式、不等式证明方法等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力；考查分类与整合、化归与转化等数学思想.（1）由题当时，，得，此时不成立；当时，，得，此时取；当时，，得，此时取.综上，不等式的解集为.（2）.因为正实数，满足，即有，则，所以，由（1）已知函数为的增函数，所以.