2021“超级全能生”高三全国卷地区3月联考试题(丙卷)数学(文)PDF版含解析
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“超级全能生”2021高考全国卷地区3月联考丙卷
数学文科答案及评分标准
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
选择题评分标准:选对得分,错选,多选,不选均不得分。
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | C | A | C | D | C | D | A | B | B | B | C |
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
填空评分标准:按参考答案给分,结果必须化简,完全正确,写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。
13.x-y+1=0
14.-2
15.
16.2
三、解答题:共70分,解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。
解答题评分标准
(1)导函数:
求单调区间过程要清楚,分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。
取值写成区间或者集合的形式,未写扣1分。
(2)选做题:
[极坐标方程]直角坐标方程转换需要过程,没有过程不得分。
[解不等式]解集要写成集合或区间,未写扣1分。
(3)具体步骤分参照答案解析,没有步骤只有答案均不给分。
(4)试题有不同解法时,解法正确即可酌情给分。
17.解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由a1+a2+b1=10,b3=S2,
联立可得
解得d=3,q=3或q=-3(舍),(3分)
故an=3+3(n-1)=3n(n∈N*),bn=3n-1(n∈N*).(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn==,
所以==,(8分)
所以Tn=++…+=++…+,(10分)
=(11分)
=.(12分)
18.解:(Ⅰ)且由表中数据可得(1分)
(3分)
∴=1.1-0.03×6.5≈0.91,(4分)
∴所求的线性回归方程为=0.03x+0.91.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知xi,yi,i对应的值如下,(8分)
月份x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
月均价y | 1.10 | 1.11 | 1.20 | 1.22 | 1.33 | 1.32 |
月均价 | 1.06 | 1.09 | 1.12 | 1.15 | 1.18 | 1.21 |
|-y| | 0.04 | 0.02 | 0.08 | 0.07 | 0.15 | 0.11 |
由表可知从5月份至10月份销售数据满足|i-yi|>0.07的共有3个,分别设为a,b,c,其余3个分别设为1,2,3,(9分)
从以上6个数据中任取2个,有ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23,共15种结果,其中抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”有ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,共12种结果,(11分)
∴所求概率P==.(12分)
19.解:(Ⅰ)证明:如图,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD于点O.(1分)
∵D1O⊥平面ABCD,
∴AC⊥D1O.(2分)
又D1O∩BD=O,
∴AC⊥平面BDD1,(3分)
∴AC⊥BD1.(4分)
又在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AC∥A1C1,(5分)
∴A1C1⊥BD1.(6分)
(Ⅱ)∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,C1D1∥平面ABCD.(7分)
又E是C1D1的中点,D1O⊥平面ABCD,
∴点E到平面ABCD的距离为D1O.(8分)
又四棱柱的所有棱长为4,∠BAD=60°,(9分)
∴BD=4,AC=4,(10分)
∴D1O===2,(11分)
∴VB-ACE=VE-ABC=D1O·S△ABC=×2××4×2=8.(12分)
20.解:(Ⅰ)由题意得,f′(x)=+4(x>0),(1分)
当a≥0时,f′(x)>0恒成立,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2分)
当a<0时,令f′(x)=+4=0,解得x=-,(3分)
∴当x∈时,f′(x)<0;
当x∈时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.(5分)
综上可知,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上内单调递增;
当a<0时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.(6分)
(Ⅱ)∵f(x)=alnx+4x,
∴f(x)-(a2+4)x+ax2>0恒成立,
即alnx-a2x+ax2>0恒成立,
当a>0,x>1时,a<x+恒成立.(7分)
设g(x)=x+,x>1,
∴g′(x)=.
令h(x)=x2-2lnx+2,
∴h′(x)=2x-,
∴当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,
∴函数h(x)在(1,+∞)上单调递增,(8分)
∴h(x)>h(1)=3,
∴g′(x)=>0,
∴函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴当x>1时,g(x)min>g(1)=,
∴0<a≤;
当a=0时,alnx-a2x+ax2>0显然不成立;(10分)
当a<0,x>1时,a>+x恒成立,设g(x)=x+,则g(x)min>g(1)=,显然a>g(x)不成立,(11分)
∴实数a的取值范围为.(12分)
21.解:(Ⅰ)由题易知,点Q在直线x=-2上,且PQ与直线x=-2垂直,
∴|PQ|即为点P到直线x=-2的距离.(1分)
∵点P在线段FQ的垂直平分线上,
∴点P到点F(2,0)与点Q即到直线x=-2的距离相等,
∴点P的轨迹是以F(2,0)焦点,x=-2为准线的抛物线,(3分)
∴=2,
∴p=4,(3分)
∴点P的轨迹方程为y2=8x.(4分)
(Ⅱ)设点A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l与x轴交于点M(-b,0).
联立消去x得y2-8y+8b=0.(5分)
由Δ>0得64-32b>0,
∴0<b<2,(6分)
∴y1+y2=8,y1y2=8b,(7分)
∴|MF|=2+b,|y1-y2|==,(8分)
∴S△ABF=|MF||y1-y2|
=(b+2)=2(b+2)
=2·.(9分)
设f(b)=-b3-2b2+4b+8,
则f′(b)=-3b2-4b+4,
当b∈时f′(b)>0;
当b∈时f′(b)<0,(10分)
∴f(b)max=f=--2×+4×+8=,(11分)
∴△ABF面积的最大值为2×=.(12分)
22.解:(Ⅰ)将(t为参数)消去t得y2=4x,(2分)
∴曲线C的普通方程为y2=4x.(3分)
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入2ρcosθ-ρsinθ-2=0得2x-y-2=0,
∴直线l的直角坐标方程为2x-y-2=0.(5分)
(Ⅱ)解法一:联立方程消去y得x2-3x+1=0,(6分)
Δ=(-3)2-4×1×1=5>0.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3.(7分)
由于直线l恰好过抛物线y2=4x的焦点,
∴|MN|=x1+x2+2=5.(8分)
又∵原点O到直线l的距离d==,(9分)
∴S△OMN=|MN|×d=×5×=.(10分)
解法二:直线l的参数方程为(t为参数),并代入抛物线y2=4x得=4,(6分)
即t2-t-5=0.
设点M,N对应的参数分别为t1,t2,
∴t1+t2=,t1t2=-5,(7分)
∴|MN|=|t1-t2|===5,(8分)
∴原点O到直线l的距离d==,(9分)
∴S△OMN=|MN|×d=×5×=.(10分)
23.解:(Ⅰ)当a=1时,不等式g(x)-f(x)->0即为|x-2|-|x-1|>,(1分)
当x≤1时,2-x-(1-x)>,即1>恒成立,故x≤1;(2分)
当1<x<2时,-(x-2)-(x-1)>,即3-2x>,解得1<x<;(3分)
当x≥2时,(x-2)-(x-1)>,-1>不成立,不等式无解,(4分)
综上所述,不等式g(x)-f(x)->0的解集为.(5分)
(Ⅱ)解法一:由题意得a2+b2=g(4)=|4-2|=2,c2+d2=1,(6分)
∴(ac+bd)2=(ac)2+2abcd+(bd)2(7分)
≤(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2
=(a2+b2)(c2+d2)=2,
∴ac+bd≤.(8分)
∵a,b,c,d都为正数,
∴当且仅当a=b=1,c=d=时等号成立,(9分)
∴ac+bd≤,
∴ac+bd的最大值为.(10分)
解法二:由题意得a2+b2=g(4)=|4-2|=2,c2+d2=1,(6分)
由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(7分)
得2≥(ac+bd)2.(8分)
∵a,b,c,d都为正数,
∴当且仅当a=b=1,c=d=时等号成立,(9分)
∴ac+bd≤,
∴ac+bd的最大值为.(10分)
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