2021湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三下学期5月联考数学试题含答案

2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校5月联考

高三数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，集合，，则（   ）

A． B． C． D．

2．已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若，则（   ）

A． B． C． D．

3．在等比数列中，，，则（   ）

A． B． C． D．

4．甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为（   ）

A． B． C． D．

5．关于直线，有下列四个命题：

甲：直线经过点； 乙：直线经过点；

丙：直线经过点； 丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是（   ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

6．已知的外心为，，则的值是（   ）

A． B． C． D．

7．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且的面积是面积的倍，则该双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

8．已知实数，满足，，则（   ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）

9．已知，均为正数，且，则（   ）

A． B． C． D．

10．如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（   ）

A．三棱锥的体积是

B．平面

C．平面与平面所成的二面角为

D．异面直线与所成角的范围是

11．已知函数的图象上，对中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（   ）

A．

B．当时，

C．若，则

D．若，，则的值为

12．函数，若时，有，是圆周率，…为自然对数的底数，则下列说法正确的是（   ）

A．

B．

C．

D．，，，，，，则最大

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．在的二项展开式中，的系数是          ．

14．请写出满足条件“对任意的恒成立，且在上不是增函数”的一个函数：          ．

15．已知抛物线，直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率          ．

16．无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-”．无侦-（如图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了，，，四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中，，，且目标，，所在平面与目标，，所在平面满足二面角的大小是，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为          ．

图1                       图2

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）

17．设，，分别是中角，，的对边，．

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

18．已知数列的前项和为，满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项积为，若对任意的，恒成立，求实数的最大值．

19．已知中，，，，，为，上的动点，且，将三角形沿折起至如图所示，使平面平面．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值的取值范围．

20．随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体APP，几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等．

（1）记表示发过抖音视频的人数，求的分布列；

（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过次，（其中小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为，求的数学期望．

21．已知抛物线的焦点为点，为上一点，若点到原点的距离与点到点的距离都是．

（1）求的标准方程；

（2）动点在抛物线上，且在直线的右侧，过点作椭圆的两条切线分别交直线于，两点．当时，求点的坐标．

22．已知函数．

（1）当时，求的导函数在上的零点个数；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校5月联考

高三数学参考答案

1-8  BBAB    CDCD

9-12  BC  AB  BD  ABD

13．    14．【答案不唯一】    15．    16．

17．解：（1），

，

，，．

，．

（2），，即．

，，，．

，当且仅当时取等号．

面积的最大值为．

18．解：（1）由，得是首项为，公差为的等差数列，

，．

当时，，

符合上式，所以．

（2），

，

，

，．

因为对任意的，恒成立，

所以，即．

19．解：（1）证明：由题意知，，

而平面，平面，，

平面，

，平面．

又平面，平面平面．

（2）【解法一】延长，交于点，则为平面和平面的交线．过作于，连接．

平面，，又，平面，所以即为平面与平面所成的角；

设，则，，且，

在中，，

．

令，则．

【解法二】设，则，，且．

由（1）知，，两两互相垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立直角坐标系，则，，，，，则

，．

设平面的法向量为，则，解得．

取，

又平面的法向量为，所以，

，所以．

所以平面和平面所成的锐二面角的余弦值的取值范围是．

20．解：（1）由题意知，故的所有可能为，，，．

，，

，，的分布列为

（2）依题意，的所有可能的值是，，，…，．

当时，；

当时，，

，①

，②

由①②，得，

，

．

21．解：（1）设，则，解得（负值舍去）．

（2）不妨设，，，，．

设过点作椭圆的切线方程为，①

由，得，

由得，

所以，，

在①中令得，，

，

解得，点的坐标为．

22．解：（1），，所以是的一个零点．

令，则时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，则．

又，且，所以在上存在唯一零点，

则在上亦存在唯一点．

因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点．

综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为．

（2）不等式恒成立，即不等式恒成立．

令，则等价于不等式……（1）恒成立，

①若，即时，不等式（1）显然成立，此时；

②若时，不等式（1）等价于……（2）

设，则

当时，，

令，则，

，，且，

在，上单调递减，在上单调递增，

又，，所以在上恒成立，

所以在上单调递减，则，

显然为偶函数，故在上的最大值为，

因此，综上所述，满足题意的实数的取值范围为．