2021江西省石城中学高三下学期4月第五次周考数学（文）试卷含答案

这是一份2021江西省石城中学高三下学期4月第五次周考数学（文）试卷含答案，共24页。试卷主要包含了复数的虚部为，已知向量＝，已知α为第二象限角，且tan，已知函数f，已知双曲线的左焦点为F等内容，欢迎下载使用。

2021届高三下学期周考5数学（文科）试题
时间120分钟
一．选择题（共12小题）
1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．[1，3）
C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）
2．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，λ），若向量﹣2与向量共线，则||＝（　　）
A． B． C． D．
4．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an+1＝1﹣，则S2021＝（　　）
A． B．1009 C． D．1010
5．如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝﹣，则cos（）＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2019年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：（y0表示碳14的初始量）．2020年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是（　　）（参考数据：log25≈2.3，log211≈3.5）
A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年
8．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝4，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，则球面O的表面积为（　　）
A． B．32π C．64π D．
9．已知函数f（x）＝sinx+cosxsinx，则下列关于函数f（x）的说法中，正确的个数是（　　）
①2π是f（x）的周期；
②f（x）是偶函数；
③f（x）的图象关于直线x＝对称；
④f（x）的最小值是﹣．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知双曲线的左焦点为F（﹣c，0），圆F：（x+c）2+y2＝c2与x轴的负半轴交于点A，与C的一条渐近线的一个交点为B（点B与原点O不重合），若|AB|＝4a，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱．某正圆柱的一个轴截面是四边形ABCD，点P在母线BC上，且BP＝2PC＝4．一只蚂蚁从圆柱底部的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，则这只蚂蚁行走的最短路程为（　　）
A．213 B． C． D．
12．已知曲线f（x）＝ke﹣x在点x＝0处的切线与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，若x1，x2是函数g（x）＝f（x）﹣|lnx|的两个零点，则（　　）
A．|x1﹣x2|＞2 B．x1+x2＞e
C．＜x1x2＜1 D．＜x1x2＜1
二．填空题（共4小题）
13．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，若p为真命题，则a的取值范围为　 　.（结果用区间表示）
14．已知函数f（x）＝x2﹣f'（1）•lnx，点P是曲线y＝f（x）上任意一点，则点P到直线l：x﹣y﹣4＝0的最小距离为　 　．
15．某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件A产品需原料3吨，利润为5万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元，A产品的件数不能超过B产品的件数的，则工厂最大利润为　 　万元．
16．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|（t∈（1，3]），则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是　 　．
三．解答题（共6小题）
17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且S3＝12，a8＝16．数列{bn}为等比数列，满足b1＝a2，b3b5＝256b4．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面2×2列联表．

关注
没关注
合计
男
30


女

30
40
合计



（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’新闻关注程度与性别有关”？
（2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女性的概率．
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，AD⊥CD．点P在线段AD上，平面BPC将三棱锥A﹣BCD分成两部分，VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离．

20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点均在以原点为圆心，短半轴长为半径的圆上，且该圆截直线x+y﹣2＝0所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）已知直线y＝k（x﹣1）与椭圆C的两个交点为A、B，点D的坐标为（，0）．问：的值是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
21．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（其中a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）无极值，求实数a的取值范围；
（2）当x＞0时，证明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
选做题（22题或23题选做一题）
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．
石城中学2021届高三周考五数学（文）试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．[1，3）
C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）
【解答】解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，
B＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，
则A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．
故选：B．
2．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴复数的虚部为．
故选：B．
3．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，λ），若向量﹣2与向量共线，则||＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，向量＝（2，3），＝（﹣1，λ），则﹣2＝（4，3﹣2λ），
又由向量﹣2与向量共线，则有2（3﹣2λ）﹣3×4＝0，
解可得：λ＝﹣，
则＝（﹣1，﹣），则有||＝＝，
故选：B．
4．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an+1＝1﹣，则S2021＝（　　）
A． B．1009 C． D．1010
【解答】解：若a1＝，an+1＝1﹣，
则a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1﹣（﹣1）＝2，a4＝1﹣＝，a5＝1﹣2＝﹣1，
…，
所以{an}的最小正周期为3，
则S2021＝673（a1+a2+a3）+a1+a2＝673×（﹣1+2）+﹣1＝1009．
故选：B．
5．如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由程序框图知：第一次循环sin＝1＞sin0＝0，a＝1，T＝1，k＝2；
第二次循环sinπ＝0＜sin＝1，a＝0，T＝1，k＝3；
第三次循环sin＝﹣1＜sinπ＝0，a＝0，T＝1，k＝4；
第四次循环sin2π＝0＞sin＝﹣1，a＝1，T＝2，k＝5；
第五次循环sin＝1＞sin2π＝0，a＝1，T＝3，k＝6．
不满足条件k＜6，跳出循环，输出T＝3．
故选：A．
6．已知α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝﹣，则cos（）＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：∵α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝﹣，
∴tanα＝﹣，即＝﹣，
又sin2α+cos2α＝1，
∴sinα＝，cosα＝﹣，
∴cos（）＝（cosα+sinα）＝×（﹣+）＝．
故选：A．
7．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2019年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：（y0表示碳14的初始量）．2020年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是（　　）（参考数据：log25≈2.3，log211≈3.5）
A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年
【解答】解：设良渚遗址存在的时期距今大约x年，
则y%y0，即（）＝0.55，
所以＝log2100﹣log255＝2+log25﹣log211≈0.8，
解得x≈5730×0.8＝4584，
故选：C．
8．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝4，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，则球面O的表面积为（　　）
A． B．32π C．64π D．
【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r＝，
因为平面PAD⊥底面ABCD，
所以OO1＝AB＝2，
所以球O的半径R＝＝，
所以球O的表面积＝4πR2＝．
故选：D．
9．已知函数f（x）＝sinx+cosxsinx，则下列关于函数f（x）的说法中，正确的个数是（　　）
①2π是f（x）的周期；
②f（x）是偶函数；
③f（x）的图象关于直线x＝对称；
④f（x）的最小值是﹣．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：函数f（x）＝sinx+cosxsinx，
对于①，函数f（x+2π）＝sin（x+2π）+cos（x+2π）sin（x+2π）＝f（x），所以2π是f（x）的周期，故①正确；
对于②，函数f（﹣x）＝sin（﹣x）+cos（﹣x）sin（﹣x）≠f（x），故函数f（x）不是偶函数，故②错误；
对于③，f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+cos（π﹣x）sin（π﹣x）≠f（x），故函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故③错误；
④由于f（x）＝sinx+cosxsinx，
所以f′（x）＝cosx+cos2x﹣sin2x＝2cos2x+cosx﹣1，
令f′（x）＝0，解得，
当cosx＝时，即sinx＝，
f（x）的最小值是﹣，故④正确．
故选：B．
10．已知双曲线的左焦点为F（﹣c，0），圆F：（x+c）2+y2＝c2与x轴的负半轴交于点A，与C的一条渐近线的一个交点为B（点B与原点O不重合），若|AB|＝4a，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由题意知AB⊥OB，过点F作FD⊥OB于点D，
则由|AF|＝|OF|知，点D为线段OB的中点，且|FD|＝b，
又F为OA的中点，所以|AB|＝2|FD|，
从而4a＝2b，即2a＝b，
故C的离心率为．

故选：C．
11．定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱．某正圆柱的一个轴截面是四边形ABCD，点P在母线BC上，且BP＝2PC＝4．一只蚂蚁从圆柱底部的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，则这只蚂蚁行走的最短路程为（　　）
A．213 B． C． D．
【解答】解：将该圆柱沿母线AD剪开，得到其侧面展开图，
如下图所示．
设底面圆半径为r，则2r＝BC＝6，∴r＝3，
∴在侧面展开图中AB＝πr＝3π．在Rt△ABP中，．
故选：C．

12．已知曲线f（x）＝ke﹣x在点x＝0处的切线与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，若x1，x2是函数g（x）＝f（x）﹣|lnx|的两个零点，则（　　）
A．|x1﹣x2|＞2 B．x1+x2＞e
C．＜x1x2＜1 D．＜x1x2＜1
【解答】解：f（x）＝ke﹣x的导数为f′（x）＝﹣ke﹣x，
在点x＝0处的切线斜率为﹣k，
由切线与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，可得﹣k＝﹣2，
解得k＝2，则f（x）＝2e﹣x，
令g（x）＝0，则|lnx|＝2e﹣x，
作出y＝|lnx|和y＝2e﹣x的图象，
可知恰有两个交点，
设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，0＜x1＜1，x2＞1，
故有＞x2，即x1x2＜1．
又g（）＝2e﹣2＜0，g（）＝2e﹣1＞0，
可得＜x1＜．
即x1x2＞，
g（）＜0，
对x1右边界进一步缩小范围至g（e）＞0，
而x2＞1，确定x2右边界g（）＜0，
这样x1∈（，e），x2∈（1，），
相乘得到＜x1x2＜．
故选：C．

二．填空题（共4小题）
13．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，若p为真命题，则a的取值范围为　[）　.（结果用区间表示）
【解答】解：命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，即＝x﹣对于x∈[1，2]上恒成立，
即f（x）＝x﹣，根据函数的性质函数f（x）在定义域内单调递增，
故，
故a的取值范围为[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
14．已知函数f（x）＝x2﹣f'（1）•lnx，点P是曲线y＝f（x）上任意一点，则点P到直线l：x﹣y﹣4＝0的最小距离为　2　．
【解答】解：由题得，，
∴f'（1）＝2﹣f'（1），∴f'（1）＝1，即．
令f'（x）＝1，可得x＝1或（舍去），
∴在曲线y＝f（x）上与直线l：x﹣y﹣4＝0平行的切线经过的切点坐标为（1，1），
则点P到直线l：x﹣y﹣4＝0的最小距离为．
15．某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件A产品需原料3吨，利润为5万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元，A产品的件数不能超过B产品的件数的，则工厂最大利润为　26　万元．
【解答】解：设生产A产品x件，B产品y件，总利润为z，
则，目标函数z＝5x+y，作出可行域如图：

由，解得，即A（4，6），
结合图形可知，当直线y＝﹣5x+z过A（4，6）时，z有最大值为：5×4+6＝26．．
故答案为：26．
16．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|（t∈（1，3]），则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是　　．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
设|PF1|＝s，|PF2|＝m，
则s＝mt（1＜t≤3），
由双曲线的定义可得s﹣m＝2a，
解得m＝，
由m≥c﹣a，可得t≤，
又1＜t≤3，可得≥3，
即有c≤2a，
则c2≤4a2，即b2≤3a2，
可得所求渐近线斜率的范围是（0，]．
故答案为：（0，]．
三．解答题（共7小题）
17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且S3＝12，a8＝16．数列{bn}为等比数列，满足b1＝a2，b3b5＝256b4．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由S3＝12，a8＝16，可得a1+7d＝16，3a1+3d＝12，
解得a1＝d＝2，所以an＝2n；
由b1＝a2，b3b5＝256b4，可得b1＝4，b42＝256b4，即b4＝256，
可得4q3＝256，解得q＝4，则bn＝4n；
（2）cn＝＝＝（﹣），
所以Tn＝c1+c2+…+cn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝4（1﹣）＝．
18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面2×2列联表．

关注
没关注
合计
男
30


女

30
40
合计



（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’新闻关注程度与性别有关”？
（2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女性的概率．
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（Ⅰ）如图

K2＝＞3.841，
有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’新闻关注程度与性别有关，
（Ⅱ）从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，男生3人，记为a，b，c，女生2人，记为1，2，
选取2名学生共有（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），共10种，符合题意有6种，
所以选取的2名学生中恰有1名女性的概率为．
19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，AD⊥CD．点P在线段AD上，平面BPC将三棱锥A﹣BCD分成两部分，VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离．

【解答】（1）证明：因为AB﹣AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，
因为VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2，VA﹣BPC＝VD﹣BPC，
设点A到平面BPC的距离为hA，点D到平面BPC的距离为hD，
所以，
所以hA＝hD，即，所以P为AD的中点，所以BP⊥AD，
取BD的中点E，连结AE，则AE⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且AE⊂平面ABD，
所以AE⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD，
又CD⊥AD，AE∩AE＝A，AE，AE⊂ABD，所以CD⊥平面ABD，
因为BP⊂平面ABD，所以CD⊥BP，
又因为AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，
所以BP⊥平面ACD；
（2）解：因为E为BD的中点，正三角形ABD的边长为2，所以，
由（1）可知AE⊥平面BCD，又因为P为AD的中点，
所以点P到平面BCD的距离为，
连结BM，由（1）可知，CD⊥BD，∠BCD＝30°，
所以CD＝，BC＝4，BP＝，
所以，
由（1）可知，BP⊥平面ACD，CP⊂平面ACD，所以BP⊥CP，
所以，
设点M到平面BPC的距离为d，
则由等体积法可得，VM﹣BCP＝VP﹣BCM，
所以，
故＝，
故点M到平面BPC的距离为．

20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点均在以原点为圆心，短半轴长为半径的圆上，且该圆截直线x+y﹣2＝0所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）已知直线y＝k（x﹣1）与椭圆C的两个交点为A、B，点D的坐标为（，0）．问：的值是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
【解答】解：（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2＝b2，
因为圆x2+y2＝b2过椭圆的两焦点，
所以b＝c，
因为圆x2+y2＝b2截直线x+y﹣2＝0所得弦长为2，
所以圆心到直线的距离与弦长的一半的平方和等于半径的平方，
所以2＝2，解得b＝2，
所以a2＝b2+c2＝2b2＝8，
所以椭圆C的标准方程为+＝1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，
所以△＞0，
所以x1+x2＝，x1x2＝，
因为D（，0），
所以＝（﹣x1，﹣y1），＝（﹣x2，﹣y2），
所以•＝（﹣x1，﹣y1）•（﹣x2，﹣y2）
＝x1x2﹣（x1+x2）++k2（x1﹣1）（x2﹣1），
＝（1+k2）x1x2﹣（+k2）（x1+x2）+k2+
＝（1+k2）（）﹣（+k2）（）+k2+
＝+＝﹣，
所以•的值为定值﹣．
21．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（其中a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）无极值，求实数a的取值范围；
（2）当x＞0时，证明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
【解答】（1）解：f'（x）＝ex﹣x﹣a，
∵函数f（x）是R上的单调递函数，
∴f'（x）≥0在x∈R上恒成立，即ex﹣x≥a在x∈R时恒成立，
或f'（x）≤0在x∈R上恒成立，即ex﹣x≤a在x∈R时恒成立，
令g（x）＝ex﹣x，则g'（x）＝ex﹣1，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
则g（x）min＝g（0）＝1，无最大值，故f'（x）≥0在x∈R上恒成立，
f（x）在R上单调递增，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；
（2）证明：由（Ⅰ）可知，当a＝1时，当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，即ex﹣1＞+x，
欲证（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，只需证（+x）ln（x+1）＞x2，
即证ln（x+1）＞即可，
构造函数h（x）＝ln（x+1）﹣（x＞0），
则h′（x）＝﹣＝＞0恒成立，
故h（x）在（0，+∞）单调递增，
从而h（x）＞h（0）＝0，
即ln（x+1）﹣＞0，亦即ln（x+1）＞，
故（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．
【解答】（1）直线L的参数方程为：（t为参数）．
曲线C的极坐标方程是，
转化为直角坐标方程为：y2＝8x
（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），
代入y2＝8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），
所以：，t1t2＝﹣16．
所以：．
O到AB的距离为：d＝．
则：＝．
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）＝2x+1﹣（x﹣4）＝x+5＞0，
得x＞﹣5，所以x≥4；
当时，f（x）＝2x+1+x﹣4＝3x﹣3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4；
当时，f（x）＝﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5．
综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）；
（2）方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0没有实数根，即f（x）+3|x﹣4|＝2m2﹣3m没有实数根，
令g（x）＝f（x）+3|x﹣4|＝|2x+1|+2|x﹣4|＝|2x+1|+|2x﹣8|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|＝9，
当且仅当（2x+1）（2x﹣8）≤0时，即时等号成立，即g（x）值域为[9，+∞），
若g（x）＝2m2﹣3m没有实数根，则2m2﹣3m＜9，即2m2﹣3m﹣9＜0，
所以实数m的取值范围为（）．