2021“超级全能生”高三全国卷地区3月联考试题（丙卷）数学（理）含解析

www.ks5u.com秘密★启用前

“超级全能生”2021高考全国卷地区3月联考丙卷

数学(理科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡。上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x2－x－6≤0}，则A∩B＝

A.{x|0<x≤4}     B.{x|－2≤x≤4}     C.{x|0<x≤3}     D.{x|x<0或x≥3}

2.已知z＝，则|z|＝

A.     B.     C.－     D.1

3.已知点M是直线y＝x与单位圆在第一象限内的交点，设∠xOM＝α，则cos2α＝

A.     B.     C.－     D.

4.在某次射击比赛中，甲、乙两人各射击5次，射中的环数如图，则下列说法正确的是

A.，      B.，

C.，      D.，

5.函数f(x)＝的部分图象大致为

6.已知函数g(x)＝，则下列选项中正确的是

A.g(x)的最小正周期为            B.g(x)的图象关于直线x＝对称

C.g(x)的一个对称中心是(－，0)     D.g(x)在[－，]上单调递增

7.在正四面体ABCD中，E，F分别为△BCD，△ACD的中心，则下列说法中不正确的是

A.EF//AB                             B.CD⊥平面ABEF

C.异面直线AB，CD所成的角为90°      D.AE＝EF

8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为

A.     B.16π     C.      D.

9.已知向量a＝(，)，b＝(cos150°，sin150°)。若c＋2a＝b，则cos<a，c>的值为

A.     B.－     C.     D.－

10.已知定直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝1的一条切线，M是切点，C是圆心，若△QMC面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为

A.     B.2     C.     D.

11.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在第一象限)，过A作抛物线的切线交x轴于点C，则△ABC的面积为

A.     B.     C.     D.p2

12.已知方程－x－lnx＝0有且只有一个实数根，则m的取值范围为

A.(－∞，0)∪{1}     B.(－1，0)∪{1}     C.(－2，0)∪{1}     D.(0，1)∪(1，＋∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数f(x)＝xex＋1在点(0，f(0))处的切线方程为           。

14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足a＝b＋c，5sin2C－sin2A＋2sinAsinCcosB＝0，则sinB＝           。

15.设M，N是双曲线(a>0，b>0)实轴的两个端点，Q是双曲线上的一点(异于M，N两点)，QMN＝α，∠QNM＝β，则tanαtanβ＝           。

16.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年。例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体。在如图所示的堑堵ABC－A1B1C1中，已知AB＝BC＝4，AC＝4，若阳马C1－ABB1A1的侧棱C1A＝8，则鳖臑C1－ABC中，点C到平面C1AB的距离为           。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，且满足b3＝S2，a1＋a2＋b1＝10。

(I)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(II)若数列的前n项和为Tn，证明：Tn<。

18.(12分)

某大型水果超市，为了对香蕉进行合理定价，对近5天的销售量yi和销售单价xi(i＝1，2，3，…，5)进行了统计分析，得到一组统计数据如表所示：

参考公式：线性回归方程：，其中，，相关系数

(I)根据表中所给数据，用相关系数r加以判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；(0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强)

(II)为调查对香蕉的喜欢程度，随机调查了100名顾客(青少年和中老年各50人)，得到如下2×2列联表：

能否有99。9%的把握认为顾客是否喜欢香蕉与年龄有关？

(II)现采用分层抽样的方法从中老年样本中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2名进行跟踪调查，记X表示这两人中“喜欢香蕉”的人数，求X的分布列、数学期望。

附：，n＝a＋b＋c＋d。

参考数据：，

19.(12分)

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，AB＝BC＝AC＝A1A＝2，E，F分别为A1C1，B1C1的中点。

(I)在四边形ABB1A1内是否存在点G，使平面GEF//平面ABC1？若存在，求出该点的位置；若不存在，请说明理由；

(II)设D是C1C的中点，求DA与平面ABC1所成角θ的正弦值。

20.(12分)

已知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－mx2(m∈R)。

(I)当m＝0时，讨论f(x)的单调性；

(II)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)<0恒成立，求m的取值范围。

21.(12分)

已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点Q(，)在椭圆上。

(I)求C的方程；

(II)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)与C交于E，F两点，若＝0，把弦长|EF|表示成关于k的函数并求其取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ－ρsinθ－2＝0。

(I)求l的直角坐标方程和C的普通方程；

(II)若l与C相交于M，N两点，求S△OMN。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数g(x)＝|x－2|，f(x)＝|x－a|。

(I)当a＝1时，解不等式g(x)－f(x)－>0；

(II)若正数a，b，c，d满足a2＋b2＝g(4)，c2＋d2＝1，求ac＋bd的最大值。