2021省大庆高三下学期第二次教学质量监测试题（二模）（4月）数学（文）PDF版含答案
展开大庆市高三年级第一次教学质量检测
文科数学答案及评分标准
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | A | D | B | C | D | B | B | C | A | A | C |
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ； 14. ； 15. ； 16. .
三.解答题
17.（本小题满分12分）
解：（1）当时，
，
解得， ……………1分
当时，
， ……………3分
得，
因为，
所以，
因为，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ……………5分
所以. ……………6分
（2）因为， ……………7分
所以， ……………9分
所以数列的前项和
. ……………12分
18.（本小题满分12分）
解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，
没使用过政府消费券的人数为人，
完成表格如下：
| 使用过政府消费券 | 没使用过政府消费券 | 总计 |
45岁及以下 | 90 | 30 | 120 |
45岁以上 | 50 | 30 | 80 |
总计 | 140 | 60 | 200 |
……………2分
由列联表可知， ……………4分
因为，
所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关． ……………6分
（2）由题意可知，
从45岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6人，
没有使用过政府消费券的市民2人， ……………7分
设使用过政府消费券的人为1，2，3，4，5，6，没使用过政府消费券的人为，，则全部情况为：
12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，1，2，3，4，5，6，1，2，3，4，5，6，， 共计28种情况， ……………9分
其中，一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的情况有12种， ……………10分
所以恰好抽到“一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券”的概率为．………12分
19.（本小题满分12分）
取中点为，连接、，
因为是正方体，点和为所在棱中点，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥， ……………2分
在正方形中，点和为中点，
所以∥， ……………3分
所以∥， ……………4分
又因为，， ……………5分
所以//平面． ……………6分
（2）因为∥平面，
所以， ……………8分
在四面体中，
， ……………10分
到平面的距离为2，
所以． ……………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）因为椭圆的长轴长为4，
所以，即． ……………1分
又因为椭圆上的离心率为，
，
即， ……………2分
所以，
所以椭圆的方程为． ……………4分
（2）由（1）得，
因为，
设直线的方程为，， ……………5分
联立方程得，
化简得，
， ……………7分
且， ……………9分
因为，，
所以
， ……………11分
所以． ……………12分
21.（本小题满分12分）
解：由题意得， ……………1分
①时，恒成立，
所以，所以在单调递增． ……………3分
②时，在上，在上，
所以在单调递减，在单调递增． ……………5分
综上,
时，在单调递增．
时，在单调递减，在单调递增． ……………6分
（2）因为有两个相异零点，，
由（1）可知，，
不妨设，
因为，，
所以，，
所以， ……………7分
要证，
即证，
等价于证明，而，
所以等价于证明，
也就是. （*） ……………9分
令，则，
于是欲证（*）成立，等价于证明成立，
设函数，
求导得，
所以函数是上的增函数， ……………11分
所以，
即成立，
所以成立． ……………12分
22．（本小题满分10分）
解：（1）由（为参数），消去参数可得直线的普通方程为，
……………2分
由，
得，
即，
整理可得曲线的直角坐标方程为． ……………4分
（2）直线经过点，
将直线的参数方程（为参数）代入椭圆中，
整理得， ……………6分
显然，
设点，对应的参数分别为，，
则有，， ……………8分
因为同号，
故． ……………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）法一：
由绝对值三角不等式可得， ……………2分
当且仅当时，等号成立，
所以． ……………4分
法二：
因为．
①当时，； ……………1分
②当时，； ……………2分
③当时，； ……………3分
综上，的最小值． ……………4分
（2）因为，
所以，
同理可得，， ……………6分
由基本不等式可得
， ……………9分
当且仅当时，等号成立，
因此． ……………10分
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