2021甘肃省高三下学期4月第二次诊断考试理科数学试题含答案

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2021年甘肃省第二次高考诊断考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|≤0},B={-2,-1,0,1},则A∩B=A.{-2,-1,0,1}         B. {-1,0,1}        C.{-1,0}     D. {-2,-1,0}2.已知复数z满足z(1-2i)=3+i3,则复数z的虚部为A. –i             B.i             C.-1                       D.13.已知函数f(x)=sinx+，则函数f(x)的图象为4.双曲线＝1(m>0,n>0)的渐近线方程为y=±x,实轴长为2,则m-n为A.-1             B.1-              C.         D. 1-   5.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积最小值为A.2                 B.                       C.1         D. 6.某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：由表可知，苗木长度x(厘米）与售价y(元）之间存在线性相关关系，回归方程为=0.2x+,则当苗木长度为150厘米时，售价大约为A.33.3        B.35.5         C.38.9         D.41.57.数列{an}的前n项和为Sn,若点（n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，则a2021=A.2021            B.4041       C.4042       D.40438.已知sin(α+β)=1,α,β均为锐角，且tana=，则cosβ=A.             B.      C.           D. 9.中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子·地员篇》的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一。根据某一特定的弦，去其，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长,即三分益一，可得出该弦音的下方四度音，中国古代的五声音阶：宫、徵（zhǐ)、商、羽、角（jué),就是按三分损一和三分益一的顺序交替、连续使用产生的。若五音中的“宫”的律数为81,请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为A.72         B.48        C.54        D.6410.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,则=A.2-2-n          B.2-21-n               C.2-2n                                 D.2-2n-111.过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l与抛物线交与A,B两点，过A,B两点分别作抛物线C准线的垂线，垂足分别为M,N,若线段MN的中点为P,且线段FP的长为4,则直线l的方程为A.x+y-1=0                                               B.x-y-1=0C.x+y-1=0或x-y-1=0                      D. x-y-=0或x+y-=012.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax,(a∈R),若经过点A(0,-1)存在一条直线l与f(x)图象和g(x)图象都相切，则a=A.0                      B.-1             C.3             D.-1或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.平面内单位向量a,b,c满足a+b+c=0,则a·b=             .14.若实数x,y满足约束条件,则z=ax+by(a>b>0)取最大值4时，的最小值为             .15.孙子定理（又称中国剩余定理）是中国古代求解一次同余式组的方法．问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2,5,8,11,14,17,20,23···,用5整除余3的整数：3,8,13,18,23,···,用7整除余2的整数：2,9,16,23.··,则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用105n+23(n∈N)表示．试问：一个数被3除余1,被4除少1,被5除余4,则这个数最小是             .16.三棱锥P-ABC的底面是边长为3的正三角形，面PAB垂直底面ABC,且PA=2PB,则三棱锥P-ABC体积的最大值是             .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.(本题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AA1=3,E,F分别为CC1,BD1的中点．（1)证明：EF⊥平面BB1D1D;（2)若∠DAB=60°,求二面角A1-BE-D1的余弦值．18.(本题满分12分）某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲、乙两班各40人每天的学习时间（单位：小时），并将样本数据分成［3,4), [4,5), [5,6),[6,7),[7,8]五组，整理得到如下频率分布直方图：（1)将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的2x2列联表：能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？（2)此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足ξ~N(μ,0.36),其中μ等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间（6.2,6.8]的概率．参考公式：参考数据①: ②若X-N(μ, σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545.19.(本题满分12分）已知圆O:x2+y2=b2经过椭圆C: ＝1(a>b>0)的右焦点F2,且经过点F2作圆O的切线被椭圆C截得的弦长为.（1)求椭圆C的方程；（2)若点A,B是椭圆C上异于短轴端点的两点，点M满足,且=6,试确定直线OA,OB斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．  20.(本题满分12分）ΔABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a-csinB=bcosC.（1)求角B的大小；（2)若b=3,D为AC边上一点，BD=2,且              ，求ΔABC的面积。（从①BD为∠B的平分线，②D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）  21.(本题满分12分）已知函数f(x)=x2-ax-xlnx,a∈R.（1)若f(x)在［1,+ ∞)单调递增，求a的取值范围；（2)若n∈N+,求证：（1+)(1+)(1+)··(1+)<（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，点A是曲线C1:(x-2)2+y2=4上的动点，满足的点B的轨迹是C2.（1)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1,C2的极坐标方程；（2)直线l的参数方程是（t为参数），点P的直角坐标是（－1,0),若直线l与曲线C2交于M,N两点，当线段|PM|,|MN|,|PN|成等比数列时，求cosα的值．23.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-2|+2|x+1|,x∈R.（1)求函数f(x)的图象与直线y=6围成区域的面积；（2)若对于m>0,n>0,且m+n=4时，不等式f(x)≥mn恒成立，求实数x的取值范围．