2021铜仁思南中学高三下学期第十二次考试数学（文）试题含答案

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思南中学2021届高三第十二次考试数学（文科）试卷 第I卷 一、选择题,本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数（其中为实数，为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．23．为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好是连续2天的概率是（    ）A． B． C． D．4．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲､乙，丙､丁､戊､己､庚､辛､王､癸，地支有十二个，依次是子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.古人把它们按照甲子､乙丑､丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年､月､日､时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年(2021年)是辛丑年，则百年后的2121年是（    ）年。A．丙午 B．丁巳 C．辛巳 D．辛午5．已知等差数列的前项和，且，则（   ）A．4 B．7 C．14 D．6．已知函数在处的切线经过原点，则实数（   ）A． B． C．1 D．07．函数的图象是A． B． C． D．8．已知实数，满足，则的最大值为（    ）A． B．1 C．2 D．39．执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝（    ）A． B． C． D．10．如图，正方形与正方形所成角的二面角的平面角的大小是是正方形所在平面内的一条动直线，则直线与所成角的取值范围是（    ）A． B． C． D．11．过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（    ）A．           B．          C．＋1            D．12．．设，则的大小关系为（    ）A． B． C． D． 第II卷 二、填空题,本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，实数满足，则________.14．设等比数列的公比，前项和为，则的值为_______．15．已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为______．16．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为升（一升为一立方分米），上底边长为分米，下底边长为分米，则该方斗的外接球的表面积为_______________平方分米.   三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必做题：每小题12分，共60分。17．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查.右边是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.附表：参考公式(1)    估计某观众是“体育迷”的概率(2)    估计这个地区观看体育节目的平均时间（3）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷体育迷合计男   女 合计    18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C的值；（2）若，当边c取最小值时，求的面积．19．如图，三棱柱各棱长均为2，．（1）求证：；（2）若面面，求四边形的面积．     20．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）设在区间上的最大值为，求的最小值． 21．设直线与抛物线交于、两点，已知当直线经过抛物线的焦点且与轴垂直时，的面积为（为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）当直线经过点且与轴不垂直时，若在轴上存在点，使得为等边三角形，求的取值范围．  （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知为“四叶草”上的点，求点到直线距离的最小值以及此时点的极坐标.23．已知函数.（1)解不等式；（2)记函数的最小值为，且，其中均为正实数，求证：
参考答案1．B【分析】集合是确定的，需要计算集合，集合中的元素为，而函数的自变量是中的元素，将中的元素依次代入可以得到集合，根据集合的交集运算可得结果.【详解】∵，，∴，∴.故选：B.2．A【分析】利用复数的四则运算化简复数，由复数的概念求解即可.【详解】解：复数，为实数，则，解得：.故选：A3．A【分析】根据题意求得基本事件的总数，再求得选择的2天恰好为连续2天包换的基本事件个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，可得基本事件的总数为种不同的选法，其中选择的2天恰好为连续2天包换的基本事件为，所以选择的2天恰好是连续2天的概率是.故选：A.4．B【分析】先求得小华爸爸出生年份为年，由年是庚子年计算出小华爸爸出生那年的农历.【详解】小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日，小华爸爸出生于年.按六十年一个甲子，今年(2020年)是庚子年，60年前(1960年)是庚子年，由干支纪年法知，1961，1962，1963，1964年分别是辛丑，壬寅，癸卯，甲辰年.故选：B5．B【解析】【分析】由题意利用等差数列的定义、通项公式及前项和公式，求出首项和公差的值，可得结论．【详解】等差数列的前项和为，且，，．再根据，可得，，则，故选．【点睛】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前项和公式，属于基础题．6．A【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值．【详解】，把（0，0）代入方程中，，=，故本题选A．【点睛】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程．7．C【分析】先求出函数的定义的域，然后判断函数的奇偶性，最后判断当时，函数值的正负性，通过排除法，选出正确答案.【详解】函数的定义域为：，是奇函数，图象关系原点对称，故可排除B;，显然当时，，因此可排除AD，故本题选C.【点睛】本题考查了函数图象的识别，运用函数的定义域、奇偶性、单调性、周期性等性质是常见的解题的方法，排除法是经常用的解决方法.8．D【分析】首先根据不等式组画出可行域，根据线性规划的几何意义找出最优解，将最优解的坐标代入目标函数即可求得结果.【详解】画出线性约束区域，如图所示，∵，∴，当直线经过点时，目标函数有最大值，∴最大值为.故选：D.9．D【分析】由题意可知，设点在平面内的投影为点，则易得点在线段上，可得.由最小角定理得当直线与直线重合时，直线与直线所成的角取得最小值，当直线与直线垂直时，，此时直线与直线所成的角取得最大值，由此即可求出结果.【详解】因为正方形与正方形所成二面角的平面角的大小是，所以.设点在平面内的投影为点，则易得点在线段上，且，又因为，所以.由最小角定理得当直线与直线重合时，直线与直线所成的角取得最小值，当直线与直线垂直时，，此时直线与直线所成的角取得最大值，所以直线与直线所成角的取值范围为.故选：D.【点精】本题考查二面角、异面直线的夹角，注意两条异面直线所成角的取值范围为，本题属于中档题.10．B【分析】列出循环过程中与的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【详解】判断前,第1次循环,,第2次循环,,第3次循环,,,此时,,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:故选:B【点睛】本题考查程序框图中的循环结构,考查裂项求和,难度较易.11．A【分析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.12．B【分析】由已知条件，根据偶函数的性质得到在上单调递减，,利用指数对数函数的性质比较，，的大小关系，注意先和0，1比较大小，，的大小比较要化为同底数的对数，在利用对数函数的单调性比较.【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，∴在上单调递减，,,,,∴,∴,即,即,故选B.【点睛】利用幂指对函数的性质比较实数或式子的大小，先要考虑分析数或式子的大致范围（常常与0，1比较），来进行比较大小，要借助0，1等常见数的“桥梁”作用．有时候还要考虑化为同底数的幂或者对数进行比较大小.13．1或【分析】根据向量模的坐标计算，可得结果.【详解】由题意可得：,,解得或.故答案为：1或【点睛】本题主要考查向量模的坐标计算，属基础题.14．．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【详解】由等比数列的求和公式和通项公式可得：故答案为：15．【分析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求得交点的横坐标，然后可得答案.【详解】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，,所以该圆的方程为：，由，消去y得：解得,又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上，由于的左右顶点横坐标分别为-3和3，∴为使为锐角，的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，关键是有题意得到P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，注意由为锐角，可知P不在x轴上，还要注意结合椭圆的范围求解.16．【分析】正四棱台中，根据台体体积公式可求出上下底面距离为3，作图，外接球心必在上下底面中心连线上，根据球面上点到球心距离相等即可解出半径.【详解】作图，由台体体积公式，所以，如图所示：根据正四棱台对称性可知，球心在直线上，设，，解得：，所以，所以外接球表面积故答案为：【点睛】此题考查利用台体体积公式求台体的高，再求外接球的半径，熟悉球体几何特征对解题有极大帮助.17．（1）列联表答案见解析，没有的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列答案见解析，，.【分析】（1）根据频率分布直方图读取数据，完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论；（2）分析出随机变量，套公式易求出的分布列、期望与方差．【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而列联表如下： 非体育迷体育迷合计男女合计将列联表中的数据代入公式计算，得.因为，所以没有的把握认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意，从而的分布列为，.18．（1）；（2）．【分析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值．（2）由余弦定理求得与的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，进而求得三角形面积．【详解】（1）由条件和正弦定理可得，整理得从而由余弦定理得．又∵C是三角形的内角，∴．（2）由余弦定理得，    ∵，∴， ∴（当且仅当时等号成立）．∴c的最小值为2，故．【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，边角关系的转化及不等式在求最值中的用法，属于基础题．19．（1）见解析（2）【分析】(1) 设的中点为,连接.由展开图可知,，.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,则平面,即可证得平面平面．(2) 由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角，且,最大即为最短时,即是的中点建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.【详解】（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意，得，，．在中，，O为AC的中点，，在中，，，，，．，平面，平面ABC，平面PAC，平面平面ABC．（2）由（1）知，，，平面PAC，是直线BM与平面PAC所成的角，且，当OM最短时，即M是PA的中点时，最大．由平面ABC，，，，于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，则，，设平面MBC的法向量为，直线MA与平面MBC所成角为，则由得：.令，得，，即.则.直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求出以及原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式得出的面积，即可求出的值，于此得出抛物线的方程；（Ⅱ）设点、，的中点为，设点，直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，计算，列出韦达定理，可求出线段中点的坐标，由题意得出以及，可得出关于的关系式，然后代入可求出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）由条件可得，点到距离为，，，得，因此，抛物线的方程为；（Ⅱ）设点、，的中点为，又设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，得.，由韦达定理得，.所以，从而.为正三角形，，.由，得，所以.由，得，即，，，从而.，，从而，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查等边三角形的存在性问题，在解决这个问题时，要抓住三线合一以及底边中线与边长之间的等量关系这两个条件来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.21．（1）分类讨论，答案见解析；（2）1．【分析】（1）先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的单调性，分段求函数在区间上的最大值为，在求分段函数的最小值.【详解】（1）由题意的定义域为，，①若，则，所以在上为单调递增函数；②若，由解得，，的解为或，的解为，即的增区间为，，减区间为．（2）①若，则，，又由（1）知在上为增函数，故；②若，易知，，，，，，（ⅰ）若，则，且，故，所以则，（ⅱ）若，则，且，故在上为减函数，则．综上，所以．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的单调性和最值，本题第二问的关键是当时，讨论函数的最大值，需分情况讨论端点和极值的大小.22．（1）和；（2）最小值为1，.【分析】（1）直接利用单位圆与方程联立即可求解；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，观察发现点到直线的距离即为最小值【详解】（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为：，所以联立，得或，所以所求交点的极坐标为和.（2）直线的直角坐标方程为，“四叶草”极径的最大值为2，且可于点处取得，连接且与直线垂直且交于点，所以点与点M的距离的最小值为1.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是数形结合判断出点到直线的距离最小.23．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知，进而分，，三种情况讨论求解；（2）由绝对值三角不等式得，故，所以，再根据基本不等式得，故.【详解】（1）令，①当时，，则，②当时，，则，③当时，，则，综上,不等式的解集为；（2）因为，则，，则，又（当且仅当时取等号），所以，所以，即; 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用绝对值三角不等式得，进而转化为证明，再结合基本不等式求解即可.