2021宝鸡渭滨区高三下学期5月适应性训练（二）数学（理）试题含答案

渭滨区高三适应性训练试题（二）数学（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．如图，矩形表示实数集，集合，则阴影部分表示的集合为（  ）

 A．  B．

 C．  D．

2．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2021年4月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．

根据组合图判断，下列结论正确的是（　）

A．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小 

B．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差 

C．这10天学生在线学习人数在逐日增加 

D．前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差

3．若复数满足，则在复平面内对应的点在（  ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

4.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通

常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓

慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学

家雷蒙德・皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用

的“皮尔曲线”的函数解析式为该函数也可以简化为的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为经过一年，该果树的高为则该果树的高度超过8m，至少需要(   )

A.4年 B.3年 C.5年 D.2年

5.“”是“”的(   )

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

6.己知是双曲线：的两个焦点，以线段为边作正三角形.若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 （  ）

A．             B.             C.           D.

7．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（　）

A．    B．

C．      D．

8．若点为抛物线上一点，F是抛物线的焦点，，点为直线x＝﹣1上的动点，则的最小值为（　）

A．8 B． C． D．

9.已知且则（  ）

A． B． C． D．

10．设等比数列的前项和为，且，则（  ）

A． B． C． D．

11. 已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是(   )

A． B．  C． D．

12.设定义在人上的函数，对于给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”.关于函数的“2界函数”，则下列等式不成立的是（  ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（注：16题第一空2分，第二空3分）

13．向量满足，且，则向量的夹角为       ．

14.3个不同小球放入编号为1，2，3的三个盒中，恰有一空盒的方法有      种方法.

15.已知函数是定义上的奇函数，若，则＝　   　．

16．如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,且,则异面直线与所成的角的余弦值为______,点到平面的距离等于______.

三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17.设函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）若，求的值．

18. 如图，在四棱锥中，平面， ，∥，，，，分别为线段，，的中点．

（1）证明：直线∥平面．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19.绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．

（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？

（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？

20. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，折线与交于，两点.

（1）当时，求的值；

（2）直线与交于点，证明：为定值.

21．已知函数，其中.

（1）当时，求曲线在点的切线方程；

（2）求证：若有极值，则极大值必大于0.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分.作答时请先涂题号.

22.在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.

（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；

（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.

23．设函数，的最大值为，正数a，b满足

（1）求M；

（2）是否存在a，b，使得？若存在,求出a,b的值，不存在请说明理由．

渭滨区高三适应性训练试题（二）数学（理）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（注：16题第一空2分，第二空3分）

13．        14.  18        15.      16．     

三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17. 【解析】（I），

，，，.

增区间为.

（II），，

又，，，

.

18. 【答案解析】（1）证明：连接，设与相交于点，如图，

因为∥，且，，

所以四边形为矩形，

所以为的中点，又因为为的中点，

所以为的中位线，即,

因为平面， 平面，

所以平面，

因为，分别为线段，的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面，

因为平面，平面，，

所以平面∥平面,

因为平面,所以∥平面.

（2）因为底面，平面，平面，所以，因为，所以、 、两两互相垂直，以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，

所以，

设平面的法向量为，则

，所以，

令，可得，所以，

设直线与平面所成角为，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

19. 【答案解析】（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为：

E（Y1）＝15×0.3﹣5×0.7＝1（元），

则5000个游客的平均利润为5000元，

当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，

设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为：

E（Y2）＝5×0.8﹣5×0.2＝3（元），

则5000个游客的平均利润为5000×3＝15000（元），

该项目每天的平均利润比调整前多10000元．

（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，

不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，

设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为：

E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，

当x＝7时，E（Y）有最大值3.45元，

∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为5000×3.45＝17250元．

20.【答案解析】（1）由已知可得，设点关于轴的对称点为，

则，如图，不妨设直线与椭圆相交于，两点，

设，，

联立，可得，即，

所以，，

故

.

（2）由已知可得，，，，，不妨设直线与椭圆相交于点，，

联立，可得，即，

所以，，且.

直线：，直线：，

联立两直线方程，消去可得，

即，

所以，，即为定值.

21．【答案解析】（1），

当时，，，则在的切线方程为；

（2）证明：令，解得或，

①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，

∴函数无极值；

②当时，令，解得，令，解得或，

∴函数在上单调递增，在，上单调递减，

∴；

③当时，令，解得，令，解得或，

∴函数在上单调递增，在，上单调递减，

∴，综上，函数的极大值恒大于0.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分.作答时请先涂题号.

22.【答案解析】（1）曲线：消去参数可得普通方程为.

由，得.故曲线：化为平面直角坐标系中的普通方程为,   得，

当两曲线有公共点时,由

解得：.

（2）当时，曲线：即，

联立方程消去，得两曲线的交点，所在直线方程为.

曲线的圆心到直线的距离为，

所以.

23． 【答案解析】：（1）分三类讨论如下：

①当x＜﹣1时，f（x）＝x+4，单调递增，f（x）＜3；

②当﹣1≤x≤时，f（x）＝﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max＝f（﹣1）＝3，

③当x＞时，f（x）＝﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（）＝﹣，

综合以上讨论得，f（x）的最大值M＝3；

（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6＝≥2＝2a3b3，

所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

又因为+＝Mab＝3ab≥2•，

所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

显然①②相互矛盾，

所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6＝．