2021江苏省新高考基地学校高三下学期4月第二次大联考数学试题含解析

这是一份2021江苏省新高考基地学校高三下学期4月第二次大联考数学试题含解析，共28页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

2021届新高考基地学校高三第二次大联考
数 学 2021年4月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设全集为R，集合A＝{x|2则A∩(ÝRB)＝
A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}
2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则
A．小王的搭档一定是小芳 B．小芳的搭档不可能是小张
C．小张的搭档不可能是小红 D．小李的搭档可能是小丽
3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%
A．2023 B．2026 C．2029 D．2032
4．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为
A．3：1 B．3：2
C．1：3 D．2：3
5．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是
A．[0，4] B．(4，6) C．[4，6] D．(6，＋∞)
6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝Blog2(1＋)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为
A．0.1W B．1.0W C．3.2W D．5.0W
7．已知椭圆C：的焦距为2c(c＞0)，右焦点为F，过C上一点P作直线的垂线，垂足为Q．若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为
A． B． C． D．
8．已知函数且则
A．f(a)＜f(b)＜f(c) B．f(b)＜f(c)＜f(a)
C．f(a)＜f(c)＜f(b) D．f(c)＜f(b)＜f(a)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，d＜0，则
A．数列{an}单调递减 B．数列{an}没有最小值
C．数列{Sn}单调递减 D．数列{Sn}有最大值
10．已知a，b均为正数，且a－b＝1，则
A．2a－2b＞1 B．a3－b3＜1
C．－≤1 D．2log2a－log2b<2
11．已知函数(－π，π)，则
A．∀x∈(－π，π)，f(x)f(－x)≥0
B．∀x∈(－π，π)，|f(x)|≤1
C．$x1，x2∈(－π，π)，x1≠x2，f(x1)＝f(x2)
D．$x0∈(－π，π)，∀x∈(－π，π)，|f(x)|≤f(x0)
12．由倍角公式可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)次多项式Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则
A．P3(t)＝4t3－3t
B．当n≥3时，
C．
D．sin18°＝
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．
14．已知正方形ABCD的边长为2，当点P满足_______时，．
(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
15．设(x－)( x＋)6＝，则(a0＋a2＋a4＋a6)－(a7＋a9＋a11＋a13)＝_______．
16．已知等边三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AC，BC上，且DE//AB，将△CDE沿DE折起，则四棱锥C－DABE的体积的最大值为_______，此时四棱锥C－DABE的外接球的表面积为_______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在①4asinBcosA＝b，②bsin2B＋csin2C＝(b＋c) sin2A，③sinA＋cosA＝＋．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC＝， ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．







18．(12分)
已知数列满足a1＝2，(n＋2)an＝3(n＋1)an＋1．
(1)求数列的通项公式
(2)设Sn为数列的前n项和，求证Sn＜．





19．(12分)
阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：
规格
中蟹
大蟹
特大蟹
重量
(单位：克)
[160，180)
[180，200)
[200，220)
[220，240)
[240，260)
[260，280]
数量
(单位：只)
3
2
15
20
7
3
(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X，求X的概率分布和数学期望．








20．(12分)
已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A、B的一点，点P到A，B，C的距离均为设二面角P－AC－B与二面角P－BC－A的大小分别为α，β．
(1)求的值；
(2)若求二面角A－PC－B的余弦值．
P
O
C
B
A
















21．(12分)
在平面直角坐标系中，过点M(0，－1)的直线交抛物于A，B两点．
(1)设OA，OB的斜率分别为k1，k2，求的值；
(2)过点A，B分别作直线x＝－4的垂线，垂足为C、D，试探究∠AOB和∠COD的关系，并说明理由．









22．(12分)
已知函数f(x)＝－x2＋6x＋3logax(a＞0，且a≠1)为单调减函数，f(x)的导函数f′(x)的最大值不小于0．
(1) 求a的值；
(2)若f(x1)＋f(x2)＝9，求证：x1＋x2≥2．



2021届新高考基地学校高三第二次大联考
数 学 解析版 2021年4月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设全集为R，集合A＝{x|2则A∩(ÝRB)＝
A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}
【答案】C
【考点】集合的运算、解指数不等式
【解析】由题意可知，B＝{x|x＞4}，所以ÝRB＝{x|x≤4}，则A∩(ÝRB)＝{x|2＜x≤4}，故答案选C.
2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则
A．小王的搭档一定是小芳 B．小芳的搭档不可能是小张
C．小张的搭档不可能是小红 D．小李的搭档可能是小丽
【答案】D
【考点】逻辑推理题
【解析】由题意可知，小王的搭档可以是小芳、小丽，小张的搭档可以是小红、小芳，小李的搭档可以是小红、小丽，所以①当小王的搭档是小芳时，小张的搭档是小红，小李的搭档是小丽，满足题意；②当小王的搭档是小丽时，小张的搭档是小芳，小李的搭档是小红，满足题意；则选项A、B、C均错误，故答案选D.
3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%
A．2023 B．2026 C．2029 D．2032
【答案】C
【考点】线性回归方程的实际应用
【解析】法一：由题意可令y＜50，即－0.74x＋1551＜50，解得x＞2028.38，则x＝2029，故答案选C.
法二：可代入选项验证，即y＝－0.74×2029＋1551＝49.54＜50，即从2029年开始16~59岁人口比重低于50%，故答案选C.
4．碌碡(liù zhóu)是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为
A．3：1 B．3：2 C．1：3 D．2：3
【答案】B
【考点】新情景问题下的立体几何问题
【解析】由题意可设圆柱形碌碡的高为h，其底面圆的直径为d，则有2πh＝πd×3，所以h：d＝3：2，故答案选B.
5．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是
A．[0，4] B．(4，6) C．[4，6] D．(6，＋∞)
【答案】C
【考点】复数的运算
【解析】由题意可设z＝a＋bi，则有a2＋(b－1) 2＝1，又因为|z－3＋3i|＝t，即|a－3＋(b＋3)i|＝t，所以t＝，可设a＝cosθ，b＝sinθ＋1，(θ为任意角)，则t＝＝＝＝(tanφ＝)∈[4，6]，当θ＋φ＝时取到最大值；当θ＋φ＝时取到最小值，所以实数t的取值范围是[4，6]，故答案选C.
6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝Blog2(1＋)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为
A．0.1W B．1.0W C．3.2W D．5.0W
【答案】A
【考点】新情境问题下的对数运算
【解析】由题意可得S＝1000W，N＝10W，则在信道容量未增大时，信道容量为C1＝Blog2(1＋)＝Blog2101，信道容量增大到原来的2倍时，C2＝Blog2(1＋)＝2C1，则log21012＝log2(1＋)，即1＋＝1012，解得N′≈0.1 W，故答案选A.
7．已知椭圆C：的焦距为2c(c＞0)，右焦点为F，过C上一点P作直线的垂线，垂足为Q．若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用
【解析】法一：由题意可知|PQ|＝|OP|＝|OF|＝c，而xP＝－c＝c，所以yP＝c，则△OPF为正三角形，设椭圆的左焦点为F1，则PF1⊥PF，且PF＝c，PF1＝c，所以由椭圆的定义可得PF＋PF1＝2a，即c＋c＝2a，解得离心率为－1，故答案选D.
法二：由题意可知|PQ|＝|OP|＝|OF|＝c，而xP＝－c＝c，所以yP＝c，即P(c，c)，代入椭圆方程可得，，又a2＝b2＋c2，则化简为，即e2＋×＝1，解得e2＝4－2＝(－1)2，则e＝－1，故答案选D.
8．已知函数且则
A．f(a)＜f(b)＜f(c) B．f(b)＜f(c)＜f(a)
C．f(a)＜f(c)＜f(b) D．f(c)＜f(b)＜f(a)
【答案】A
【考点】利用函数的单调性判断函数值大小
【解析】由题意f′(x)＝，所以f(x)在[1＋a，＋¥)上单调递减，而所以c＝ea≥a＋1，b＝ec≥c＋1≥a＋2，则有b＞c≥a＋1，又因为f(a)＝0，f(b)，f(c)均大于0，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，故答案选A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，d＜0，则
A．数列{an}单调递减 B．数列{an}没有最小值
C．数列{Sn}单调递减 D．数列{Sn}有最大值
【答案】ABD
【考点】等差数列的单调性与前n项和的最值
【解析】由题意，对于无穷等差数列{an}，因为d＜0，所以数列{an}单调递减，且无穷递减，所以没有最小值，故选项A、B均正确；对于数列{Sn}，Sn＝na1＋nd(n－1)＝dn2＋(a1－d)n，为关于n的二次函数，其对称轴为n＝－，因为a1＞0，d＜0，所以该二次函数的图象开口向下，则有最大值，所以选项C错误，选项D正确；故答案选ABD.
10．已知a，b均为正数，且a－b＝1，则
A．2a－2b＞1 B．a3－b3＜1
C．－≤1 D．2log2a－log2b<2
【答案】AC
【考点】不等关系、对数运算与应用
【解析】由题意，对于选项A，因为a－b＝1，所以2a－2b＝－2b＝2b(2－1)＝2b＞1，故选项A正确；对于选项B，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a2＋ab＋b2＝(b－1)2＋(b－1)b＋b2＝3b2＋3b＋1＞1，故选项B错误；对于选项C，－＝(－)(a－b)＝4＋1－－＝5－(＋)≤5－2＝1，当且仅当＝，且a－b＝1，即a＝2，b＝1时取等号，故选项C正确；对于选项D，2log2a－log2b＝log2a2－log2b＝log2＝log2＝log2(b＋＋2)≥log24＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取等号，故选项D错误；故答案选AC.
11．已知函数(－π，π)，则
A．∀x∈(－π，π)，f(x)f(－x)≥0
B．∀x∈(－π，π)，|f(x)|≤1
C．$x1，x2∈(－π，π)，x1≠x2，f(x1)＝f(x2)
D．$x0∈(－π，π)，∀x∈(－π，π)，|f(x)|≤f(x0)
【答案】BCD
【考点】函数的性质综合应用
【解析】法一：由题意可知，f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(－x)＝－f(x)2≤0，故选项A错误；对于选项B，|f(x)|＝≤≤1，故选项B正确；对于选项C，可取x1＝0，x2＝π，则f(x1)＝f(x2)，即满足题意，故选项C正确；对于选项D，当x∈(0，π)时，f(x)＞0，而f(0)＝f(π)，所以|f(x)|存在最大值，故选项D正确；故答案选BCD.
法二：由题意可知，f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(－x)＝－f(x)2≤0，且|f(x)|＝≤≤1，故选项A错误，B正确；因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，可设g(x)＝3cosx(x2＋1)－2xcosx，则g′(x)＝－3sinx(x2＋1)＋6xcosx－2sinx－2cosx＝－3sinx(x2＋1)＋4xcosx－2sinx≤0在区间[0，π]上恒成立，所以g(x)在[0，π]上单调递减，且g(0)＝3，g(π)＝－3(π2＋1)＜0，所以存在唯一的x0∈(0，π)，使得g(x)＝0，而当0＜x＜x0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增；当x0＜x＜π时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，所以f(x)在(x0，π)上单调递减，则当x∈(0，π)时，f(x)在x＝x0处取到唯一的极大值，也是最大值，故选项C、D正确；故答案选BCD.
12．由倍角公式可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)次多项式Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则
A．P3(t)＝4t3－3t
B．当n≥3时，
C．
D．sin18°＝
【答案】ACD
【考点】新情境下问题下的三角函数的综合应用
【解析】
法一：，∴cos3x＝P3(cosx)，则P3(t)＝4t2－3t，故选项A正确；由
，可得常数项为1不为0，故选项B错误；对于选项C，由，且故选项C正确；对于选项D，因为cos72°＝sin18°，所以2cos236°－1＝cos72°＝sin18°，所以2(1－2sin218°)－1＝sin18°，可设sin18°＝t，则2(1－2t 2)－1＝t，解得t＝，故选项D正确；
综上，答案选ACD.
法二：因为cos3x＝cos2xcos，
所以x，即选项A正确；令，则，则，则即选项B错误；令x＝0，则t＝cosx＝1，可得，所以则选项C正确；设则将代入，方程成立，即选项D正确；
综上，答案选ACD．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．
【答案】
【考点】随机事件的概率求解
【解析】由题意，由插空法得3天中恰有2天连排的概率为P＝＝，故答案选C.
14．已知正方形ABCD的边长为2，当点P满足_______时，．
(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
【答案】点P在直线BD上(或点P在经过BD且垂直于平面ABCD的面上)
【考点】平面向量的数量积
【解析】由题意，当点P为AC的中点时，＝2×2×cos0°＝4，可满足题意，，故答案可为：AC的中点.
15．设(x－)(x＋)6＝，则(a0＋a2＋a4＋a6)－(a7＋a9＋a11＋a13)＝_______．
【答案】20
【考点】二项式定理展开式的应用
【解析】法一：由题意可得，(x－)(x＋)6＝＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋…＋a14，则(x＋)6(x－)＝[()6＋6×＋15×＋20＋12x2＋6x4＋x6](x－)＝x7＋5x5＋9x3＋5x－5－9－5－，所以a0＝1，a2＝5，a4＝9，a6＝5，a7＝a9＝a11＝a13＝0，所以(a0＋a2＋a4＋a6)－(a7＋a9＋a11＋a13)＝20，故答案选20.
法二：由题意可得，(x－)(x＋)6＝＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋…＋a14，所以a0＝1，a2＝－＋，a4＝－＋，a6＝－＋，且a7＝a9＝a11＝a13＝0，所以(a0＋a2＋a4＋a6)－(a7＋a9＋a11＋a13)＝20，故答案选20.
16．已知等边三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AC，BC上，且DE//AB，将△CDE沿DE折起，则四棱锥C－DABE的体积的最大值为_______，此时四棱锥C－DABE的外接球的表面积为_______．
【答案】．
【考点】立体几何的体积与外接球问题
【解析】
(1)设M，N分别为DE，AB的中点，DE＝x，则AD＝BE＝2－x，
等腰梯形DABE×CM其中0＜x＜2．
记f(x)＝，0＜x＜2，
则f′(x)＝＝(2＋x)(2－x)，
令f′(x)＝0，得此时，
所以四棱锥C－DABE的体积的最大值为
(2)设分别为△CDE，等腰梯形DABE的外接圆的圆心，
则为CM的三等分点(靠M)，在直线MN上．
设过分别与△CDE，等腰梯形DABE垂直的直线交于点O(四棱锥C－DABE的外接球的球心)，连接O2A，O2D，O2O，O1O，
由(1)知，等腰梯形DABE中，AB＝2，DE＝
，则在线段MN的延长线上，
设，由AO22＝DO22得，，
即，解得
则
所以四棱锥C－DABE的外接球的表面积S

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在①4asinBcosA＝b，②bsin2B＋csin2C＝(b＋c) sin2A，③sinA＋cosA＝＋．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC＝， ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用
【解析】
选①：因为由正弦定理得 ……2分
所以B∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以 ……3分
又A∈(0，π)，2A∈(0，2π)，所以或，即或． ……5分
因为C∈(0，π)，所以 ……6分
当时，cosB＝－cos(A＋C)
＝－(×－×)＝， ……8分
当时，cosB＝－cos(A＋C)
＝
因此cosB的值为或． ……10分
选②：因为
由正弦定理得 ……2分
因为b＋c＞0，所以 ……4分
所以
因为A∈(0，π)，所以 ……6分
因为cosC＝，C∈(0，π)，所以 ……7分
所以cosB＝－cos(A＋C)
＝
因此cosB的值 ……10分
选③：因为sinA＋cosA＝＋，所以2sin(A＋)＝＋， ……2分
因为2≥2 sin(A＋)＝＋≥2＝2， ……4分
于是＋＝2，即a＝b；且2sin(A＋)＝2，即sin(A＋)＝1， ……6分
注意到A∈(0，π)，A＋∈(，)，
因此A＋＝，即A＝， ……8分
于是△ABC为等边三角形，
因此相矛盾，
故△ABC不存在． ……10分

18．(12分)
已知数列满足a1＝2，(n＋2)an＝3(n＋1)an＋1．
(1)求数列的通项公式；
(2)设Sn为数列的前n项和，求证Sn＜．
【考点】数列求通项公式、利用数列错位相减法或裂项相消法求和证明不等式
【解析】
(1)法一：由(n＋2)an＝3(n＋1)an＋1，得 ……2分
因为a1＝2，所以所以
所以是首项为1，公比为的等比数列， ……4分
所以即 ……6分
法二：由(n＋2)an＝3(n＋1)an＋1， ……2分
所以＝×，＝×，＝×，…，＝×(n≥2)，
所以×××…×＝()××××…×(n≥2)， ……4分
即an＝(n＋1)()(n≥2)．
由于a1＝2符合上式，所以an＝(n＋1)()(n∈N*)． ……6分
(2)法一：由S得

两式相减，得 ……9分

所以得证． ……12分
法二：由an＝(n＋1)()＝－， ……9分
所以Sn＝(－)＋(－)＋(－)＋
…＋[－]
＝－＝－＜，得证． ……12分
19．(12分)
阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：
规格
中蟹
大蟹
特大蟹
重量
(单位：克)
[160，180)
[180，200)
[200，220)
[220，240)
[240，260)
[260，280]
数量
(单位：只)
3
2
15
20
7
3
(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X，求X的概率分布和数学期望．
【考点】随机变量的概率分布与期望
【解析】
(1)50只大闸蟹的平均重量为：
＋230×20＋250×7＋270×3)＝224， ……3分
所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100000÷224≈446． ……5分
(2)X的可能取值为0，1，2，3， ……6分
概率分别为：
P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝
X
0
1
2
3
P




……10分
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． ……12分

20．(12分)
已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A、B的一点，点P到A，B，C的距离均为设二面角P－AC－B与二面角P－BC－A的大小分别为α，β．
(1)求的值；
(2)若求二面角A－PC－B的余弦值．
P
O
C
B
A








【考点】立体几何中位置关系的证明、求二面角、与三角函数的综合应用
z
【解析】
P
(1)连结PO，OC．因为，O为AB的中点，
所以PO⊥AB．
因为C是圆O上异于A，B的一点，AB是圆O的直径，
所以AC⊥BC，从而AO＝CO．
M
A
B
又因为，，
O
y
x
所以△PAO≌△PCO，
所以∠POC＝∠POA，即
因为AO，COÌ平面ABC，AO∩CO＝O，
所以PO⊥平面ABC． ……2分
分别取AC，BC的中点M，N，
连接PM，OM，PN，ON，则在圆O中，OM⊥AC．
由PO⊥平面ABC，得PO⊥AC．
又PO∩OM＝O，故AC⊥平面PMO，
所以AC⊥PM．
所以∠PMO＝α．
同理，∠PNO＝β．
于是 ……6分
(2)因为，所以
在圆O中，CA⊥CB，以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线
为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系
则C(0，0，0)，A(2，0，0)，．
又因为PO⊥平面ABC，所以OP//z轴，从而
则． ……8分
设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
不妨取则x＝此时
同理，平面PBC的一个法向量0，1) ． ……10分
所以cos＜m，
又二面角A－PC－B为钝二面角，
所以二面角A－PC－B的余弦值为 ……12分

21．(12分)
在平面直角坐标系中，过点M(0，－1)的直线交抛物于A，B两点．
(1)设OA，OB的斜率分别为k1，k2，求的值；
(2)过点A，B分别作直线x＝－4的垂线，垂足为C、D，试探究∠AOB和∠COD的关系，并说明理由．
【考点】圆锥曲线中双曲线与直线的位置关系解决斜率之和为定值、角度与斜率的关系
【解析】
(1)设A(，y1)，B(，y2)
因为直线AB过点M(0，－1)，
所以＝，整理得， ……2分
所以 ……4分
(2)①当A，B两点在x轴的异侧时，∠AOB＋∠COD＝π；
②当A，B两点在x轴的同侧(只能同在下方)时，∠AOB＝∠COD． ……6分
理由如下：
① 当A，B两点在x轴的异侧时，不妨设
直线OA，OB的斜率分别为
tan(π
由题意，C(－4，y1)，D(－4，y2)，
所以直线OC，OD的斜率分别为
tan(π－∠COD)＝＝＝．
所以tan(π－∠AOB)＝－tan(π－∠COD)＝tan∠COD．
因为∠AOB，∠COD∈(0，π)，
所以π－∠AOB＝∠COD，即∠AOB＋∠COD＝π． ……9分
(2)当A，B两点在x轴的同侧(只能同在下方)时，不妨设
tan
tan∠COD＝＝＝，
所以tan∠AOB＝tan∠COD．
因为∠AOB，∠COD∈(0，π)，所以∠AOB＝∠COD． ……12分


22．(12分)
已知函数f(x)＝－x2＋6x＋3logax(a＞0，且a≠1)为单调减函数，f(x)的导函数f′(x)的最大值不小于0．
(1) 求a的值；
(2)若f(x1)＋f(x2)＝9，求证：x1＋x2≥2．
【考点】函数与导数：恒成立问题、利用单调性证明不等式
【解析】
(1)因为f(x)为单调减函数，
所以f′恒成立，
所以在x∈(0，＋∞)上恒成立． ……2分
由于当x＝1时，，
所以，解得 ……4分
因为f′，
当时，f′(x)的最大值为，
由题意，，所以
综上， ……6分
(2)由(1)知，，所以
因为，f(x)为(0，＋∞)单调减函数，
可设 ……8分
令F(x)＝f(x)＋f(2－x)，0＜x≤1．
所以F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)
＝[6－3(x＋)]－[6－3(2－x＋)]＝≤0，
所以F(x)在(0，1]上单调递减，
所以F(x)≥F(1)＝2f(1)＝9，
所以f(x)＋f(2－x)≥9，0＜x≤1． ……10分
因为0＜x1≤1，所以f(2－x1)≥9－f(x1)＝f(x2)．
因为f(x)为(0，＋∞)单调减函数，
所以2－x1≤x2，即x1＋x2≥2． ……12分