2021内江六中高三下学期第五次月考数学（文科）试题PDF版含答案

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内江六中高2021届高三第五次月考

数学试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先利用一元二次不等式的解法和对数函数的单调性化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.

【详解】

因为集合，

，

所以

故选：C

2．已知为虚数单位，复数的共轭复数为，且满足，则 (    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设，则，

由，得：，即

易得：，∴

故选A

3．已知一组数据3,5,7,x,10的平均数为6,则这组数据的方差为

A．             B．6             C．        D．5

4．已知等差数列的前项和为，，若是与的等差中项，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设等差数列的公差为，根据题意得出关于的方程，解出，再利用等差数列的通项公式可求得的值.

【详解】

设等差数列的公差为，因为是与的等差中项，则，

其中，，，

所以，，可得，因此，，

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用基本量法求解，考查计算能力，属于基础题.

5.已知，均为单位向量，，则 

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．

【详解】解：，均为单位向量，且，

，

，

则，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．

6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为的等腰

三角形俯视图是半径为的半圆，则该几何体的体积是（     ）

A．       B．         C．        D．

6．（原创）A【命题意图】考查几何体的三视图和体积公式，同时考查空间想象能力．

      解析：该几何体是半个圆锥，底面是半径为的半个圆，高为，

   故体积，故选A．

7.过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为、，若，则实数（    ）

A．2 B．3 C．4 D．9

7．【答案】A

【解析】如图所示，

取圆上一点，过作圆的两条切线、，

当时，，且，；，

则实数．故选A．

8.已知对数函数的图象经过点与点，，则(  )

A. B. C. D.

8.答案：D

解析：设对函数，由已知可得，解得，

所以，则，

所以

9．函数的图象向右平移个单位 长度得到的图象.命题的图象关于直线对称;命题是的一个单调增区间.则在命题和中,真命题是(     )

A.          B.         C.      D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先利用辅助角公式将函数化为，由三角函数的图像变化规律求出的解析式，根据三角函数的性质判断与真假，再由命题的否定以及真假表即可判断.

【详解】解:由，

则,

由，解得，

显然不是对称轴，故为假命题.

由，解得，

故函数的单调递增区间为,

当时，，又，故为真命题.

故为真命题，为假命题，

故为真命题；为假命题；

为真命题；为假命题；

故选：A.

【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题.

10.已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】

∵双曲线，

∴双曲线的渐近线方程是y=x

又抛物线的准线方程是x=−，

故A,B两点的纵坐标分别是y=，，

又，∴，即，，

故选D

11．在三棱锥中，底面，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用正弦定理求出的外接圆直径，利用公式可计算得出三棱锥的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果.

【详解】

如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为，

取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于，则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得.

本题中，平面，设的外接圆为圆，可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示：

设的外接圆直径为，，

由正弦定理可得，，该三棱锥的外接球直径为，则.

因此，三棱锥的外接球的表面积为.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

12．已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.

【详解】

，

，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且 ，

当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；

的取值范围是，故本题选D.

【点睛】

本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.

第II卷（非选择题）

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二、填空题

13．已知，满足，则的最小值为      ．

13.    -8

14．已知曲线在点处的切线为，若与曲线相切，则_____.

答案：8

解析：令，则.因为，所以曲线在点处的切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即.联立得方程组所以.由于切线与曲线相切，故，解得.

15.已知是抛物线：的焦点，点的坐标为，点是上的任意一点，当在点时，取得最大值；当在点时，取得最小值，则，两点间的距离为__________．

【答案】

16．已知在锐角的面积为，且，其内角，，所对边分别为，，，则边的

最小值为_____________.

【答案】2

【分析】

先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得，

构造函数，再用导数求得最值.

【详解】

由，得，

即，结合正弦定理得，

再由余弦定理可得，整理.

又由余弦定理可得，代入上式得，

又锐角的面积，所以时，所以，

设函数，求导可得，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.于是，即，当且仅当时，等号成立.

故答案为：2

【点晴】

结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且满足：.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（1）根据向量平行的坐标关系，得到关于三角形边角关系式，运用正弦定理，化边为角，结合两角和差公式，即可求解；

（2）由（1）求出，用余弦定理得出关系式，运用基本不等式，可求出结论.

【详解】解：（Ⅰ）由，，

得，，

在中，由正弦定理

得，

化简得，

因，所以.

（Ⅱ）在中，由（1）得，由余弦定理得，

，所以，

当且仅当时“”成立.

因，

所以当且仅当时，面积的最大值为.

【点睛】本题考查向量平行的坐标关系，考查正余弦定理解三角形，以及基本不等式求最值，属于中档题.

18.从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），除夕夜22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就除夕夜22:18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：

（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？

（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；

（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官网上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.

参考公式：

【答案】(1)见解析;(2)8125;(3) .

【解析】试题分析：(1) 由表中可知,a,b,c,d,n，代入卡方公式可求得,可得结论。（2）由样本频率估计概率，可知P=，所以集齐人数为n=.(3) 由由枚举法与古典概型可求。

（2）这80位大学生集齐五福的频率为.

据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为.

（3）设选取的2位男生和3位女生分别记为， ， ， ， ，随机选取3次采访的所有结果为， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有10个基本事件，至少有一位男生的基本事件有9个，

故所求概率为.

【点睛】

独立性检验的关键

(1)根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表.

(2)K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大.

19．（12分）在三棱柱中，，分别为，中点．

（1）求证：；

（2）若面面, △为正三角形，，，，求四棱锥的体积．

20．（12分）椭圆：，焦距为， 为椭圆上一点，为焦点，且轴，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为轴正半轴上的定点，过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，且，求点的坐标．

21．（本小题满分12分）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于的方程有唯一实数解，且，求的值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

分析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）设h（x）＝lnx﹣ex+ax﹣a（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出n的值即可．

【详解】(1)

当时，，在上单调递增；

当时，时，，单调递减，时，，单调递增.

综上所述:当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

(2)由己知可得方程有唯一解，且

设，即有唯一解，

由，则在上单调递减.

所以在上单调递减，即在单调递减.

又时，时，

故存使得，

当时，，在上单调递增

时，在上单调递减.

又有唯一解，则必有

当时，，故存在唯一的满足下式:

由消去得.

令

故当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增.

由.

即存在，使得，即.

又关于的方程有唯一实数解，且

.故.

【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）已知点的极坐标为，点为曲线上的一动点，求线段的中点到直线的距离的最大值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设，，为正数，．

（1）若，求函数的最小值；

（2）若，且，，不全相等，求证：．

23. 解：（1）因为，

……………………1分

法1:由上可得:

……………………3分

所以，当x=-1时，函数的最小值为2……………………4分

……………2分

当且仅当,即x=-1时取得最小值2…………………

（2）证明：因为，，c为正数，所以要证

即证明就行了……………………6分

 法1:因为

…8分

又因为即 且，，不全相等，

所以

即………………10分

法2:因为()(

……………………8分

又因为即 且，， 不全相等，

所以

即………………10分